00692 Theorie der Kollektivgüter I Kurseinheit 1 Theorie der öffentlichen Konsumgüter

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metanira

Dr Franke Ghostwriter
00692 Theorie der Kollektivgüter I KE 1 Theorie der öffentlichen Konsumgüter

Hallo,

kann mir vielleicht jemand folgende Ableitung erklären? Auf Seite 5 der o.g. KE findet sich folgende Lagrange-Funktion:

[tex]

L:=U_1(x_1,y) + \sum_{j=2}^n \lambda_j[U_j(x_j,y)-\overline {U}_j]+\theta[\sum_{i=1}^n x_i-X(y)]

[/tex]

folgende Ableitung nach [tex]x_j[/tex] ist zudem angegeben:

[tex]
\frac{\partial L}{\partial {x_j}} = \lambda_j \frac {\partial U_j}{\partial x_j} + \theta = 0
[/tex]


warum steht am Ende das theta? in der Nebenbedingung gibt es doch gar kein xj und somit müsste der gesamte Summand als Konstante wegfallen oder?
 
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nicht irritieren lassen statt dem theta könnte man auch Lamda-Nr. j+1 verwenden. Es steht hier als fiktive Zusatzvariable zur Lamda-Funktion. Theta hat hier also die gleiche Bedeutung wie Lamda.
In der Formel selbst steht die Summe von xi, d.h. Xi=X1+Xj mit j=2 bis n. Deshalb steht theta nach der Ableitung nach Xj da.
Alles klar soweit?
 
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Vielen lieben Dank für deine Antwort Joschi! Mir war nicht bewusst, dass xi = x1+xj ist.

Habe noch eine weitere Frage (die mir auch gerne ein anderer beantworten kann 🙂 )

Auf Seite 12 der Kurseinheit hat der Herr Arnold eine Reaktionsfunktion hergeleitet, die ich allerdings nicht nachvollziehen kann.

Gegeben:

[tex]
L_1=x_1^\alpha*(y_1+y_2)^\gamma+\lambda_1(E_1-p_x*x_1-p_y*y_1)
[/tex]

soweit so gut. Er sagt nun, dass er einfach das ganze nach x1 und y1 ableitet, nullsetzt und zusammenfasst um auf folgenes zu kommen

[tex]
y_1=\frac{\gamma}{\alpha+\gamma}*\frac{E_1}{p_y}-\frac{\alpha}{\alpha+\gamma}*y_2
[/tex]

Wie sind denn bitte die Ableitungen und wie die Zusammenfassungsschritte? Komme irgendwie nicht darauf.
 
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Metanira, bilde die erste Ableitung nach X1, Y1 und Lamda1 und setzt die einzelnen Gleichungen jeweils Null.
Die ersten beiden gleichungen musst du nach Lamda umstellen und dann die z.B. Gleichung nach X1 in Gleichung nach Y1 einsetzen.
Jetzt Umstellen nach X1 und in die Ableitung nach Lamda einsetzen. In diesem Schritt musst du (...=Y1*alpha/gamma+Y1) erhalten. Dies entspricht (... = Y1*(aalpha/gamma+1) = Y1*((alpha+gamma)/gamma)). Dannach nur noch alles umstellen und fertig.
Ich hoffe dir hilft diese verbale erläuterung. hab leider nicht die Zeit dir das hier Formal deutlicher dazusellen.
 
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ich habe in der Kurseinheit auch auf Seite 5 und 6 noch einige Probleme:

1. Warum steht in der Ableitung (3) die Summe und bei der Ableitung (2) nicht?
1.webp
2. Was der Unterschied zwischen „ 3.webp“ und „d“? Eigentlich stehen doch beide für Ableitungen, oder?

3. Wie komme ich auf S.6 von der Formel zur Bedingung (III*)? Die Umformungen kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.2.webp


Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
 

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Meine Vermutungen:

Zu 1.
Wenn du nach [TEX]x_j[/TEX] ableitest, ist damit ein bestimmtes [TEX]x_j[/TEX] gemeint dem ein bestimmtes [TEX]U_j[/TEX] entspricht. Daher keine Summe.
Wenn du nach [TEX]y[/TEX] ableitest betrifft das aber alle [TEX]U_j[/TEX], daher muss das Summenzeichen dort stehen.

Zu 3.
Da Menge i=1,...,n und Menge j=2,...,n
ergibt 1 zu j hinzugefügt wieder i. Hilft dir das schon weiter?
 
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Danke chris_le!
Das hat mir echt weitergeholfen.
Habe meine Schritte zu Frage 3 mal aufbereitet. Kannst du vll. mal schauen, ob ich das so richtig verstanden habe. Besonders ob ich in Schritt 2 wirklich durch den Ausdruck teilen kann so wie ich das gemacht habe?

Bleibt nur noch Frage 2 offen. Kann da jemand helfen?
 

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