Aufgabe 2.5.7 Lotto

Mark,

nach einer gefühlten Stunde Anstarren der Lösung bin ich endlich dahintergestiegen, was die Autoren vermittlen wollen.

Für Deine Frage ist ein vorheriger Punkt aus der Lösung wichtig:

Ich nehme an, dass Du alles bis zum Term
[tex]
\frac{98*87*86}{49*2*47*46}
[/tex]
verstanden hast.
Diesen Term kannst Du auch so darstellen:
[tex]
\frac{1}{2} * \frac{98*87*86}{49*47*46}
[/tex]
Da wir das nicht ohne weiteres berechnen können, müssen wir die möglichen Lösungen eingrenzen. Dafür bilden wir zunächst Durch Hochrunden der Zahlen die untere Grenze (Bei diesem Bruch ist das so!). Dadurch sieht der letzte Bruch dann so aus:
[tex]
\frac{1}{2} * \frac{90*90*90}{50*50*50}
[/tex]
Im Skript wird dieser Bruch ohne Erläuterung zu
[tex]
\frac{1}{2} * (\frac{9}{5})^3
[/tex]
vereinfacht!

Jetzt musst Du auch noch die obere Grenze für Deine Lösung errechnen.
Dies machst Du duch Abrunden. Dann wird aus
[tex]
\frac{1}{2} * \frac{98*87*86}{49*47*46}
[/tex]
wie folgt:
[tex]
\frac{1}{2} * \frac{85*85*85}{45*45*45}
[/tex]

Also: untere Grenze durch Hochrunden, aus der größten Zahl im Zähler 89 wird 90, und der größten Zahl im Nenner 49 wird 50.
Obere Grenze durch Abrunden, aus der kleinsten Zahl im Zähler 86 wird 85 und aus der kleinsten Zahl im Nenner 46 wird 45.

Kannst Du es jetzt nachvollziehen?

Viele Grüße,
Mo

Aha, ok. Also im Grunde den Bereich eingegrenzt mit dem max. und min. Wert.

Danke

Gruß
Mark

Das klingt plausibel, ist aber falsch. Wenn du eine obere Abschätzung für einen Bruch finden willst, musst du den Zähler größer machen, den Nenner aber kleiner! (Oder jeweils gleich lassen natürlich). Ich kenn leider die Aufgabe nicht, aber wenn ich [(89 * 87 * 86) / (2 * 49 * 47 * 46) ] vor mir hätte und eine einfache Abschätzung suchen würde, würde ich es so machen:
[tex]\frac{89\cdot 87\cdot 86}{2\cdot 49\cdot 47\cdot 46} \leq \frac{90^3}{2\cdot 45^3} = \frac{2^3}{2} = 4[/tex]

chris,

danke für die Rechnung, sie zeigt nämlich die falsche Herangehensweise, daran kann man den richtigen Weg nochmal gut erläutern.
Man erhöht wie gesagt Zähler und Nenner für die untere Grenze und
man verringert Zähler und Nenner für die obere Grenze.

@ Chris: Hättest Du Dein Ergebnis mit meinem verglichen, hättest Du selbst gesehen dass es falsch ist ("falsch" ist es zwar nicht, aber meines ist genauer und darum geht es ja).

Du legst mit Deiner Rechnung die obere Grenze mit 4 fest.
Wir wollen wie gesagt die Grenzen für den Bruch

[tex]
\frac{89*87*86}{2*49*47*46}
[/tex]

ausrechnen. Dieser ergibt ungefähr: 3.142....

Meine obere Grenze mit

[tex]
\frac{85*85*85}{2*45*45*45}
[/tex]

hat ausgerechnet den Wert 3,4 und ist somit näher an dem zu betrachtenden Bruch.

Ich kann mir kaum vorstellen, dass Du das wie beschrieben im Mathe Studium gelernt hast.
(Es ist selbsterklärend, dass die Abschätzung für die obere Grenze viel größer ist, wenn Du den Zähler erhöhst und dafür den Nenner verringerst, als wenn Du Zähler und Nenner verringerst.)

Viele Grüße,
Mo

Moritz schrieb:

Du legst mit Deiner Rechnung die obere Grenze mit 4 fest.
Wir wollen wie gesagt die Grenzen für den Bruch

[tex]
\frac{89*87*86}{2*49*47*46}
[/tex]

ausrechnen. Dieser ergibt ungefähr: 3.142....

Meine obere Grenze mit

[tex]
\frac{85*85*85}{2*45*45*45}
[/tex]

hat ausgerechnet den Wert 3,4 und ist somit näher an dem zu betrachtenden Bruch.

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Wenn das die Begründung sein soll, dann hättest du ja gleich den Dezimalbruch ausrechnen können. Es geht doch offensichtlich darum, das nicht tun zu müssen.

Ich kann mir kaum vorstellen, dass Du das wie beschrieben im Mathe Studium gelernt hast.
(Es ist selbsterklärend, dass die Abschätzung für die obere Grenze viel größer ist, wenn Du den Zähler erhöhst und dafür den Nenner verringerst, als wenn Du Zähler und Nenner verringerst.)

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Alles ist selbsterklärend, wenn man mal eine Weile drüber nachdenkt 🙂 Man türmt in der Mathematik eigentlich nur lauter für sich genommen selbstverständliche Fakten und Schlussfolgerungen aufeinander. Die Kunst ist zu wissen welche. Das hier:

Man erhöht wie gesagt Zähler und Nenner für die untere Grenze und
man verringert Zähler und Nenner für die obere Grenze.

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ist aber schlicht und einfach Nonsens. Beispiele:
6/5 > 7/6
5/6 < 6/7
in beiden Fällen hab ich einfach Zähler und Nenner um 1 erhöht.
6/5 < 8/6
Jetzt hab ich mal den Zähler um 2 erhöht und den Nenner nur um 1.

chris* schrieb:

Wenn das die Begründung sein soll, dann hättest du ja gleich den Dezimalbruch ausrechnen können. Es geht doch offensichtlich darum, das nicht tun zu müssen.

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Genau, aber ich wollte Dir durch das Ausrechnen zeigen, dass meine Abschätzung genauer als Deine ist. Das ist in diesem Fall so wichtig, da die obere Grenze, welche Du ausgerechnest hast, zu einer falschen Antwort der Fragestellung geführt hätte.

chris* schrieb:

Alles ist selbsterklärend, wenn man mal eine Weile drüber nachdenkt 🙂 Man türmt in der Mathematik eigentlich nur lauter für sich genommen selbstverständliche Fakten und Schlussfolgerungen aufeinander

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Eigentlich, eigentlich, eigentlich..
Ich bin kein Mathe-Student, was ich aber aus der Mathematik kenne: Eine Aussage beziehungsweise Rechenweg ist entweder falsch oder richtig, dazwischen gibt es keinen Spielraum.

chris* schrieb:

...ist aber schlicht und einfach Nonsens.

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Wenn Du meine Aussage schon als "Nonsense" bzw "falsch" dementierst, erwarte ich von Dir, dass Du mir das auch beweist.
Ich lasse mich gerne eines Besseren belehren, aber da meine Lösung nachweislich richtig ist, finde ich das schwach.

Nun nochmal zu dem Errechnen der Abschätzung
Es geht wie gesagt um diesen Bruch:

[tex]
\frac{1}{2} * \frac{89*87*86}{49*47*46}
[/tex]

Wenn Du dieses Bruch wie folgt änderst:

[tex]
\frac{1}{2} * \frac{90*90*90}{50*50*50}
[/tex]

ist es klar, dass der Zähler im Verhältnis zum Nenner eine geringere Werterhöhung erfahren hat. Wenn der Zähler also geringer im Wert zunimmt als der Nenner, wird der Dezimalbruch kleiner, das ist kein Nonsense sondern Fakt. Mit dieser Werterhöhung wird der Bruch also kleiner als der zu betrachtende Bruch und wir haben damit die untere Grenze festgelegt.

Genau umgekehrt ist es bei der Verkleinerung der Werte:

[tex]
\frac{1}{2} * \frac{85*85*85}{45*45*45}
[/tex]

Hier ist es klar, dass der Zähler im Verhältnis zum Nenner einen geringeren Wertverlust erfahren hat. Wenn der Zähler also geringer im Wert verkleinert wird als der Nenner, wird der Dezimalbruch größer. Nochmals: Das ist kein Nonsense sondern Fakt!

Bei Deinen Beispielen klappt es eben nicht mehr, da Du diese Verhältnismäßigkeiten nicht einhälst.

Hoffentlich konnte ich Dich von diesem Lösungsweg überzeugen, falls Du immer noch anderer Meinung bist, belege bitte Deine Aussage mit ordentlichen Beispielen und Begründungen.

Viele Grüße,
Mo

Moritz schrieb:

Genau, aber ich wollte Dir durch das Ausrechnen zeigen, dass meine Abschätzung genauer als Deine ist.

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Das ist mir klar. Aber deine Abschätzung ist nicht bzw. falsch begründet. Das ist mein einziger Kritikpunkt.

Das ist in diesem Fall so wichtig, da die obere Grenze, welche Du ausgerechnest hast, zu einer falschen Antwort der Fragestellung geführt hätte.

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Das tut mir leid, ich kenne ja die Fragestellung nicht. Mein Beitrag war nicht als alternative Lösung gedacht.

Wenn Du meine Aussage schon als "Nonsense" bzw "falsch" dementierst, erwarte ich von Dir, dass Du mir das auch beweist.

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Das habe ich getan! Zu meinen Gegenbeispielen hast du gar nicht Stellung genommen, bzw. erst im Kontext deiner neuen Aussage, s.u.

Ich lasse mich gerne eines Besseren belehren, aber da meine Lösung nachweislich richtig ist, finde ich das schwach.

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Nochmal, ich habe ausschließlich die folgende Behauptung kritisiert:
"Man erhöht wie gesagt Zähler und Nenner für die untere Grenze und
man verringert Zähler und Nenner für die obere Grenze."
Die Abschätzung selbst mag richtig sein, wie man mit einem Taschenrechner jederzeit überprüfen kann, darum geht es mir nicht.

Nun nochmal zu dem Errechnen der Abschätzung
Es geht wie gesagt um diesen Bruch:

[tex]
\frac{1}{2} * \frac{89*87*86}{49*47*46}
[/tex]

Wenn Du dieses Bruch wie folgt änderst:

[tex]
\frac{1}{2} * \frac{90*90*90}{50*50*50}
[/tex]

ist es klar, dass der Zähler im Verhältnis zum Nenner eine geringere Werterhöhung erfahren hat.

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Aber warum ist das klar? Wenn es wirklich klar ist, musst du das genau bezeichnen können. Mir ist es im Moment nur intuitiv halbwegs einleuchtend. Wenn die Zahlen nicht mehr ganz so eindeutig wären, wüsste ich nicht, wie ich diese Wertänderungen vergleichen sollte. Beispielsweise 58*58 / 49*47. Ist das jetzt größer oder kleiner als 60*60 / 50*50? Das müsste ich ausrechnen (es ist kleiner).

Wenn der Zähler also geringer im Wert zunimmt als der Nenner, wird der Dezimalbruch kleiner, das ist kein Nonsense sondern Fakt.

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Das ist ja auch nicht die Aussage, die ich als Nonsens bezeichnet habe. Den Vergleich der Zunahmen von Zähler und Nenner hast du erst jetzt hinzugefügt.

BTW hier ein Beweisvorschlag:
[tex]\frac{89 \cdot 87 \cdot 86}{49 \cdot 47 \cdot \46} = \frac{89}{49} \cdot \frac{87}{47} \cdot \frac{86}{46}[/tex]. Wenn man jetzt in jedem dieser drei Brüche im Zähler und Nenner das gleiche addiert, um auf [tex]\frac{90}{50}[/tex] zu kommen, werden sie dann kleiner oder größer? Allgemein: Seien a, b, c > 0.
[tex]\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = \frac{ba + bc - ab - ac}{b(b+c)} = \frac{(b-a)c}{(b+c)b}[/tex]. Das ist größer oder gleich 0, wenn b >= a, und kleiner als 0, wenn b < a. Das heißt also, wenn man auf Zähler und Nenner das gleiche addiert, wird der Bruch kleiner, falls der Nenner kleiner als der Zähler ist.
Das ist hier bei allen drei Brüchen der Fall, man kann also beruhigt [tex]> \frac{90^3}{50^3}[/tex] hinschreiben.

ich zitiere nicht mehr den ganzen Post, ansonsten wird es mir noch schwindlig 😉

Ich nehme nur Stellung zu der Aussage, die Du kritisierst und werde sie genauer beschreiben.
Meine Beschreibung, die "nur intuitiv halbwegs einleuchtend" ist, werde ich auch versuchen genauer zu beschreiben.

Also, meine Aussage:
"Man erhöht wie gesagt Zähler und Nenner für die untere Grenze und
man verringert Zähler und Nenner für die obere Grenze."
war auf keinen Fall allgemein gemeint, sondern nur für diesen Bruch beziehungsweise für Brüche dieser Art.

Damit meine ich konkret:
Bei einem Dezimalbruch, Zähler > Nenner führt eine Erhöhung des Zählers und Nenners, bei der der Nenner Verhältnismäßig zum Zähler mehr an Wert gewonnen hat zu einem kleineren Dezimalbruch.
Umgekehrt, bei Verkleinerung des Zählers und Nenners, bei der der Zähler im Verhältnis zum Nenner weniger an Wert verloren hat führt zu einem größeren Dezimalbruch.

Ein kleines Beispiel:

[tex]
\frac{89}{49}
[/tex]

Wenn Du Nenner und Zähler jeweils um 1 erhöhst, dann hat der Nenner mehr an Wert gewonnen als der Zähler und zwar deshalb:

[tex]
\frac{1}{49} \geq \frac{1}{89}
[/tex]

Wenn der Nenner mehr an Wert gewinnt, wird der Dezimalbruch kleiner und daraus folgt:

[tex]
\frac{89}{49} \geq \frac{90}{50}
[/tex]

Umgekehrt verhält es sich genau so:

[tex]
\frac{85}{45} \geq \frac{89}{49}
[/tex]

da

[tex]
\frac{4}{49} \geq \frac{4}{89}
[/tex]

Diese Vergleiche kann man für alle Bruchteile:

[tex]
\frac{89}{49} * \frac{87}{47} * \frac{86}{46}
[/tex]

anstellen und erhält somit eine genauere Eingrenzung als durch Erhöhung des Zählers und Verkleinerung des Nenners.

Nochmal, ich erhebe nur Anspruch auf solche Brüche, bei denen diese Aufteilung und Verhältnise erfüllbar sind.

Hoffentlich bist Du in der Form einverstanden.

Grüße,
Mo

Moritz, daran hab ich nichts weiter auszusetzen.

(Wär auch blöd, das ist ja genau das, was ich als Beweisvorschlag angegeben hatte 😉 )