Basis im R^n

Rn = n-dimensionaler Vektorraum: Genau n linear unabhängige Vektoren (wobei der Nullvektor da nicht drin sein sollte) bilden eine Basis.

Basis bedeutet einfach, dass man jeden beliebigen Vektor des Rn mit einer ("nichttrivialen") Linearkombination dieser n Vektoren darstellen kann. Also jeder Vektor ist ein bestimmtes Vielfaches des Ersten plus ein bestimmtes Vielfaches des Zweiten plus .... plus ein bestimmtes Vielfaches des n'ten Vektors.

Die Basis ist eine Orthogonalbasis, wenn diese n Basisvektoren zueinander orthogonal sind, also je zwei beliebige (unterschiedliche!) Vektoren der Basis einen Winkel von 90° aufspannen - d.h. das Skalarprodukt von zwei beliebigen Basisvektoren ist immer gleich Null.

Und eine Orthonormalbasis ist es, wenn die Basis nicht nur eine Orthogonalbasis ist, sondern auch jeder einzelne dieser Basisvektoren die Länge (den "Betrag") 1 hat.

Alle Klarheiten beseitigt?🙂 Ansonsten leg ich mathematisch korrekte Definitionen nach😛

Markus.K schrieb:

Die Basis ist eine Orthogonalbasis, wenn diese n Basisvektoren zueinander orthogonal sind, also je zwei beliebige (unterschiedliche!) Vektoren der Basis einen Winkel von 90° aufspannen - d.h. das Skalarprodukt von zwei beliebigen Basisvektoren ist immer gleich Null.

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Ist denn nicht automatisch jede Basis eines Vektorraumes eine Orthogonalbasis ? Die Vektoren müssen doch alle l.u. sein und das sind sie, wenn sie senkrecht (= orthogonal) aufeinander stehen. Demnach müssen alle möglichen Basen in einem Vektorraum Orthogonalbasen sein, oder ?

sisa schrieb:

Ist denn nicht automatisch jede Basis eines Vektorraumes eine Orthogonalbasis ? Die Vektoren müssen doch alle l.u. sein und das sind sie, wenn sie senkrecht (= orthogonal) aufeinander stehen. Demnach müssen alle möglichen Basen in einem Vektorraum Orthogonalbasen sein, oder ?

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Nee, bitte nichts durcheinanderschmeißen:

Die Vektoren [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/tex], [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}[/tex] und [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}[/tex] sind mit Sicherheit linear unabhängig (nachprüfen!) und bilden somit eine Basis des R³, aber sie sind nicht orthogonal zueinander (nachprüfen!) und schon gar nicht haben sie die Länge 1 (nachprüfen!).

Die Einzelaussagen

• die drei Vektoren sind linear unabhängig
• die drei Vektoren sind zueinander orthogonal
• die drei Vektoren sind normiert (= Länge 1)

sind voneinander jeweils erstmal unabhängig zu prüfen.