• Guten Start ins Wintersemester 2024/2025

Differenzieren Hesse-Matrix Übsp. von Kurseinheit 2 Kurs 00054

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Differenzieren (Hesse-Matrix) Übsp. von KE 2 Kurs 00054

Hallo Leute,

vielleicht kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen?

Ich bilde hier nun zwei Beispiele ab, sind beide im Skript Kurs Analysis III, KE 2, auf Seite 23 und Seite 24.

In blauer Farbe werde ich dazu schreiben, was ich nicht versteh ..

Achja, und ich tausche immer x1 zu x aus und x2 zu y, damit komme ich besser zu Recht, hoffe, dass ist für euch ok so ...

Beispiel 13.2.22

f (x,y) = sin (x+y) + x³y²

fx (x,y) = cos (x+y) + 3x²y²
fy (x,y) = cos (x+y) + 2x³y²
fxx (x,y) = - sin (x+y) + 6xy²
fxy (x,y) = - sin (x+y) + 6x²y à = fyx
fyy (x,y) = - sin (x+y) + 2x³

Soweit hab ich alles richtig, was ich jedoch nicht verstehe, warum ich beim Differenzieren von sin (x+y), nichts vor cos stehen hab (ich dachte mir eben 1+y oder so, weil der Ausdruck in der Klammer ja differenziert wird, und nach vor gestellt wird ?!

Ein 'Gegen'beispiel 13.2.26

f (x,y) = sin (xy) + xey

fx (x,y) = y cos (xy) + ey
fy (x,y) = x cos (xy) + xey
Hier wird eben vor dem cox eben y bzw. x geschrieben, wenn ich differenziere (das hab ich soweit verstanden)
weil ich den Klammerausdruck differenziere, was jeweils 1 mal x und 1 mal y ergibt, die Einser verschwinden dann, aber warum passiert sowas im oberen Bsp nicht? 😕



fxx (x,y) = -y² sin (xy) hab ich auch soweit 🙂

fxy (x,y) = cos (xy) – yx sin (xy) + ey Problem!!

So, und hier haperts ebenso, ich differenziere den Ausruck fx (x,y) = y cos (xy) + ey nach y, wie kommt das cos (xy) – yx sin (xy) zustande? Auf cos (xy) käme ich noch, weil aus y cos (xy) y beim nochmaligen differenzieren verschwindet, also ergibt das cos (xy), aber dann steht noch – yx sin (xy)?
Dahin komme ich nun nicht mehr


fyy (x,y) = -x² sin (xy) + xey

So, ich hoffe das meine doch detaillierte gestellte Frage(n) mir Glück bringt für Antworten 😀

Ich warte auch gerne ab, bis jemand bei diesem Kapitel angelangt ist.
 
Tinigridi !

Ich will es mal versuchen zu erklären.

1.) Du darfst additive Verknüpfungen ( sin (x+y) ) nicht mit multiplikativen Verknüpfungen ( sin (x*y)) verwechseln ! x*y ist sozusagen miteinander verbacken - leitet man nach x ab, bleibt y übrig (weil 1*y=y) und kommt vor die äußere Ableitung cos.
Hast du jedoch sin(x+y), musst du dir nur die Variable vornehmen die abgeleitet werden soll. Leitet man nach x ab, interessiert mich nur das x und das wird zu 1 (schreibt man dann nicht mehr auf). Das y wird bei der additiven ( natürlich auch bei Minus) ignoriert, denn es ist ja nach x abzuleiten und einzelne y´ne können dahin gehen wo der Pfeffer wächst !

2.) x*cos (xy) +xe^y soll nach x abgeleitet werden.
Stichwort: Produktregel !!!
Jetzt ist x*cos(xy) doch multiplikativ Verknüpft, oder ? Du hast "links" ein x stehen und "rechts" ein x in der Klammer vom cos stehen.
Produktregel : f´=g´*h + g*h´

g ist in diesem Fall x (links) und h ist cos(xy) (rechts).
(g´) 1* (h) cos (xy) + (g) x* (h´) y*-sin(xy).
Zusammen fassen: cos (xy) - xy sin(xy) +e^y.
Das xe^y leitest du wie gewohnt ab, denn es ist mit dem + vom Rest abgekoppelt, jedoch untereinander mit * verbunden (siehe oben).

Hoffe du kannst mein Gekritzel nachvollziehen. Ansonsten noch einmal nachhaken. 🙄

eremey
 
Dr Franke Ghostwriter
Yeah super! Sämtliche Lichter sind aufgegangen, vielen Dank!

(x+y) ... na klar, das eine wird zu 1, das andere ist als Konstante zu sehen, und verschwindet somit auch.

Auch auf das andere hätt ich eigentlich noch selber draufkommen müssen 🙄
Auf die Produktregel hab ich als zweites nicht mehr geachtet, war so auf das x*y und x+y konzentriert ...

Lieben Dank eremey!

Ich hoff, den einen oder anderen hilft das auch weiter ...
 
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