Enveloppen-Theorem

guckstduh hier, vielleicht hilft Dir das erstmal weiter.

tiniro01 schrieb:

kan mir irgedjemand netterweise erklären, was es mit diesem Theorem auf sich hat?

Im Script versteh ich das nämlich nicht ...😱

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Das liegt vermutlich daran, dass es im Skript nicht erklärt wird... 🙄

Neben der sehr guten Erklärung im Lehrbuch von Breyer (siehe Link in Jonas Beitrag) kannst Du auch Sydsaeter/Hammonds Mathelehrbuch konsultieren. Oder Du googelst mal nach Umhüllendentheorem oder Umhüllendensatz...

Das sieht immer sehr kompliziert aus, ist aber in Wirklichkeit sehr leicht...

Oder Du googelst mal nach Umhüllendentheorem oder Umhüllendensatz...

Danke, dieser Tipp hat geholfen! Mit der deutschen Übersetzung finde ich wenigstens in googel etwas.

Merci!:rolleyes

Ist es sinnvoll, das Video von der FernUni "Das Enveloppen-Theorem" zu bestellen. Wer hat es schon mal gesehen?

Das ist eingentlich ganz einfach. Das Theorem beschreibt, wie sich eine Zielfunktion verändert, wenn sich ein Parameter verändert.

Bsp: Maximiere f(x,r) mit x als Variable, r als Parameter

Die Bediungung erster Ordnung (BEO) lautet: df/dx = 0.

x ist wiederum (indirekt) vom Parameter r abhängig.

somit kann man die Funktion schreiben: f(x(r), r) = Max.

Das ganze wir jetzt nach r mittels Kettenregel abgeleitet. Du erhälst als ges. Ausdruck:

(df/dx * dx/dr) + (dr/dr * df/dr)

Der linke Summand ist = 0 (kann also gestrichen werden), da im Optimum gilt: df/dx = 0 (BEO). Es verbleibt nur noch der rechte Ausdruck:

(dr/dr * df/dr) = 1 * df/dr = df/dr

Das besagt: die Änderung der Funktion bezüglich eines Parameters entspricht der Ableitung nach diesem Parameter. Das ist die Aussage des Enveloppen-Theorems. Das Theorem kann man als Vereinfachung anwenden, indem man einfach einen Teil der Kettenregel streicht, da er ja = 0 ist. Man braucht das nicht extra zu begründen, da sich dies aus dem Theorem unmittelbar ergibt. In der Literatur wird dann noch von direkten und indirekten Effekten einer Parameteränderung auf die Funktion gesprochen. Fakt ist, dass der indirekte Effekt so schwach ist, dass er vernachlässigt werden kann.

Ich hoffe, das ist verständlich und ich habe mich jetzt nicht zum Kaspar gemacht, weil ich irgendwas falsch abgeleitet habe.

Kalli schrieb:

Ich hoffe, das ist verständlich und ich habe mich jetzt nicht zum Kaspar gemacht, weil ich irgendwas falsch abgeleitet habe.

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Mensch Kalli!

Analog zum Eistanz erhälst du jedenfalls in der B-Note eine 6,0 - zur A-Note kann ich nix sagen..😀 😱 ..klingt aber hervorragend und wir wünschen uns wohl alle, dass es so einfach ist, wie Du's geschrieben hast :rolleyes

Na, ich denke schon. Ich habe mir das aus dem Buch Sysdaeter: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (ein wirklich sehr anschauliches Buch. Kuhn-Tucker und einiges andere mehr wird dort auch ausführlich dargestellt) erarbeitet.

Nachtrag:

Das Verfahren kann somit überall dort angewendet werden, wo man die Änderung eines Parameters auf die Zielfunktion untersuchen möchte. Parameter kann dabei z. B. ein (Produktions-)koeffizient oder sogar der Preis sein. Das hängt halt von der Situation ab. Und die zweite Voraussetzung ist, dass etwas maximiert oder minimiert wird. Sonst wird ja ein Teil der Ableitungskette nicht Null. Vorteil des Verfahrens: man braucht, zumindest in einfacheren Kettenregeln, nicht mehr alles abzuleiten, sondern mit Hinweis auf das Verfahren nur noch einen Teil: nämlich die Ableitung nach dem Parameter.

Habe das Verfahren jetzt auch noch nicht ausführlich auf die zahlreichen Problemstellungen in den Scripten angewendet. Denke aber, dass es klappt. Weitere Beispiele dazu finden sich in dem o. g. Buch.

Kalli,

kaum zu glauben, aber ich habe immer wieder Probleme mit diesen Ableitungen. Wie kommst du bei der Anwendung der Kettenregel auf dr/dr * df/dr ?????
hier das zitat:

somit kann man die Funktion schreiben: f(x(r), r) = Max.

Das ganze wir jetzt nach r mittels Kettenregel abgeleitet. Du erhälst als ges. Ausdruck:

(df/dx * dx/dr) + (dr/dr * df/dr)

gruß Sapo

Sapo schrieb:

Hi Kalli,

kaum zu glauben, aber ich habe immer wieder Probleme mit diesen Ableitungen. Wie kommst du bei der Anwendung der Kettenregel auf dr/dr * df/dr ?????

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Hallo Sapo,
du mußt das produkt umstellen df/dr * dr/dr dann siehst du eher wie er die kettenregel der reihe nach angewendet hat
g