Wenn es einen konkreten Schnittpunkt S gibt, wo sich die drei Gleichungen, wovon jede jeweils eine Grade im R3 darstellt, schneiden, dann haben wir einen Unterraum. Der Schnittpunkt S ist also ein Raum im Raum mit der Dimension 0, weil ein Punkt definitionsgemäß eine unendlich kleine Längen- , Breiten- und Höhenausdehnung hat.
Nun kann es aber sein, dass es auch einen Hyperraum (Unterraum) der Dimension 1 gibt.
Was ist nun darunter zu verstehen.
Offensichtlich scheinen sich hier die Gleichungen so zu treffen, dass ein geometrisches Gebilde entsteht, was eben
kein Punkt ist, sondern auch eine tatsächliche Längenausdehnung hat.
Klingt komisch, is' aber so, wie der Klaus von der Sendung mit der Maus sagen würde
😀😀
Denn:
Betrachtet man beispielsweise die beiden Gleichungen (hab ich mir grad mal ausgedacht)
(I.) x + y + z = 2
(II.) 2x + 2y + 2z = 4
so sind sie linear abhängig (II = 2 * I). Sie liegen im R3 exakt aufeinander! Der Mengentheoretische Durchschnitt ist eine Grade. In diesem Zusammenhang haben wir ein eindimensionales Gebilde: ein Strich ist per Definiton 1-D.
Folglich wäre eine Schnittebene von mehreren Gleichungen ein 2D-Gebilde und der Dimension des Lösungsraumes 2.
Wenn man sich die Aufgabe nochmal anschaut und für x1 = x schreibt, für x2 = y und für x3 = z (find ich schöner!), dann stellt man i.d.R. die z-Achse in einem 3D-Koordinantensystem als Höhenachse dar oder als jene Achse, wo ein Funktionswert z = f(x,y) abgetragen wird.
Daher kann man nun mal alle Gleichungen nach z (bzw. x3) umformen. Das hat einen bestimmten Grund:
z1 = -0,5x -0,5y + 0,5 := f1(x,y)
z2 = -0,5x -0,625y + 0,625 := f2(x,y)
z3 = 0,5x -0,5y + 0,5 :=f3(x,y)
Jetzt kannst du mal hier drauf gehen:
FooPlot: Online graphing calculator and function plotter
Lass dir alle Achsen von -10 bis 10 anzeigen!
1. jede Funktion mal einzelnt beäugen (mach dir 3 Browserfenster auf)
2. alle Funktionen einzeichnen lassen geht leider nicht (habe keinen guten Plotter gefunden auf die Stelle)
Wenn sich bei 2. herausstellt, dass die Funktionen alle irgendwie parallel zueinander liegen, haben sie weder einen gemeinsamen Schnittpunkt S, noch eine gemeinsame Schnittgrade. Der Lösungsraum ist leer, das Gleichungsystem ist nicht lösbar!
Das ist das ganze Geheimnis!