Hallo Chrissi,
danke für deine Hilfe. Das Dominanzprinzip finde ich
Additivität, warum ist auf Seite 13 der KE 2 von 40531 die erste Technologie nicht additiv?
Hallo Jörg,
die erste Technologie hat abnehmende Grenzerträge (konkaver Verlauf der Randkurve). Wenn Du zwei Aktiväten der Technologie addierst, liegt die resultierende Aktivät möglicherweise oberhalb der konkaven Randkurve, also außerhalb der Technologie, weil die Randkurve mit wachsender Menge des einen Gutes "nicht schnell genug wächst", so dass die Addition des anderen Gutes die durch Addition entstandene Technologie oberhalb der Randkurve "befördert", also außerhalb der Technologie liegt.
Beispiel:
Betrachte die Randkurve y = 5 * x^1/2 - das ist eine Wurzelfunktion die "qualitativ" der Randkurve der ersten Technologie entspricht. Sie hat einen konkaven Verlauf, d.h. steigt nur unterproportional.
In dieser Technologie sind alle Aktivitäten der Form (x, 0 <= z <= 5 * x^1/2) enthalten, also alle Aktivitäten auf oder unterhalb der Randkurve y = 5 * x^1/2 , z.B. (4, 10) oder (4, 3). Andere sind nicht enthalten, z.B. liegt (4, 11) oberhalb der Randkurve der Technologie y = 5 * x^1/2, weil 11 > 5 * 4^1/2 = 10 ist.
Wenn diese Technolgie additiv wäre, dann müsste für alle Paare von Aktiväten (a, 5 * a^1/2) und (b, 5 * b^1/2) die Addition (a + b, 5 * a^1/2 + 5 * b^1/2) ebenso in der Technologie enthalten sein, d.h. auf oder unterhalb der Randkurve liegen.
Nun betrachte aber das Paar (4, 8) und (9, 14). Beide Paare sind Aktivitäten der Technologie (weil unterhalb der Randkurve, klar?). Aber die Addition (4 + 9, 8 + 14) = (13, 22) ist oberhalb der Randkurve, weil 22 > 5 * 13^1/2 = 18,028, also nicht in der Technologie. Die Wurzelfunktion wächst für die Addition "nicht schnell genug". Die Technologie ist also nicht additiv (wir haben ein Gegenbeispiel gefunden, aber es gibt sogar unendlich viele Gegenbeispiele).
Ganz allgemein formuliert: Sei eine Technologie durch die Randkurve y = f(x) definiert,
d.h. alle Aktivitäten der Form (x, 0 <= z <= f(x)) und nur diese bilden die Technologie. Dann ist die Technologie genau dann additiv, wenn für beliebige Paare der Technologie (a, f(a)) und (b, f(b)) auch die Aktivät (a+b, f(a)+f(b)) in der Technologie ist, d.h. wenn gilt f(a)+f(b) <= f(a+b). Diese Eigenschaft gilt es zu beweisen oder (z.B. durch Angabe eines Gegenbeispiels) zu widerlegen.
Liebe Grüße