Die Frage hab ich kommen sehen... 😀😀
Also: Die Produtionsfunktion F(K,L) gibt alle Kombinationen von Arbeit und Kapital an, mit denen sich eine bestimmte Menge Gut effizient produzieren lässt, d.h. es gibt keine Faktorverschwendung.
Außerdem werden folgende Annahmen getroffen:
1. Wird von einem Faktor (oder beiden) mehr eingesetzt, wird auch mehr produziert.
2. Arbeit und Kapital können beliebig gegeneinander ausgetauscht werden.
3. Allerdings ist es so, dass das Austauschverhältnis nicht fest ist. Nimm an, es wird viel Arbeit und wenig Kapital eingesetzt. Wenn ich nun eine Einheit Arbeit durch Kapital ersetzen will, muss ich dafür nur relativ wenig Kapital einsetzen. Anders ist es, wenn ich wenig Arbeit und viel Kapital einsetze. Dann muss ich, um eine Einheit Arbeit durch kapital zu ersetzen, relativ viel Kapital zusätzlich anschaffen. Das wird durch eine Betrachtung der Isoquanten verständlich...
Die konvexen Kurven in der Grafik sind die Isoquanten, also alle Kombinationen von K und L, mit denen eine bestimmte Menge x produziert werden kann. Dass die Kurven konvex verlaufen, ist Folge der 3. Annahme. Wenn Du an einer Stelle "ganz rechts" auf so einer Isoquante bist, dann sieht Du, dass die Kurve sehr flach verläuft. Bewege Dich entlang der Kurve nach links, d.h. Du setzt weniger Arbeit und mehr Kapital ein. Du siehst auch, dass die Kurve immer steiler wird. das ist genau der oben beschriebene Zusammenhang.
Nun nimm irgendeinen Punkt auf der Kurve. An dieser Punkt hat die Kurve eine bestimmte Steigung, und diese Steigung kann ich als das Austauschverhältnis von Arbeit gegen Kapital interpretieren, also:
[tex]-\frac{dK}{dL}[/tex]
Das heißt auf deutsch: auf so viel Kapitaleinsatz kann ich verzichten (deshalb das - davor), wenn ich eine (winzig kleine) Einheit mehr Arbeit einsetze.
Wie komme ich nun zu den Grenzproduktivitäten?
Dazu muss ich die Produktionsfunktion total differenzieren.
[tex]dF=F_K dK + F_L dL=0[/tex]
Was soll das nun? dF ist die Änderung der Produktionsmenge. Die soll aber null sein (weil wir uns ja auf einer Isoquante bewegen, also immer dieselbe Produktionsmenge betrachten). [tex]F_K[/tex] ist die erste (partielle) Ableitung von F nach K, also um wieviel steigt/sinkt der Funktionswert von F, wenn man K um die Menge dK verändert. Diese erste Ableitung heißt auch Grenzproduktivität des Kapitals! Analog ist [tex]F_L[/tex] zu interpretieren, die Grenzproduktivität der Arbeit.
Wir haben also:
[tex]F_K dK + F_L dL=0[/tex]
Und durch eine Umformung kommst Du zu:
[tex]-\frac{dK}{dL}=\frac{F_L}{F_K}[/tex]
Du siehst also: die Steigung der Isoquante an einem Punkt, ist gleich dem Verhältnis der Grenzproduktivitäten.
Ein Tangentialpunkt hat nun die Eigenschaft, dass die Steigung der beiden sich berührenden Kurven gleich ist. In diesem Falle ist also die Steigung der Isokostenkurve (-w/r) gleich der Steigung der Isoquante, -dK/dL.
Das ist wie gesagt Basic Mikro. Solltest Du da Nachholbedarf haben, empfehle ich: Breyer "Mikroökonomik" (wenn Du mit der Mathematischen Darstellung keine Probleme hast) Feess "Mikroökonomie – eine spieltheoretische Einführung" oder Endres/Martiensen "Mikroökonomik" (sonst).
