Monte Carlo Simulation

Es gibt nicht das eine MC-Verfahren, deshalb kann man keinen pauschalen Ablauf angeben.

Ganz allgemein ist die Idee ungefähr so: Man denkt sich mehrere Zufallsvariable aus, z.B. die Höhe des Schadens nach einem unvorhersehbaren Ereignis (weil es unvorhersehbar ist, ist es ein Zufallsereignis). Dann überlegt man sich, welche Verteilung diese Zufallsvariable haben könnte - also z.B. wie oft das Ergebnis 100.000 Euro Schaden herauskommen könnte.

Das macht man eventuell mit verschiedenen Variablen, und wenn man alles das beisammen hat, hat man ein stochastisches Modell. Und das lässt man jetzt ganz oft durchspielen, mit immer neuen zufälligen Ergebnissen für die Zufallsvariable.

Nun weißt Du vielleicht noch aus dem Statistikkurs, dass man sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses annähert, je häufiger man ein Zufallsexperiment macht (Gesetz der großen Zahl: je häufiger man eine Münze wirft, desto näher gelangt man zu der Erkenntnis, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/2 ist).

Hat man also das Modell mit seinen Zufallszahlen und deren Verteilungen richtig spezifiziert, kann man durch die MC-Simulation zum "wahren" VaoR gelangen.

Danke für die schnelle Antwort.
hast vll. ein einfaches beispiel mit dem verfahren?
so ganz bin ich noch nicht hinter das prinzip gestiegen.

danke und gruss

Wenn es ein einfaches Beispiel gäbe, stünde es bestimmt im Kurs... 😀😀

Also, die Mathematik dahinter ist ein bisschen kompliziert. Am besten, Du merkst Dir das so. Beim MC-Verfahren hat man ein mathematisches Modell, das die zu analysierende Situation (vereinfacht) beschreibt. So wie die Modelle, die Du au dem Makrokurs kennst. Das Modell beschreibt die Umwelt, in der sich das Unternehmen bewegt - mit den Gefahrensituationen, die seinen Wert mindern zu drohen.

So, und dann nimmt man ganz einfach Zufallszahlen, setzt die in das Modell ein und schaut, was rauskommt. Das macht man ganz oft und geht dann davon aus, das man sich einem durchschnittlichen Gefahrenwert nähert. Das ist dann der VAR (oder was auch immer).

Eben weil man das Modell mit Zufallszahlen füttert, spicht man von Monte-Carlo-Methode. Das ist der große Unterschied zur Regressionsrechnung, wo man ja ebenfalls ein Modell konstruiert, aber aus Vergangenheitsdaten.

Einige schöne Beispiele zur MC-Simulation hat die englische Wikipedia, aber nicht aus dem Finanzbereich, sondern den Naturwissenschaften.

Schaust Du hier: Monte Carlo method - Wikipedia, the free encyclopedia

Was die Regression angeht, so kann man da schon einiges simulieren. Angenommen, ich betrachte die Gleichung

[Tex] y_i = a + bx_i + u_i \qquad \qquad i=1,\ldots,n[/Tex]
[tex]u_i[/tex] ist ein normalverteilter Fehlerterm mit [tex]u_i \sim N(0,\sigma^2)[/tex]
[tex]a, b \quad \text{und} \quad \sigma^2 [/tex] sind unbekannte Parameter. Für Simulationen muß ich die vorgeben, z.B. [tex]a = 1, b = 2 \quad \text{und} \quad \sigma^2 = 1 [/tex] Ebenso n, z.B. n=10. Außerdem muss man die Werte für die unabhängige Variable [tex] x_i[/tex] vorgeben. Hängt natürlich von der Anwendung ab, die einen interessiert. [tex] x_i[/tex] könnte sein das Körpergewicht von Personen, das disponible Einkommen für zehn Jahre, ein linearer Trend: 1, 2, ... 10 etc.

Und jetzt wird simuliert:
Ich erzeuge nacheinander n = 10 normalverteilte Zufallszahlen (z.B. mit Excel) mit Mittelwert 0 und Varianz = [tex]\sigma^2 = 1[/tex] Damit habe ich die Werte für [tex]u_i[/tex]. Die 10 Werte für die [tex] y_i[/tex] bestimme ich aus der obigen Gleichung (alle Werte auf der rechten Seite sind jetzt gegeben). Auf diese Weise erhalte ich eine Stichprobe von y-Werten.

Man könnte jetzt z.B. mit der Methode der kleinsten Quadrate a und b schätzen. damit erhalte ich [tex] \hat{a} [/tex] und [tex] \hat{b} [/tex] Das wäre deshalb interessant, da ich a und b kenne und daher einmal sehen kann. wie Schätzwerte von den Werten, den sie schätzen sollen, abweichen.

Interessant wird es natürlich, wenn ich das Ganze jetzt häufig wiederhole, z.B. 100 mal oder 1000 mal. Bei jedem mal die Zufallszahlen [tex]u_i[/tex] neu erzeugen und wieder in die obige Gleichung einsetzen, um die [tex]y_i[/tex] neu zu berechnen.
Die Werte für die [tex]x_i[/tex] sowie für [tex]a, b \sigma^2 = 1[/tex]werden dabei nicht verändert.
Auf diese Weise kann ich Regressions-Stichproben generieren.

Eigentlich ist das Grundprinzip recht einfach:

- du simulierst mögliche Ausprägungen der Risikofaktoren über Zufallsvariablen
- das geschieht bei der MCS über Zufallszahlen (sog. Pseudozufallszahlen, da sie meist über einen computerbasierten Algorithmus simuliert werden)

kridbonn schrieb:

Das macht man eventuell mit verschiedenen Variablen, und wenn man alles das beisammen hat, hat man ein stochastisches Modell. Und das lässt man jetzt ganz oft durchspielen, mit immer neuen zufälligen Ergebnissen für die Zufallsvariable.

Nun weißt Du vielleicht noch aus dem Statistikkurs, dass man sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses annähert, je häufiger man ein Zufallsexperiment macht (Gesetz der großen Zahl: je häufiger man eine Münze wirft, desto näher gelangt man zu der Erkenntnis, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/2 ist).

Zum Vergrößern anklicken....

- genau, meist mehrere 1000 Simulationsläufe, aus der du dann eine "simulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung" erhälst
- der VaR ergibt sich dann wie bei der historischen Simulation wieder als (1-alpha)-Quantil der Verteilung