Stabi-Übungsheft, Seite 20, Aufgabe 8c

Gleichung

Nach meiner Ansicht dürfte mit deiner Gleichung etwas nicht stimmen.

Wenn b eine Zufallsvariable ist, dann gilt das auch für b^2. Dieser Term kann aber nicht auf der rechten Seite stehen, da der Erwartungswert einer Zufallsvariablen immer eine feste reelle Zahl ergibt.

Wenn aber b keine Zufallsvariable ist, dann kann es wohl nur ein Parameter (freie Konstante) sein. Dann gilt aber: E(b^2) = b^2. Dann müßte aber gelten sigma^2 =0, was doch recht ungewöhnlich wäre.

Ivanhoe schrieb:

Nach meiner Ansicht dürfte mit deiner Gleichung etwas nicht stimmen.

Wenn b eine Zufallsvariable ist, dann gilt das auch für b^2. Dieser Term kann aber nicht auf der rechten Seite stehen, da der Erwartungswert einer Zufallsvariablen immer eine feste reelle Zahl ergibt.

Wenn aber b keine Zufallsvariable ist, dann kann es wohl nur ein Parameter (freie Konstante) sein. Dann gilt aber: E(b^2) = b^2. Dann müßte aber gelten sigma^2 =0, was doch recht ungewöhnlich wäre.

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Hm, steht aber so in der Aufgabe. Hier mal die ganze Aufgabe:

[tex](1) y=a+bm\\(2) min E(L)=E((y-\bar y^z)^2)\\E(b)=\bar b >0\\ \sigma^2=const[/tex]

Lösungshinweis:
Aus der Regel für die Berechnung des Erwartungswertes für ein Produkt von Zufallsgrößen folgt: [tex]E(b^2)=\bar b^2 + \sigma^2[/tex]

Es soll das optimale m ermittelt werden. So, ich setzte nun (1) in (2) ein und muss den Erwartungswert über die Funktion bilden. Ohne den Lösungshinweis wäre das ja einfach [tex]E(b)=\bar b[/tex].

Aber mit dem Hinweis?

Laut der Lösung ist die Bedingung erster Ordnung:

[tex](3)E(\frac{\partial L}{\partial m})=E(2b(a+bm-\bar y^z)=0[/tex]

logo - aber jetzt?

Ergebnis muss rauskommen:

[tex](4)m=\frac {\bar b(\bar y^z -a)}{\bar b^2 + \sigma^2}[/tex]

Wie kommt man mit dem Lösungshinweis von (3) nach (4)?

Das ist natürlich was anderes

Bei deiner Gleichung kommt ja auf der rechten Seite b gar nicht vor sondern bquer, d.h. eine Konstante!

Von (3) nach (4) kommt man dann so:

den Faktor 2 kann man vergessen und dann nur die Erwartungswerte abspalten:

E(ba) + E(b^2m) - E(byquer) = 0 =>

aE(b) + mE(b^2) - yquerE(b) = 0 =>

abquer + m(bquer^2 + sigma^2) - yquer*bquer = 0
=>

m(bquer^2 + sigma^2) = bquer(yquer -a) => (4)

Allerbesten dank Ivanhoe - jetzt, wo Du's geschrieben hast, ist es irgendwie völlig klaro...😱

beiden

beiden,

wo steht eigentlich die Regel, dass

mE(b^2) gleich m(bquer^2 + sigma^2) ist.

Habe ich in den KE´s (Rechenregeln zu ERwartungswerten) nicht gefunden, oder wird das einfach als Grundwissen vorausgesetzt?

Bin nämlich auf diesen Schritt nicht gekommen...

Mivigo schrieb:

Hallo Ihr beiden,

wo steht eigentlich die Regel, dass

mE(b^2) gleich m(bquer^2 + sigma^2) ist.

Habe ich in den KE´s (Rechenregeln zu ERwartungswerten) nicht gefunden, oder wird das einfach als Grundwissen vorausgesetzt?

Bin nämlich auf diesen Schritt nicht gekommen...

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Steht doch direkt bei der Aufgabe als Lösungshinweis unten drunter!

Oh man! Sorry....:rolleyes