Summenregel beim Ableiten

Catherine schrieb:

Doofe Frage, aber wo erkenne ich, ob es sich um zwei Funktionen "in einer" handelt, also wann ich Summenregel anwenden muss beim ableiten und wann ist es einfach eine Funktion der Form x^2 + x + c

Bsp.: 4 x^2 + 7x - 1/(Wurzel)x --> wo sehe ich jetzt, dass ich hier die summenregel anwenden muss?

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Du must da die Quotientenregel anwenden. Bei (4x^2+7x-1) wendest Du die Summenregel an.

Sorry, hatte quasi die Klammer vergessen. durch Wurzel x soll nur 1 geteilt werden und nicht alles. Trotzdem bleibt die Frage, wo in dem ganzen 2 Funktionen zu sehen sind, also einmal g(x) und einmal h(x) für mich sieht das beides einfach aus wie eine lange funktion

Wenn nur 1 durch Wurzel(x) geteilt5 wird, ist es für mich eine Summenfunktion. Wo die einzelnen Werte abgeleitet werden.

Catherine schrieb:

sorry, hatte quasi die Klammer vergessen. durch Wurzel x soll nur 1 geteilt werden und nicht alles. Trotzdem bleibt die Frage, wo in dem ganzen 2 Funktionen zu sehen sind, also einmal g(x) und einmal h(x) für mich sieht das beides einfach aus wie eine lange funktion

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Du kannst die Funktion f(x) = 4*x^2 + 7*x - x^-1/2 schreiben als:
f(x) = g(x) + h(x) + i(x) mit g(x) = 4*x^2, h(x) = 7*x und i(x) = - x^-1/2

Die Ableitung erhältst Du mit Hilfe der Summenregel:
f'(x) = g'(x) + h'(x) + i'(x) = 8*x + 7 + 0,5*x^-3/2

OK?

Was meinst Du mit "lange Funktion"?

In dem Fall hast du Praktisch drei Funktionen.
bei f(x) =4 x^2 + 7x (+) -1/(Wurzel)x
f(x) =f1(x) + f2(x) + f3(x)

f1(x)=4x^2
f2(x)=7x
und f3x=-1/sqr(x) sqr=Wurzel

Die kannst du jetzt nach der Summenregel einzeln ableiten.

f1'(x)=8x
f2'(x)=7

f3(x) ist ein keine Quotient aus zwei Funktionen der Form a(x)/b(x) sondern der Form c/b(x), also brauchst du da auch keine Quotientenregel.

Statt dessen ist es eine Funktion der Form f3(x)=a(b(x))= -1/(b(x)),
wobei b(x)=sqr(x), also nicht die Quotientenregel sondern die Kettenregel

f3'(x)=a'(b(x))*b'(x) mit
a(x)= -1/x = -1 x^-1 und
b(x)=sqr(x)

also f3'(x)= b(x)^-2 * 1/(2*sqr(x))

b(x) eingesetzt:

f3'(x)= sqr(x)^-2 * 1/(2*sqr(x))=
= 1 / ( sqr(x)^2 * 2*sqr(x))=
= 1/ 2( x * sqr(x)) oder auch

f3'(x)=1/2sqr(x^3) damit haben wir das alles, zurück zu oben zur Summenregel,

also f'(x)= 8x + 1/2sqr(x^3) + 7

Puh ... hab das seit 2 Jahren nicht mehr gemacht, aber mein Taschenrechner bringt das selbe raus, müsste also stimmen. Bitte legt mich aber nicht auf die genaue Form der Schreibweisen fest.

natürlich ist das eine lange (Summen)Funktion und die kann man nicht zerlegen in 2 sondern in 3 Funktionen (erstmal) und die Summenregel anwenden (vielleicht ist die Summenregel so einfach, dass du sie gar nicht als Regel siehst).

Und dann musst du nur noch bei der Ableitung des letzen Teils aufpassen, hab es nur so ausführlich geschrieben wegen der angesprochenen Regel. Prinzipiell ist natürlich -1/sqr(x)= -1 x^(-1/2) abgeleitet -1(-1/2) * x^(-3/2) nach der elementaren Ableitung von x^n und so kommst du auf das gleiche Ergebnis weil es ja nur ein extrem einfache geschachtelte Funktion ist.

Ups war wohl jemand schneller ...

Was definiert man denn als eine Funktion, also mit langer Funktion meine ich, dass der ganze Ausdruck einfach nur f(x) ist und nicht noch g(x), h(x) und sonst was. Warum unterteilt man x^2 + x + c nicht in h(x), g(x) etc.?

Catherine schrieb:

was definiert man denn als eine Funktion, also mit langer Funktion meine ich, dass der ganze Ausdruck einfach nur f(x) ist und nicht noch g(x), h(x) und sonst was. Warum unterteilt man x^2 + x + c nicht in h(x), g(x) etc.?

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Es handelt sich sowohl bei f(x) als auch bei g(x) und h(x) um Funktionen. Es spielt bei der der Definition einer Funktion keine Rolle, wie oft und an welcher Stelle das "x" auftaucht. f(x) kann z.B. eine komplexere Funktion sein, die sich als Kombination der einfachen Funktionen g(x) und h(x), also als f(x) = g(x) + h(x) schreiben lässt.

Wichtig ist eigentlich hier nur, dass man durch die Betrachtung einer komplexen Funktion als Summe von einfachen Funktionen formelle Ableitungsregeln definieren kann ("Summenregel"), um diese komplexere Funktion ableiten zu können.