Term vereinfachen

Definition der Fakultät anwenden: [tex]0! = 1[tex] und [tex]n! = n\cdot(n-1)![/tex].

0! = 1
n! = n (n-1)!

habe zufällig diese Aufgabe auch vor einer Stunde gelöst (allerdings nicht mit dem Schluss von n-1 auf n, sondern von n auf n+1). Macht aber keinen Unterschied.

Erstmal kürzt sich 2*n oben und unten raus. Danach geht es darum die Terme (2n-2)! und (n-1)! und 2^(n-1) in die richtige Form zu bringen. Fangen wir mit dem schwierigsten an:

(2n-2)! ist ja nichts anderes als die Folge(nur schwarze Zahlen):

1*2*.....*(2n-3)*(2n-2) = (2n-2)!

Erweitert man die Folge um zwei weitere Einheiten bekommen wir die folgende Reihe:

1*2*.....*(2n-3)*(2n-2)*(2n-1)*2n = (2n)!

Somit kann ich auch schreiben (2n-2)! * (2n-1) * 2n = (2n)! daraus folgt: (2n-2)! = (2n)!/(2n-1)*2n

Das gleiche gilt für (n-1)! und 2^(n-1):

(n-1)! = n! / n (da n! = 1*2*....*n-1*n und die roten Zahlen durch (n-1)! ersetzt werden können.)

2^(n-1) = 2^n / 2

Jetzt einfach nur noch die Ergebnisse in die obige Rechnung einsetzen. Dann kürzt sich alles wunderbar raus.

Hoffe ich habe jetzt kein Fehler drin.
Viel Spaß damit.

Vielen Dank.

Ich habe Probleme solche Sachen bei der Induktion zu erkennen...

Die Probleme hatte ich auch.... habe immerhin 3 volle Stunden für diese Aufgabe gebraucht, weil ich ursprünglich nicht in der Lage war, die richtige Folge zu bilden. Und mit der falschen Folge hatte ich mich immer verrannt.
Aber das Prinzip ist eigentlich simpel.... jeder Term der ein n enthält und durch n-1 ersetzt wurde, muss wieder auf das n zurückgeführt werden. Bei Falkultäten muss man dann halt mit Folgen rechnen.