Übungsaufgabe 3 - Effizienzsteigerne Ausgabenpolitik

die Sache mit den Reaktionsfunktionen verstehe ich nicht wirklich.
Aufgabenteil a) und b) kriege ich grade noch hin, aber dann weis ich gar nicht mehr, worum es geht.

Kann mir jemand helfen und die Aufgabe ein bisschen erklären?

Julia,
auch wenn Deine Frage sehr allgemein ist und ich dadurch nicht weiß, ob ich an dem "vorbei" erkläre, was Du eigentlich wissen willst, so versuche ich es trotzdem:
Du schreibst selbst, dass Du die Reaktionsfunktion noch hin bekommst. Dann siehst Du, dass Du bei nur noch zwei Konsumenten (3c) folgende Reaktonsfunktionen hast:
y1= (pxa1/2pz)^2 - y2 hast und y2= (pxa2/2pz)^2 - y1.
Das sind im y1-y2-Koordinatensystem zwei Geraden, die wie in Abb. 12, S. 33, eingezeichnet werden müssen.
Da Du schreibst, Du weíßt jetzt gar nicht, um was es geht, erkläre ich Dir, wie man zu dieser Graphik kommt.
Wenn Du die Reaktionsfunktion mal mit z.B. f(x)=y= 3-x vergleichst, dann wüsstest Du bestimmt, wie Du diese Gerade einzeichnest: y ist die senkrechte Koordinatenachse, x die waagrechte, die Gerade hat die Steigung -1 (also wie schreibt Eichner auf S. 34 oben: "45°-Linien mit negativer Steigung"), Dein Achsenabschnitt wäre 3.
Das überträgst Du jetzt auf die Reaktionsfkt. oben: y1 ist die senkrechte Koordinatenachse, y2 die waagrechte, die Reaktionsfunktion R1 (y2) = y1 hat als Achsenabschnitt (pxa1/2pz)^2 und die Gerade hat die Steigung -1. Warum aber schneidet nun diese Gerade nicht die y2-Achse sondern läuft auf ihr weiter? Ganz klar: y1 ist der Beitrag zum öffentlichen Gut, wenn dieser einmal null ist, dann bleibt er null und wird nicht negativ.
Das gleiche Spiel machst Du nun mit der anderen Reaktionsfkt., nur musst Du hier umdenken: Achsenabschnitt ist (pxa2/2pz)^2, befindet sich aber nun auf der y2-Achse (der Waagrechten)
Soweit verstanden? Ich mache jetzt mal Pause, sonst wird mein Beitrag nicht geladen.

Die beiden Geraden sind parallel: Du musst Dich natürlich fragen, wessen Reaktionsfunktion ist denn die weiter rechts liegende: in diesem Fall ist a1<a2 und somit ist die R2(y1)=y2 die Gerade, die weiter rechts liegt. D.h., der Achsenabschnitt (pxa2/2pz)^2 wird zu dem Punkt, wo sich die beiden Geraden schneiden. Der Schnittpunkt ist das Nash-Gleichgewicht, welches aber ineffizient ist, denn nun trägt Individuum y1=0 bei, während das andere Individuum y2= (pxa2/2pz)^2 beiträgt.
Jetzt wird auch die Aufgabe d klar, oder? Die Person n hat den höchsten Präferenzparameter "an" und hat somit als Achsenabschnitt: (pxan/2pz)^2. Das ist sein Beitrag zum öffentlichen Gut und alle anderen zahlen nix.

Konnest Du mir folgen? Wenn nicht, dann frag gerne noch einmal nach.
LG Hurra

Wow! Danke für die tolle und umfangreiche Antwort. Das hat mir wirklich weitergeholfen

Kann mir jemand bitte kurz mit dem Langrange- Ansatz zu Aufgabe 3 e) weiterhelfen? Vielen lieben Dank schon mal!

broeselbacke,
3e? Lagrange? Eigentlich braucht man bei der gesamten 3 keinen Lagrange...

Wie komm ich denn sonst auf die Bedingung 1. Ordnung von pz/px = y???? Den Schritt zu (32) blick ich leider auch gar nicht. Verzweifel langsam...

Ach so, daher...
Lagrange wäre nur hier viel zu kompliziert (und würde Dich in der Klausur aufhalten). Leichter geht es so:
Betrachten wir ein Unternehmen, das sowohl das öffentliche Gut als auch das private Gut produziert. Dieses maximiert den Gewinn unter der Nebenbedingung der Transformationsfkt. (x=T(z)) . Diese Funktion wird nun an der Stelle x in der Gewinnfunktion eingesetzt:
G= px*T(x) + pz*z. Nun wird die Gewinnfunktion nach z abgeleitet, mit 0 gleichgesetzt und nach pz/px aufgelöst.

Vielen, vielen Dank!!!

Kann mir jemand erklären, wie ich dann von pz/px=y auf das z NG komme?

Einfach nur das y für px/pz in dem errechneten z NG einsetzen, allerdings umgekehrt, also 1/y, weil y=pz/px, oder meinst du etwas anderes?

Ah, jetzt sehe ich es. Danke dir!

kann mir jemand sagen wie ich G= px*T(x) + pz*z. nach z ableiten kann?
Stehe irgendwie auf dem Schlauch

sitze gerade an der Aufgabe 3m Skript und würde gerne die Gleichung (26) und (27) nachvollziehen können.
Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich verstehe leider nicht wieso ich (26) so aufstelle und wie ich dann auf (27) komme. (also nicht die Umstellung nach xi sondern der erste Schritt in (27)

Ich versuche es mal zu erklären:
Linke Seite der Gleichung (26): in der Summe alle Konsumenten enthalten (alle j, also inklusive dem i-ten Konsumenten). Du musst jetzt den i-ten Konsumenten aus der Summe rausnehmen, dann bleibt dir p(z)*y(i)+ p(z)*Summe der übrigen Konsumenten OHNE i (also von j=1, j ungleich i)
Diesen Term p(z)*Summe der übrigen Konsumenten OHNE i findest du auch auf der rechten Seite der Gleichung (26) -> den kannst du also einfach durch Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung entfernen und kommst somit zu Gleichung (27).
Ich hoffe, die Erklärung war verständlich. Man muss halt sehr genau auf die Indices schauen...

Schnippel schrieb:

Ich versuche es mal zu erklären:
Linke Seite der Gleichung (26): in der Summe alle Konsumenten enthalten (alle j, also inklusive dem i-ten Konsumenten). Du musst jetzt den i-ten Konsumenten aus der Summe rausnehmen, dann bleibt dir p(z)*y(i)+ p(z)*Summe der übrigen Konsumenten OHNE i (also von j=1, j ungleich i)
Diesen Term p(z)*Summe der übrigen Konsumenten OHNE i findest du auch auf der rechten Seite der Gleichung (26) -> den kannst du also einfach durch Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung entfernen und kommst somit zu Gleichung (27).
Ich hoffe, die Erklärung war verständlich. Man muss halt sehr genau auf die Indices schauen...

Zum Vergrößern anklicken....

Danke für die Erklärung! Leider erschliesst es sich mir immer noch nicht so wirklich... 🙁
Also im Prinzip verstehe ich nicht warum wir diesen Summenterm mit yj in (27) einfach als yi darstellen?

Wenn nur (27) in der Lösung stehen würde ist es mir klar aber der Schritt vorher ist für mich einfach nicht nachvollziehbar.

Ich versuche es mal mit einem Beispiel und zäume das Pferd mal von hinten auf (erst Gleichung 27, dann 26):
Nehmen wir an, es gibt 2 Konsumenten: Dich (= i) und Deinen Nachbarn (= j). Ihr beide teilt die Vorliebe für klassische Musik. Für den nächsten Sonntag planst Du ein schönes Frühstück auf der Terrasse mit leckeren Brötchen (= privates Gut) und das ganze bei Violinenmusik (= öffentliches Gut). Du hast insgesamt 10 Euro zur Verfügung (= e(i)). Für ein Brötchen musst Du 0,50 Euro (= p(x)) zahlen und pro Minute der Geigerin 1,00 Euro (=p(z)).

Deine Budgetbeschränkung lautet:
0,50 Euro * Anzahl der Brötchen x(i)+ 1,00 Euro * Anzahl der Minuten Geigerin y(i) = 10 Euro.
Das entspricht der Gleichung (27):
p(x) * x(i) + p(z) * y(i) = e(i)

Gemäß Seite 28 oben im Skript kannst Du die Budgetbeschränkung aber auch um den Term Preis des öffentlichen Gutes * Menge des öffentlichen Gutes, die die anderen Konsumenten kaufen, erweitern (Du kannst die Menge des öffentlichen Gutes ja kostenlos mit nutzen). Dies ist für die graphische Darstellung nötig. Um diesen Term musst Du dann die beiden Seiten der Gleichung erweitern.
Für unser Beispiel heißt das, Du kannst mitlauschen, wenn die Geigerin im Garten Deines Nachbarn spielt. Deine Budgetbeschränkung lautet dann (stell Dir einfach vor, Dein Nachbar gibt Dir das Geld für die Minuten der Geigerin, die er sie engagieren möchte und Du zahlst sie für die gesamte Zeit, die sie spielen soll):
0,50 Euro * Anzahl der Brötchen x(i)+ 1,00 Euro * (Anzahl der Minuten Geigerin, die Du zahlst y(i) + Anzahl der Minuten der Geigerin, die Dein Nachbar zahlt (y(j)) = 10 Euro + 1,00 Euro * Anzahl der Minuten, die Dein Nachbar zahlt

Um zu Gleichung (26) zu kommen, musst Du jetzt nur die Anzahl der Minuten Geigerin, die Du zahlst y(i) und die Anzahl der Minuten der Geigerin, die Dein Nachbar zahlt (y(j) zusammenfassen, da dies die gesamte Menge des öffentlichen Gutes ist (z).

Wenn das ganze jetzt verallgemeinert wird und die Anzahl der Konsumenten größer ist, kommst Du zu Gleichung (26), der Budgetbeschränkung für einen Konsumenten:
Preis * Menge des privaten Gutes + Preis * Gesamtmenge des öffentlichen Gutes = Einkommen + Preis * Menge des öffentlichen Gutes, dass alle anderen Konsumenten außer dem betrachteten beziehen

Nichts anderes steht in Gleichung 26.

ich sehe im Moment nicht die Lösung zu 30. Kann mir das jemand erklären?
Vielen Dank!!!