stephan2203,
deine Frage ist wirklich gut und ich finde es äußerst schräg, dass sich diese Frage nicht mehr Leute stellen.
Die Antwort fällt differenziert aus.
Die Quotienten, wie du weißt stehen für die Ableitung einer Funktion. Steht das "d" alleine vor einem Funktionssymbol, dann ist es alles andere als klar. Die Dozenten werden eine infinitesimale Änderung meinen, aber für soetwas gibt es in der Standard-Analysis kein Symbol. Wenn jemand mit dem Symbol rechnet, und dann z. B.: einen Quotienten rausbekommt, dann versuche es dadurch zu rechtfertigen, dass du die Rechnung mit einer unbekannten Änderung in Höhe von einem endlich kleinen Delta gleichsetzt und dieses Delta, dann gegen unendlich gehen lässt. Damit lassen sich viele Aktionen mathematisch erklären. Bleibt aber am Ende einer Rechnung das "d" wieder alleine stehen, so helfen Differentialformen weiter. Eine Operation auf Differentialformen kennst du sicher aus dem Studienbrief, nämlich die totale Ableitung oder äußere Ableitung. Dahinter steckt eine ganze Theorie, deshalb lässt sich darauf hier nur schwer eingehen. Für die Anwendung kann ich dir aber sagen, dass bei eindimensionalen reelen Funktionen, welche beliebig stetig differenzierbar und auf offenen Mengen definiert sind, das ganze so übersetzt werden kann: Es gibt die Linearform dx, die jede Zahl auf sich selbst abbildet (Identität) und ist nun f eine Funktion wie oben beschrieben, dann ist df = f ' dx und ddx=0. Das lässt sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern und sogar die "Welt der reelen Zahlen" kann man hinter sich lassen, aber sie können nicht auf beliebigen Mengen definiert werden (nur auf Mannigfaltigkeiten und offenen Mengen), was das ganze sehr tricky macht. Im Bachelorstudiengang Mathematik, taucht das Symbol in keinem Studienbrief auf, den ich gesehen hab und das waren schon ein paar. Bei manchen Physikern hab ich wiederum das Gefühl, sie würden sich am liebsten so ein "d" auf die Stirnt tätowieren lassen. Letztendlich kann ich nur raten, dass man immer in Funktionen und ordentlichen Ableitungen denken und das Differentialsymbol nicht einfach freistehen lassen soll (schon gar nicht unerklärt).
Die äußere Ableitung kann man auch als eine Art Richtungsableitung erklären, aber das lässt sich auch gut über Wikipedia, etc. nachlesen.