zweite partiellen Ableitungen

shunshine82 schrieb:

Also F(xy) und f(yx).

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bei f(xy) leitest Du zuerst nach x ab, y ist dabei eine Konstante und danach leitest Du es nochmal nach y ab.

Bei f(yx) das gleiche nur erst nach y und dann nach x

In Beiden Fällen muss das Érgebnis gleich sein.

@shunshine82:
Wenn Du die ersten partiellen Ableitungen bilden kannst, so kannst Du auch allg. die n-ten partiellen Ableitungen bilden.

Bsp.:
Es sei die Funktion f:R^2 --> R definiert durch f(x,y)=x^2+y^2 gegeben.
Es soll f_x die partielle Ableitung nach x und f_y die paritielle Ableitung nach y bezeichnen. Dann ist

f_x(x,y) = 2x
f_y(x,y) = 2y

Man behandelt also alle Terme, welche keine Variablen enthalten nach denen abgeleitet wird als Konstante und leitet anschließend wie auch im eindimensionalen ab.

Will man nun die zweiten partiellen Ableitungen bilden (nach x und y), so geht man genauso vor - einzig die abzuleitenden Funktionen ändern sich. Will man nun also f_xx bilden, also zweimal nach x ableiten, so gilt:

f_xx = (f_x)_x

D.h. die zweite paritelle Ableitung nach x kann man durch erneutes partielles ableiten von f_x nach x erreichen.

Also gilt:

f_xx = (f_x)_x = 2
f_yy = (f_y)_y = 2
f_xy = (f_x)_y = 0
f_yx = (f_y)_x = 0.

Nun kann man beobachten, dass die Reihenfolge der paritellen Ableitungen u.U. vollkommen egal ist. Das mag zunächst verwundern ist aber bei genauerem Hinschauen ganz einfach zu beweisen. Diese Erkenntnis ist unter dem Satz von Schwarz bekannt.

@Anna-dMd:
Deine Aussage, dass in beiden Fällen das Ergebnis gleich sein muss ist nicht korrekt - es existieren Funktionen die den Satz von Schwarz nicht erfüllen und das ist natürlich genau dann der Fall, wenn die Voraussetzungen des Satzes nicht erfüllt sind.

Ich komme damit auch sehr schlecht zurecht. Lustig ist, dass ich mich damit auch gestern Abend gequält habe. Wir scheinen in etwa das gleiche Tempo zu haben.

Ich kann mit dem Begriff: Konstante in dem Fall überhaupt nichts anfangen.

Das einen Mal fällt Y komplett weg, wenn ich nach x ableite, das andere Mal bleibt es stehen etc. Das ist doch nicht konstant...

Ich glaube begriffen zu haben, dass beides stehen bleibt, wenn es einen gemeinsamen Term bildet. Dann ändert sich nur der x-Wert...

Hm, wie drücke ich mich aus, dass Ihr die Chance habt, mich zu verstehen???

Auf jeden Fall würde ich mich auch freuen, wenn jemand eine einfache Erklärung für die erste Ableitung hat, die ich bei nicht partiellen Ableitungen ganz gut beherrsche. Diese fällt mir aber bei partiellen Ableitungen sehr schwer...

So in der Art: f(x,y): 3x + 2xy^4 - y

Was mache ich, wenn ich nach x ableite? Was mache ich, wenn ich nach y ableite? Was mache ich, wenn ich nach x,y ableite und die dazugehörigen 2. Ableitungen?

War das einigermaßen verständlich?

Riesenschnecke schrieb:

So in der Art: f(x,y): 3x + 2xy^4 - y

Was mache ich, wenn ich nach x ableite? Was mache ich, wenn ich nach y ableite? Was mache ich, wenn ich nach x,y ableite und die dazugehörigen 2. Ableitungen?

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Ich teile das obere einfach mal in 3 terme, viell.verstehst du es dann eher.
3x ---wird zu 3
2xy^4----wird zu 2y^4 erklärung: wenn du 2x ableitest würde das 2 ergeben und nun ist noch zusätzlich y^4 dabei (das wird als konstante gewertet aber ich kann dir auch nicht erklären was das ist....)da das alles ein Term ist wegen den Mal wird das mit x einfach abgeleitet und das mit y bleibt hier unverändert stehen.
-y-------hier ist kein x dabei nach dem man ableiten kann und deswegen fällt das hier ganz raus.
Die erste Ableitung nach x ist also: 3+2y^4

Die erste Ableitung nach y funktioniert genauso wie oben. In 3 Terme teilen, und nur y betrachten.
3x--------wird zu 0 weil kein y drin vorkommt
2xy^4----wird zu 4mal2xy^3---8xy^3
-y--------wird zu -1
Die erste Ableitung nach y ist also: 8xy^3-1

so die 2.Ableitungen bildest du eigentlich genauso
Bei f(xy) nimmst du als erstes die 1.Ableitung von x her,also 3+2y^4 und dann leitest du diese diesmal nach y ab.
3:----0
2y^4....4mal2y^3-----8y^3

bei f(y,x)nimmst du die erste Ableitung nach y her und leitest diese nach x ab.
8xy^3----8y^3
-1-----o
Vergleichst du nun die ergebnisse von f(x,y) und f(y,x) miteinander siehst du dass das gleiche ergebnis herauskommt.
Hoffe das war verständlich....
Liebe Grüße Sabrina

Vielen Dank für Deine Mühe. Ich finde Deine Erklärung sehr logisch!

Wenn dann in den Aufgaben aber noch Brüche, Sinus, Cosinus und so ein Kram vorkommt, dann wird mir immer ganz schwummerig.

Bei Sinus und Cosinus muss du einfach innere Ableitung mal äußere Ableitung machen.

f(x,y) =sin(x*y) => fx(x,y) = cos(x*y) * y und fy(x,y) = cos (x*y) * x