Vektorrechnung Koordinatengleichung Ebene

Dieses Thema im Forum "Lineare Algebra" wurde erstellt von Lyna, 19 Februar 2007.

  1. Vektorrechnung, Koordinatengleichung Ebene

    Hi Leute, ich bitte um eure Hilfe!

    Bei meiner Aufgabe geht es um die Ermittlung der Koordinatengleichung einer Ebene.

    Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A, die beide auf der Ebene liegen.

    Ich habe schon verschieden Lösungsansätze mitbekommen.

    - Auf die Parameterform der Ebene kommen
    - Parameterform in Koordinatenform umwandeln
    - Normalenvektor bilden(Skalarprodukt/Kreuzpr.)

    Die Koordinatengleichung hat ja die Form
    n1x1+n2x2+n3x3=d

    Wenn ich den Normalenvektor also hätte, könnte ich die Koordinaten einfach in die Koordinatengleichung einsetzen. Was ist aber dann mit d? Irgentwer meint d sei frei wählbar, andere sagen d bestimmt man mit dem Skalarprodukt zwischen dem Stützvektor p und dem Normalenvektor n. ??

    Die Geradengleichung heißt ja
    x = p(p1/p1/p3) + t*(u1/u2/u3)
    (Stützvektor p) (Richtungsvektor u)

    Wenn man daraus die Parameterform für
    die Ebenengleichung bilden will, braucht
    man ja einen zweiten Spannvektor v.

    dann hätte man

    x = p(p1/p2/p3) + r*(u1/u2/u3) + s*(v1/v2/v3)

    und könnte die Parameterform in die
    Koordinatenform umwandeln.

    Nun meine Frage:

    Wie bekomme ich den zweiten Spannvektor?
    Man könnte ihn ja als Verbindungsvektor bilden
    zweischen dem Sützpunkt P und dem Punkt A
    auf der Ebene.

    d.h. er ergibt sich als Vektor AP.
    also

    p(p1/p2/p3)- a(a1/a2/a3) = v(v1/v2/v3)

    oder doch als Vektor PA?

    a(a1/a2/a3) - p(p1/p2/p3) = v(v1/v2/v3)

    oder ist die Reihenfolge egal bei der Differenz??

    Kann mir hier vll jemand helfen?
     
  2. Moin moin,

    deine Ebene erhältst du, indem du mit dem Ortsvektor der Geraden und dem gegebenem Punkt einen neuen Richtungsvektor durch Subtraktion erzeugst. Dein Vorschlag ist also richtig.
    Wenn du nun die beiden Richtungsvektoren kreuzmultiplizierst, erhälst du den Normalenvektor.
    d erhälst du, indem du den Ortsvektor p der Ebene mit dem Normalenvektor n Skalarmultiplizierst. Damit ist d ganz klar bestimmt und nicht, wie angenommen, frei wählbar.

    Viel Spass beim Lösen
     
  3. Danke. Und ob man jetzt A minus P oder P minus A macht, ist egaL?
     
  4. Oki..noch eine kleine Anmerkung am Rande;

    nehmen wir an:

    Ich habe einen Punkt A und einen Punkt P im 3d KS mit den Ortsvektoren a und p.

    der Punkt A läge sehr zentral, so eher nah beim Ursprung, und Punkt P weiter außen.

    Ich suche den Vektor v der quasi zwischen diesen beiden Punken liegt bzw vom A nach P verläuft.

    Wenn ich jetzt p - a rechne, erhalte ich v., also den Vektor von A nach P.

    Würde ich jetzt aber a - p rechnen, wie man es scheinbar ja auch darf,
    erhielte ich doch -v, also den Vektor von P nach A !?

    Das würde ja heißen, es gäbe Vektoren ,die zum Ursprung hin zeigen anstatt davon weg, weil sie ja dann umgekehrt sind!?


    Das ist eine Kleinigkeit die mich noch ein bischen irritiert bei dieser Sache.Ist das ein Missverstehen meinerseits oder nur ein kleiner, aber gerechtfertigter Gedanklicher Stolperstein der Mathematik den ich sowiso getrost ignorieren kann, wenn ich durch Subtraktion einen Spannvektor haben will?
     
  5. Nemen wir an wir haben Vektor a mit Richtung -> dann hat -a Richtung <-. Mach dir das an den geometrischen Sachverhalten und der Koordinatenweisen Subtraktion genau klar. Für Entfernungen spielt das keine Rolle, da man die eh "im (reellwertigen) Betrag" angibt.
    Du hast also nichts falsch verstanden und keinen Grund irritiert zu sein ignorieren würde ich das aber nicht.

    Machst du gerade Abi? Wenn ja, dann sie dir mal die Sache mit dem Hesse genau an (orientierung des Normalenvektors vom Ursprung weg!) :)


    Gruß Neckartaler
     
  6. Nachtrag- für Spannvektoren spielt die Richtung (Vorzeichen) natürlich keine Rolle- da kann man das ignorieren- Sorry

    Gruß Neckartaler
     
  7. Moin,

    (1) Vektoren sind nicht Ortsabhängig, sie müssen also nicht vom Ursprung wegzeigen
    (2) Je zwei Spannvektoren einer Ebene sind linear unabhängig, somit gibt es unendlich viele Möglichkeiten, Parameterformen von einer Ebene aufzustellen. Dazu kann man einen Spannvektor mit einem beliebigen Skalar (der nicht 0 ist) vervielfachen, ohne die lineare Unabhängigkeit zu gefährden. Deshalb ist es egal, ob v oder -v verwendet wird.
    (3) Die Addition zweier Vektoren erzeugen einen neuen Vektor, der geometrisch die "Abkürzung" ist. Zur Veranschaulichung nehme man das Vektorparallelogramm, dann gilt: a+AP=p <=> AP=p-a . So lassen sich Spannvektoren erzeugen.

    Gruß
     
  8. Zu (1) Streng genommen tun sie weder das eine noch das andere. Allgemein gesehen sind Vektoren Elemente eines Vektorraums und da kann "zeigen" gar keinen Sinn machen. In diesem Thread geht es ja um die "Vektoren der analytischen Geometrie" also um die "Pfeilchen" im IR^2 bzw. IR^3. Wichtig ist hier einzusehehen, dass ein Vektor nicht ein bestimmtes "Pfeilchen" im Raum ist sondern die Menge aller Pfeile einer bestimmten Orientierung und Richtung. Ich nehme an du meinst das mit "ortsunabhängig". Wählt man aus einer solchen Menge namens Vektor irgendein "pfeilchen" also einen sog. Repräsentanten aus dann kann das zum Ursprung hin oder auch von ihm weg zeigen. Genauer: zwei Repräsentanten desselben Vektors können "zum Ursprung hin oder von ihm weg zeigen", je nachdem wo man den Anfangspunkt wählt. Bei bestimmten Überlegungen (z.B. Hesse Normalform) kann das aber durchaus wichtig sein.

    Zu (2) genau so isses :)

    zu (3) da komm ich nicht ganz mit wie du da Spannvektoren erzeugst. Die Situation ist doch die, dass man z.B. drei Vektoren a, b, c gegeben hat und dann mittels z.B, k(a -b) + l(a-c), k,l in IR, die übrigen Punkte der Ebene "erreicht" bzw "erzeugt" bzw. "linear kombiniert. Was man da von was abzieht ist wurscht, man muss sich nur für einen "Aufpunkt" entscheiden (hier a)

    Gruß aus dem Neckartal
     
  9. Moin Neckartal,

    natürlich hast du recht, aber erklär das so mal einem Abiturienten, der gerade mal eine Ebene in KO-Form aufstellen möchte.
    zu (1): In der Oberstufe sind Vektoren einfache Feile mit Richtung und Länge, ein Vektorraum gerade mal ein kartesisches Koordinatensystem, da reicht die Begründung denke ich aus.
    zu (3): Dies war allgemein gemeint, zur Bestimmung eines Richtungsvektors wird die Vektoraddition verwendet, und zwar auf diese weise.

    Also nichts für Ungut
    Mathe-Michi
     
  10. Hallo mathe-michi, hallo Lyna

    das hab ich mir schon gedacht, dass das aus didaktischen Gründen gedacht war. Aber ich gebe Nachhilfe und versuche die Sache mit "ein Vektor ist eine Menge- die entsprechend orientierten, gleich langen und gerichteten Pfeile sind Elemente dieser Menge- sogenannte Repräsentanten" sauber rüberzubringen. Meistens klappt das auch :)

    Mein Beitrag oben war natürlich ziemlich "geschwollen" das gebe ich zu ;) Vektorräume im allgemeinen interessieren zur Zeit nicht in Baden-Württemberg ( war schon anders ). Die Abi Aufgaben sind ziemlich grusel-krimskramsig geworden. Das nennt sich dann Transferaufgaben :D. Gott sei Dank muss ich selbst kein Abi machen- Mathe studieren ist viel spannender- und exakter.

    Grüße aus dem Neckartal