Nutzenmaximum

Dieses Thema im Forum "Einführung in die Wirtschaftswissenschaft" wurde erstellt von Jasmine1987, 25 März 2010.

  1. Hallo Zusammen,

    ich hänge nun schon ne Weile über dem Nutzenmaximum
    kann mir jemand eine Seite empfehlen wo die Berechnung Schritt für Schritt erklärt ist mit der Berechnung der jeweiligen Steigungen?

    Oder kann mir das jmd. vllt mal erläutern? Mit dem Skript komme ich einfach nicht weiter, ich brauch ein Beispiel!

    Ganz lieben Dank!
     
  2. Hallo Jasmin,

    hier eine Online Seite für Mikroökonomik: Inhalt

    Kapitel 2 Theorie des Haushalts und darin Abschnitt 2.1 Gesetz der Nachfrage I und 2.2 Gesetz der Nachfrage II erklären Präferenzen, Indifferenzkurven, Grenzrate der Substitution, Nutzenfunktion, Budgetgerade, Nutzenoptimum, etc.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  3. Danke für deine schnelle Hilfe...
    Die Seite scheint mir (auf den ersten Blick) sehr gut... vielen Dank...
    Ich mach mich mal an die Arbeit =)
     
  4. Also so richtig habe ich die Berechnung vom Haushaltsoptimum immer noch nicht verstanden... kann mir das vllt. mal jmd. kurz erläutern...
    Also wenn ich das berechnen muss, was habe ich dann gegeben etc.

    Denn rein formal habe ich es denk ich schon verstanden, aber wie wendet man es in der praxis an?
     
  5. Beispiel:

    Gegeben: Haushalt mit ...

    + Güter x und y

    + Nutzenfunktion U(x, y) = x^1/2 * y^1/2

    + Preis von Gut x sei p = 3

    + Preis von Gut y sei q = 5

    + Einkommen (Budget) B = 100

    Frage: Welches Güterbündel (xmax, ymax) wählt der Haushalt im Nutzenmaximum?

    Idee: Jenes Güterbündel ist nutzenmaximal ...

    - bei dem Grenznutzen- und Preisverhältnis gleich sind (1. Schritt) und

    - die Budgetrestriktion erfüllt ist (2. Schritt).

    1. Schritt: Grenznutzenverhältnis = Preisverhältnis

    Im Haushaltsmaximum verhalten sich die Grenznutzen der Güter wie deren Preise, d.h. im Haushaltsmaximum gilt:

    (dU/dx) / (dU/dy) = p / q

    (1/2 * x^-1/2 * y^1/2) / (1/2 * x^1/2 * y^-1/2) = 3/5

    y/x = 3/5

    Im Haushaltsmaximum gilt also: x = 5/3 * y bzw. y = 3/5 * x

    2. Schritt: Einsetzen in die Budgetrestriktion

    Die Budgetrestriktion des Haushalts lautet:

    B = p * x + q * y

    100 = 3 * x + 5 * y

    Zusammen mit x = 5/3 * y bzw. y = 3/5 * x (1. Schritt) gilt nun im Haushaltmaximum:

    B
    = 100
    = 3 * x + 5 * y
    = 3 * x + 5 * 3/5 * x ...// siehe 1. Schritt: y = 3/5 * x
    = 6 * x

    Also: x = 100/6 = 50/3

    Und es gilt:

    B
    = 100
    = 3 * x + 5 * y
    = 3 * 5/3 * x + 5 * y ...// siehe 1. Schritt: x = 5/3 y
    = 10 * y

    Also: y = 100/10 = 10

    Probe: 3 * x + 5 * y = 3 * 50/3 + 5 * 10 = 100 = B stimmt!

    Ergebnis: Das nutzenmaximale Güterbündel des Haushalts ist (xmax=50/3, ymax=10)

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
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  6. Eine Verallgemeinerung: Wird das Einkommen B variabel gelassen, so erhält man nicht die haushaltsoptimalen Mengen für das bestimmte Einkommen B = 100 sondern für ein beliebiges Einkommen, die in EVWL sog. Einkommens-Konsum-Funktion der Güter:

    Für Gut x:

    B
    = 3 * x + 5 * y[/COLOR]
    = 3 * x + 5 * 3/5 * x[/COLOR] ...// siehe 1. Schritt: y = 3/5 * x[/COLOR]
    = 6 * x

    Also: x = B/6 (Einkommens-Konsum-Funktion für Gut x)

    Für Gut y:

    B
    = 3 * x [/COLOR]+ 5 * y
    = 3 * 5/3 * y[/COLOR] + 5 * y ...// siehe 1. Schritt: x = 5/3 y[/COLOR]
    = 10 * y

    Also: y = B/10 (Einkommens-Konsum-Funktion für Gut y)

    Mit x = B/6 und y = B/10 sind also nun die optimalen Mengen der Güter für ein beliebiges Einkommen bestimmt. Als Ergebnis lässt sich also formulieren, dass der Haushalt bei den gegebenen Preisen und einem Einkommen B >= 0 im Haushaltsoptimum das Güterbündel (x = B/6, y = B/10) nachfragt.

    Lässt man nun auch noch die Güterpreise p und q variabel (die sind in den bisherigen Betrachtungen ja fest), dann erhält man die optimalen Mengen für Gut x und y als Funktion von B, p, und q. Damit kann dann ermittelt werden, wie sich die optimale Güternachfrage des Haushalts bei einem Anstieg oder Senkung eines der beiden Güterpreise p oder q verhält. Oder man könnte fragen, wie sich bei einem Anstieg von Güterpreis p (oder q) das Einkommen B ändern müsste, damit das Nutzenniveau des Haushalts unverändert bleibt.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  7. hallo :)
    kann es sein, dass du dich bei der Berechnung für Gut y in der zweiten zeile vertan hast? weil ja x= 5/3y und da aber noch x steht...
    oder hab ich es etwa immer noch nicht verstanden? :(
     
  8. Stimmt, Danke, ich habe es korrigiert!

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  9. puh :)
    Danke für die Beispiele!! Das hat mir sehr geholfen...
     
  10. Guten Tag zusammen,

    ich "muss" das Thema leider wieder ausgraben da ich mich momentan in einer Sackgasse befinde -.- Wir haben Samstag vor einer Woche mit dem Thema begonnen und direkt auch 'ne Aufgabe zur Übung.

    Gegeben war folgende Gleichung: 100 GE = 5 * x1 + 10 * x2 (GE = Geldeinheiten, x1 = x im Beispiel oben, x2 = y)

    Aufgabenstellung: Berechnen Sie das Nutzenmaximum. Dazu der Vermerk, dass man zunächst die Steigung der Bilanzgeraden/Budgetgeraden berechnen soll, danach die Steigung der Indifferenzkurve und anschließend beides gleichsetzen um zum Ergebnis zu kommen.

    Nachdem ich das Thema hier gelesen habe, blick' ich leider überhaupt nicht mehr durch, was jetzt richtig ist und vor allem: Warum ist genau das richtig? Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Entweder ist das tatsächlich zu hoch für mich oder ich steh' gewaltig auf dem Schlauch...

    Edit: Den Rechenweg oben hab ich übrigens ausgeführt und auch ein (richtiges) Ergebnis bekommen (richtig da die Gleichung aufgeht) - aber das kann doch dann nicht alles gewesen sein? Mir fehlen ja lt. Anleitung des Profs zwei Rechenschritte?
     
  11. Ja, das ist der elementare, intuitive Lösungsweg. Es gibt ja eine Budgetgerade und unendlich viele Indifferenzkurven (für jeden Nutzenwert eine Indifferenzkurve). Das Optimum muss zum einen natürlich auf der Budgetgeraden liegen, denn der Haushalt möchte schließlich genau sein Budget ausgeben (nicht mehr und nicht weniger). Zum anderen liegt das Optimum auf einer Indifferenzkurve (die Frage ist auf welcher). Insgesamt ist das Optimum also der Punkt, in dem sich Budgetgerade und eine Indifferenzkurve berühren (= schneiden und diesselbe Steigung haben).

    Leider hast Du nur die Budgetgerade angegeben (100 GE = 5 * x1 + 10 * x2 ), aber nicht die Nutzenfunktion bzw. Präferenzrelation, so dass man die Indifferenzkurven nicht herleiten kann.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  12. Hallo Chrissi,

    danke für die schnelle Antwort. Als Nutzenfunktion hatte ich lediglich N = x1 * x2 angegeben.

    Ich werde das Gefühl nicht los, dass die Lösung direkt vor mir steht, ich aber quasi vor lauter Bäumen den Wald nicht erkenne -.- Das sind die Punkte an denen man sich total doof vorkommt :mad:
     
  13. Was heißt lediglich. Die Nutzenfunktion ist natürlich entscheidend, denn die Nutzenfunktion spiegelt die Präferenzen des Haushalts wider, die bekannt sein müssen, um das Haushaltsoptimum zu berechnen. Eine andere Nutzenfunktion führt auch zu einem anderen Haushaltsoptimum.

    Budgetgerade:
    100 = 5 * x1 + 10 * x2
    x1 = 20 - 2 * x2

    Indifferenzkurven (mit Nutzenwert N):
    N = x1 * x2
    x1 = N/x2

    Steigung Budgetgerade: dx1/dx2 = - 2

    Steigung Indifferenzkurve: dx1/dx2 = -N/x2^2

    Steigung gleich: - 2 = -N/x2^2 = - (x1 * x2) / x2^2 = -x1/x2

    Im Optimum gilt also -2 = -x1/x2 also x1 = 2 * x2 (das ist der sogenannte Expansionspfad oder die Expansionslinie)

    Jetzt x1 = 2 * x2 in die Budgetgerade einsetzen:

    x1 = 20 - 2 * x2

    2 * x2 = 20 - 2 * x2

    4 * x2 = 20

    x2 = 20/4 = 5

    Und damit ist x1 = 20 - 2 * x2 = 20 - 2 * 5 = 10

    Das Haushaltsoptimum ist also bei x1 = 10 und x2 = 5

    Der Nutzenwert N des Haushalts ist im Optimum: 10 = N/5 , also N = 50, die Indifferenzkurve auf der das Haushaltsoptimum liegt lautet also x1 = 50/x2.

    Man erkennt: Für x1 = 10 / x2 = 5 haben Budgetgerade x1 = 20 - 2 * x2 und Indifferenzkurve x1 = 50/x2 denselben Wert (x1 = 10 bei x2 = 5) und dieselbe Steigung -2, d.h. sie berühren sich in diesem Punkt (das ist also das Haushaltsoptimum).

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
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  14. Danke nochmals, dann werd' ich mir das Ganze mal in Ruhe reinziehen :) Ich glaube ich werde mich für dieses Semester noch nach einer Fachlektüre umsehen. In der vom ersten Semester kommt zu diesem Thema leider nicht wirklich viel drin.
     
  15. Hier eine gute Online Seite: Inhalt


    Kapitel 2 Theorie des Haushalts und darin Abschnitt 2.1 Gesetz der Nachfrage I und 2.2 Gesetz der Nachfrage II erklären Präferenzen, Indifferenzkurven, Grenzrate der Substitution, Nutzenfunktion, Budgetgerade, Nutzenoptimum, etc.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
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  16. Ja danke - die Seite habe ich mir teilweise schon angesehen (ist ja weiter oben auch mal kurz angesprochen worden). Momentan fehlt mir aber - ähnlich der Threaderstellerin - noch der direkte Fluss von der "Theorie" der Erklärung bis hin zum konkreten, mathematischen Beispiel. Aber ich lese mir das nachher mal in Ruhe durch und werde mir das auch anhand meiner Übungsaufgabe nochmal anschauen. Wird schon werden (hoffentlich) :D
     
  17. Haushaltsoptimum.png

    Hier zur Veranschaulichung die beiden Kurven ("x-Achse" ist x2, "y-Achse" ist x1):

    Blau: Budgetgerade x1 = 20 - 2 * x2

    Rot: Indifferenzkurve des Haushaltsoptimums: x1 = 50/x2

    In x1 = 10 / x2 = 5 berühren (= Schnittpunkt + dieselbe Steigung) sich die rote und die blaue Kurve (grüner Pfeil zeigt darauf).

    Ich habe nur die rote Indifferenzkurve eingezeichnet, auf der das Haushaltsoptimum liegt. Du kannst Dir aber unendlich viele Indifferenzkurven zusätzlich eingezeichnet vorstellen, die "parallel"/verschoben zur rote Indifferenzkurve liegen. Nur diese eine rote Indifferenzkurve berührt die Budgetgerade und der Berührpunkt ist daher das Haushaltsoptimum.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
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  18. Langsam wird's echt peinlich. Ich habe das Ergebnis (also x1 = 10, x2 = 5) vorher auch schon rausbekommen - allerdings habe ich mich an dem ersten Lösungsweg in diesem Topic orientiert. Soll heißen, meine Rechnung sah so aus:

    x1 = 10/5 = 2; x2 = 5/10 = 0,5

    Dann x2 in die Budgetgleichung gesetzt:

    100 = 5 * x1 + 10 * 0,5
    100 = 5 * x1 + 5
    100 = 10x1
    10 = x1

    Jetzt noch x1 in die Budgetgleichung:

    100 = 5 * 2 + 10 * x2
    100 = 10 + 10 * x2
    100 = 20x2
    5 = x2

    Meine Frage nun also: Warum formulierst du beim zweiten Vorschlag (sprich: Bei meinem Beispiel) den Lösungsweg anders? Ist das prinzipiell egal oder sollte ich mich schon daran orientieren (im Hinblick auf evtl. spätere Aufgabenstellungen?) Das Übertragen der Daten in das Koordinatensystem ist soweit auch klar, nur: Wenn ich doch mit "meinem" Lösungsweg auch auf das richtige Ergebnis komme - warum sollte ich dann den (für mich momentan) komplizierteren Weg nehmen? Der obere Teil (vom Umformen der Budgetgeraden bis zum einsetzen von x1 in die Budgetgerade) erschließt sich mir momentan absolut gar nicht :(
     
  19. Das hast Du Dir doch gewünscht, ich zitiere Dich mal:

    Ich habe es so gemacht, wie Dein Prof es vorgeschlagen hat. Und ich habe auch geschrieben, dass das der "elementare, intuitive Lösungsweg ist". Grundaufgabe: Ermittle aus den unendliche vielen Indifferenzkurven (für jeden Nutzenwert > 0 gibt es eine) diejenige, die die Budgetgerade berührt.

    Meine Lösung ganz oben bzw. Deine Lösung in Deinem letzten Beitrag verwendet bereits ein Gesetz, nämlich das "2. Gossen'sche Gesetz vom Ausgleich der Grenznutzen". Das ist der Lösungsansatz, dass sich im Haushaltsoptimum die Grenznutzen genauso verhalten wie die Preise. Man kann auch diesen Lösungsweg wählen.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  20. Das war nicht als Kritik gemeint, bitte nicht falsch verstehen! Ich möchte das nur jetzt verstehen weil's definitiv nicht einfacher werden wird. Zu welchem Lösungsweg würdest du mir denn raten? Mir kommt es so vor als wäre der Lösungsweg meines Profs vieeeel zu lang und im Vergleich zum ersten Beispiel auch zu kompliziert. Sprich ich würde lieber den ersten Lösungsweg nehmen und nach dem Motto "warum kompliziert wenn's auch einfach geht" handeln.

    Dieses hin- und hergeschiebe von Buchstaben in Formeln (Umformen) liegt mir nicht wirklich...vllt. ist das der Grund für meine Meinung. :D
     
  21. Also den Lösungsansatz mit dem Berührpunkt von Budgetgerade und Indifferenzkurve solltest Du verstehen. Hier geht es um das Verständnis. Solange Du das nicht verstanden hast, wird es Dir unmöglich sein, den weiteren Stoff zur Haushaltstheorie zu verstehen.

    Ich erkäre nochmal kurz warum der Berührpunkt das Haushaltsoptimum darstellt. Der Grund ist, dass dieser Berührpunkt, d.h. diese x1-x2-Kombination, drei Eigenschaften erfüllt:

    1. Diese x1-x2-Kombination erfüllt die Budgetgleichung, d.h. mit dieser x1-x2-Kombination gibt der Haushalt sein gesamtet Budget aus.

    2. Diese x1-x2-Kombination ist eine gültige Gütermengenkombination bzgl. der Nutzenfunktion, weil sie auf einer Indifferenzkurve der Nutzenfunktion liegt.

    3. Es gibt keine andere Indifferenzkurve, die die Budgetgerade schneidet und einen höheren Nutzen für den Haushalt generiert.

    Überlege Dir, dass jede andere x1-x2-Kombination nicht das Haushaltsoptimum ist.

    1. Fall: Wenn eine andere x1-x2-Kombination nicht auf der Budgetgeraden liegt, dann scheidet diese Kombination schon deshalb aus, weil nicht das Budget ausgegeben wird. Entweder es wird mehr oder weniger ausgegeben, was beides kein Optimum ist (Mehr ausgeben ist nicht möglich, weniger ausgeben bedeutet, dass man den Nutzen nicht maximiert).

    2. Fall: Wenn eine andere x1-x2-Kombination auf der Budgetgeraden liegt, dann gibt es auch eine Indifferenzkurve, auf der diese x1-x2-Kombination ebenfalls liegt. Aber es gibt dann aufjedenfall eine andere Indifferenzkurve (nämlich die mit dem Berührpunkt), die weiter "rechts oben" liegt und diese andere Indifferenzkurve ist "besser", weil sie zu einem höheren Nutzenwert gehört (Stichwort: Nichtsättigungseigenschaft einer Präferenzrelation/Nutzenfunktion, schon davon gehört?).

    Du erkennst, hier geht es ums Verständnis und am Verständnis kommst Du im Studium nicht vorbei, denn ohne Verständnis wirst Du bei dem weiteren Stoff zu diesem Themengebiet erst recht kein Verständnis entwickeln. Du solltest diese Sache hier also verstehen.

    Die Berechnung des Berührpunktes ist ein wenig Rechnerei (Ableiten, Gleichungen gleichsetzen und auflösen). Aber daran kommst Du auch im weiteren Studium nicht vorbei. Damit MUSST Du Dich auseinandersetzen.

    Bei dem anderen Lösungsweg hast Du übrigens auch Rechnerei (Grenznutzen berechnen, ins Verhältnis mit den Preisen setzen und dann in die Budgetgleichung einsetzen). Da tut sich nicht viel. Ich empfehle keinen Lösungsweg. Beide sind gleichwertig und m.E. gleichaufwendig.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  22. Das habe ich weitestgehend alles verstanden. Das einzige "Problem" das ist momentan noch habe ist die Tatsache, wie ich den Rechenansatz gemäß deinem Lösungsweg (bzw. dem Lösungsweg meines Profs) hinbekomme. Die Hintergründe etc. sind soweit alle klar auch wenn's vllt. nicht so aussieht :D

    Edit: Vllt. hätte ich von Anfang an erwähnen sollen, dass das eigentliche Problem bei mir nicht beim Verständnis der Materie, sondern viel mehr im mathematischen Bereich zu suchen ist. Ich habe mir mit dieser Art von Mathematik noch nie sonderlich leicht getan :/
     
  23. So vorgehen:

    1. Budgetgerade aufstellen, d.h. in die Form x1 = ...x2... umstellen: x1 = 20 - 2 * x2

    2. Indifferenzkurve x1 = ...x2.. aufstellen. Dazu die Nutzenfunktion N = x1 * x2 nach x1 umstellen: x1 = N/x2

    3. Budgetgerade und Indifferenzkurve müssen dieselbe Steigung haben. Dazu Budgetgerade und Indifferenzkurve ableiten und die Ableitungen gleichsetzen:

    -Ableitung der Budgetgerade x1 = 20 - 2 * x2 nach x2: -2
    -Ableitung der Indifferenzkurve x1 = N/x2 nach x2: -N/x2^2
    -Gleichsetzen: -2 = -N/x2^2
    -Für N die Definition der Nutzenfunktion einsetzen: -2 = -(x1 *x2)/x2^2 = -x1/x2
    -Nach x1 oder x2 umstellen: x1 = 2 * x2

    Jetzt ist schonmal ermittelt, in welcher Beziehung x1 und x2 im Haushaltsoptimum stehen: x1 = 2 * x2 (sog. "Expansionslinie"/"Expansionspfad")

    4. x1 = 2 * x2 in die Budgetgleichung einsetzen, denn das Haushaltsoptimum soll auf der Budgetgeraden liegen.

    x1 = 20 - 2 * x2

    2 * x2 = 20 - 2 * x2

    x2 = 20/4 = 5

    Damit ist x2 ermittelt: x2 = 5

    5. Jetzt noch x1 ermitteln. Dazu x2 = 5 in die x1-x2-Optimum-Beziehung (Exppansionspfad) x1 = 2 * x2 einsetzen:

    x1 = 2 * x2 = 2 * 5 = 10

    oder alternativ

    5Alt. Jetzt noch x1 ermitteln. Dazu x2 = 5 in die Budgetgleichung einsetzen:

    x1 = 20 - 2 * x2 = 20 - 2 * 5 = 10

    Also: Im Haushaltsoptimum ist x1 = 10 und x2 = 5

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
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  24. Damit müsste ich klarkommen. Vielen vielen Dank für deine Hilfe!!
     
  25. hmm...ich hab den Mund wohl etwas zu voll genommen. Ich habe ganz offensichtlich ein Problem damit, die Formeln umzustellen. Könntest du mir bitte erklären, wie du die Budgetgerade (u. die Indifferenzkurve) genau auf x1 umgeformt hast (ich dachte eigentlich dass das bei mir kein Problem ist, aber irgendwie raff ich's hier nicht)? Also welche Rechenschritte ausgeführt wurden. Zudem: Wie kommst du beim Ableiten der Indifferenzkurve auf -N?

    Mir ist jetzt allerdings klar geworden, warum ich da zu Beginn wirklich total ahnungslos war: Ableitungen waren mir bis dato natürlich ein Begriff, allerdings habe ich bisher noch nie was von einer Produktregel bzw. Quotientregel beim Ableiten gehört. Wenn man das natürlich nicht weiss, kanns ja nix werden...

    Ich komm' mir gerade echt vor wie der letzte Depp und bin am Zweifeln ob dies das Richtige für mich ist :(
     
  26. Die Budgetgerade ist gegeben in der Form

    100 = 5 * x1 + 10 * x2

    Diese Gleichung stellst Du nach x1 um, damit die Budgetgleichung in Funktionsform x1 = f(x2) vorliegt.

    Jetzt die Gleichung nach x1 umstellen:

    100 = 5 * x1 + 10 * x2

    100 - 10 * x2 = 5 * x1

    (100 - 10 * x2) / 5 = x1

    20 - 5 * x2 = x1

    x1 = 20 - 5 * x2

    Das ist die blaue Gerade oben im Bild, wobei x2 auf der horizontalen "x-Achse" und x1, der Funktionswert, auf der vertikalen "y-Achse" abgetragen ist.

    N = x1 * x2 ist die Nutzenfunktion

    Umgestellt nach x1: x1 = N/x2 ... // Beide Gleichungsseiten durch x2 dividieren.

    Indifferenzkurve x1 = f(x2): x1 = N/x2

    Bei x1 = N/x2 beachte, dass N ein beliebiger, aber konstanter Nutzenwert > 0 ist. Bei x1 = N/x2 handelt es sich also um die Beschreibung ALLER unendlich vieler Indifferenzkurven. Wenn Du für N einen Wert wählst, z.B. N = 50, dann ergibt x1 = 50/x2 eine konkrete Indifferenzkurve (nämlich die zu N = Nutzenwert = 50). x1 = 50/x2 ist die rote Kurve in dem Bild oben.

    Es gibt eine Ableitungsregel: y = c * x^b abgeleitet nach x ergibt y' = b * c * x^(b-1). Diese Ableitungsregel wird hier angewendet, denn x1 = N/x2 kann man schreiben als x1 = N * x2^-1.

    x1 = N * x2^-1 ist von der Form y = c * x^b mit y = x1, c = N, x = x2, b = -1.

    x1 = N * x2^-1 nach x2 abgeleitet gemäß obiger Ableitungsregel ist also x1' = -1 * N * x2^-2

    x1' = -1 * N * x2^-2 lässt sich schreiben als x1' = -N * (1/x2^2) = -N/x2^2.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  27. Hallo,

    hätte ein ähnliches Problem. Komme leider nicht weiter:


    In einer Gemeinde leben 10 identische Einwohner, jeder beschrieben durch die

    Nutzenfunktion: U (q1, q2) = q11/2 + q2

    Jeder dieser Einwohner verfügt über ein Einkommen (I) der Höhe 10.
    Der Preis für Gut 2 ist 1(p2 = 1). Q1 bezeichnet die aggregierte Menge aller 10 Einwohner.

    Berechnen Sie jene Menge q1 (Menge von Gut 1), die den individuellen Nutzen maximiert.
     
  28. Hallo Gerda,

    das ist die vollständige Aufgabenstellung?

    Was sind denn "identische Einwohner", das macht schon sprachlich keinen Sinn. Haben alle Einwohner dieselbe Nutzenfunktion, d.h. dieselben Präferenzen? Ist das gemeint?

    Ist für Gut 1 kein Preis angegeben?

    Was soll q11/2 + q2 bedeuten, etwa q1 * 1/2 + q2?

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  29. hi Chrissi

    Danke für deine Antwort. Mir ist klar, dass "identisch" sprachlich nicht astrein ist. Gemeint ist natürlich "ident", dh alle haben die gleiche Nutzenfunktion.

    Sorry, habe micht vertippt: Die Nutzenfunktion lautet: U(q1,q2) = q1 ^ (1/2) + q2

    p1 ist tatsächlich nicht gegeben. Das ist auch den Punkt, warum ich nicht weiterkomme.

    lG
    Gerda
     
  30. Ok, dann muss p1 als beliebig aber fest gewählt (also als Konstante) betrachtet werden:


    Wir betrachten zunächst einen Haushalt.

    Ansatz: Steigung der Indifferenzkurve = Steigung der Budgetgeraden

    Indifferenzkurve q2 = ...q1...:

    U = q1^1/2 + q2
    q2 = U - q1^1/2

    Steigung der Indifferenzkurve: dq2/dq1 = -1/2 * q1^-1/2

    Budgetgerade q2 = ...q1...

    I = 10 = p1 * q1 + q2 ...// p2 = 1 nach Aufgabenstellung
    q2 = 10 - p1 * q1

    Steigung der Budgetgeraden: dq2/dq1 = -p1

    Steigung der Indifferenzkurve = Steigung der Budgetgeraden:

    -1/2 * q1^-1/2 = -p1

    q1 = 1 / (2 * p1)^2

    q2 = 10 - p1 * q1 = 10 - p1 / (2 * p1)^2 = 10 - 1 / (4 * p1)

    Beachte, dass q2 nicht negativ werden kann:

    q2 >= 0

    10 - 1 / (4 * p1) >= 0

    p1 >= 1/40

    Für p1 >= 1/40 ist also q1 = 1 / (2 * p1)^2 und q2 = 10 - 1 / (4 * p1)

    Für p1 < 1/40 ist q2 = 0

    Damit ist q1 für p < 1/40:

    Budgetgerade: q2 = 0 = 10 - p1 * q1 also q1 = 10/p1

    Für p1 < 1/40 ist also q1 = 10/p1 und q2 = 0

    Beachte: Für p = 1/40 stimmen die Mengen q1 = 1 / (2 * p1)^2 und q1 = 10/p1 überein:

    q1 = 1 / (2 * p1)^2 = 1 / (2 * (1/40))^2 = 400

    q1 = 10/p1 = 10/(1/40) = 400

    An der "Wechselstelle" p = 1/40 haben wir bezüglich q1 einen stetigen Übergang.

    Das sind die optimalen Mengen für einen Haushalt. Alle 10 Haushalte zusammen haben dann als Optimum jeweils die 10 fache Menge.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  31. Vielen Dank.

    Dh aber im Endeffekt, dass im Optimum q2 = 0 ?!

    q2 = 10 - p1 * q1 = 10 - 1/40 * 400 = 0
     
  32. Ja, aber nur für p1 <= 1/40. Für p1 > 1/40 ist q2 > 0 (siehe Herleitung).


    Optimum falls p1 > 1/40: q1 = 1 / (2 * p1)^2 > 0 und q2 = 10 - 1 / (4 * p1) > 0 --> Beide Güter werden nachgefragt.

    Optimum falls 0 < p1 <= 1/40: q1 = 10/p1 > 0 und q2 = 0 --> Nur Gut 1 wird nachgefragt.

    Liebe Grüße
    Chrissi
     
  33. ...
    Grundsätzlich verstehe ich alle Schritte schon.
    Nur folgende mathematischen Probleme beschäftigen mich. Sorry, vielleicht kann mich hier jemand erlösen:

    Wie komme ich von
    (1/2 * x^-1/2 * y^1/2) / (1/2 * x^1/2 * y^-1/2) = 3/5
    auf
    y/x = 3/5

    :mad:

    Grüße
     
  34. 1/2 kürzt sich weg

    Dann die potenzenregeln anwenden:
    x^-0,5-0,5 * y^0,5+0,5 = 3/5

    Ergibt:
    x^-1* y^1 = 3/5

    Und das ist (auch potenzenregeln)

    y/x = 3/5

    :) Grüße!
     
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  35. ausgehende von obiger Gleichung kann man auch schreiben x^-1/2 ist das gleiche wie 1/x^1/2, oder 1/y^-1/2 ist das gleiche wie y^1/2 daraus folgt (1/2 * y^1/2 * y^1/2) / (1/2 * x^1/2 * x^1/2) Potenzen addieren und 1/2 wegkürzen voila y/x = 3/5

    Grüße
     
    zibo gefällt das.
  36. Die guten Potenzregeln...habs mir angeschaut, bin jetzt schlauer!!

    Danke, danke!
    Grüße
     
  37. ;)
     

    Anhänge:

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  38. Na, schaut ja gut aus!! :)
     
  39. Hallo,

    Wer kann mir bei der Lösung dieser Aufgabe behilflich sein?
    Es geht dabei um den optimalen Komsumbündel.,:

    Nutzenfunktion: U= x^0.8 y^0.2
    Preis von Gut 1 :1 euro, Gut 2: 2 EUR, Einkommen 1000

    Ich brauche eine schrittweise Erklärung also mit Rechenweg wie man auf das Endergebnis kommt..


    Danke sehr!
    Grüße

    Magnolia
     

  40. Hi Magnolia,

    ich hoffe ich kann dir hiermit helfen! ;)


    Nutzenfunktion: U= x^0.8 * y^0.2
    Preis Gut 1: p1= 1
    Preis Gut 2: p2= 2
    Einkommen: B= 1000

    1.) Formel:

    Grenznutzen = Preisverhältnis

    .... d.h. die Ableitung (abkürzung "d") der Nutzenfunktion U bilden- partielle Ableitung)

    einmal nach x ableiten: dU/dx= 0,8x^-0.2 * y^0,2
    (y bleibt so erhalten und x wird abgeleitet, da es sich um eine partielle Ableitung handelt und wir x ableiten
     
  41. Antwort
    Hallo Magnolia, ich hoffe ich kann dir hiermit helfen! ;)


    Nutzenfunktion: U = x^0,8 * y^0,2
    Preis Gut 1: p1 = 1
    Preis Gut 2: p2 = 2
    Einkommen B = 1000

    1. Schritt: Formel aufstellen :

    Grenzverhältnis = Preisverhältnis


    (dU/dx)/(dU/dy) = p1/p2


    dU/dx = "d" steht für Ableitung hier ist es die (partielle) Ableitung nach x : also wird y beibehalten und x abgeleitet = dU = 0,8x^-0,2 * y^0,2
    dU/dy = "d" steht für Ableitung hier ist es die (partielle) Ableitung nach y : also wird x beibehalten und y abgeleitet = dU= 0,2x^0,8 * y^-0,8

    2.Schritt: Schritt 1 in Formel einsetzten

    (0,8x^-0,2 * y^0,2) / (0,2x^0,8 * y^-0,8) = 1/2



    3. Schritt: Bruch auflösen und nach y umstellen:

    4 * x^-1 * y^1 = 1/2

    y = 1/8x

    4. Schritt: in Budgetgerade einsetzen:
    Formel: B= p1 *x + p2 *y

    Einsetzen: 1000= 1x + 2*1/8x (für y wird die Lösung für y (siehe Schritt 3) eingesetzt)
    1000= 1,25x
    800= x

    5 Schritt: die Gleichung in Schritt 3 nehmen und x= 800 einsetzen um auf y zu kommen:

    y = 1/8 x
    y=1/8 * 800
    y= 100

    Antwort: Mit 1000 euro kann ich mir bei gegebener Nutzenfunktion und gegebenen Preisen einen optimalen Güterbündel von (x= 800; y= 100) anschaffen



    Ich hoffe du hast das jetzt verstanden. Lass mich bitte wissen, wenn du noch fragen hast und ob dir das geholfen hat ?! Grüße Zara
     
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  42. Hallo Rani ,danke nochmals sehr für die Erklärung -- hat mir echt supeeerrrr!!!!! geholfen !!! Hab mich grad mit der Hoffnung hier eingeloggt und eine super lösung bekommen! Studienservice ist eine gute Plattform. Dann kann eigentlich gar nichts mehr schief gehen ;)
     

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