Frage Hessematrix

#1
Hallo,

stimmen folgende Aussage zur Hessenmatrix:

positiv definit:
- wenn alle Hauptminoren positiv sind

negativ definit:
- wenn alle ungeraden Hauptminoren negativ sind und alle geraden positiv sind

streng konkav:
- bei negativ definit

konkav:
- bei negativ semidefinit

streng konvex:
- bei positiv definit

konvex:
- bei positiv semidefinit

letzte Frage: Wie bestimme ich die negativ semidefinitheit wenn es dafür keine Hauptminorenkombination gibt?


Vielen Dank.

Gruß.

Patrick
 
#2
Klausur-Aufgaben zu Hessematrix:

Klausur März 07 Aufgabe 13

f(x,y) = -e^(y+x) + xy - y² - x²

=> Hf(x,y) = f"xx * f"yy - (f"xy)² = -e^(x+y) * -e^(x+y) - (e^(x+y)-1)² = -2e^(x+y)+1 < 0
=> -e^(x+y) < 0

Was ist die Hessenmatrix dann? (falls ich mich nicht verrechnet habe)


Klausur März 09 Aufgabe 11

Hf(x,y)
[2; 0]
[0; 4e^(2y)]

=> Hf(x,y) = 2*4e^(2y) - 0 > 0
=> 2 > 0
==> positiv definit
==> konvex
==> Funktionsgleichung: 8e^(2y)

Klausur September 07 Aufgabe 7

f(x,y) = e^(x+y)

alle partiellen Ableitungen nach x,y = e^(x+y)
=> positiv definit
=> streng konvex

stimmt das?

Vielen Dank schonmal.
 
#3
Hallo,

Die Regeln sind folgende:

positiv definit, wenn fxx>0 und die Determinate der Hessematrix >0
positiv semidefinit, wenn fxx>0 und die Determinate der Hessematrix = 0
negativ definit, wenn fxx<0 und die Determinate der Hessematrix >0
negativ semidefinit, wenn fxx>0 und die Determinate der Hessematrix = 0
Die Funktion ist genau dann konvex, wenn die Hessematrix von f positiv semidefinit ist. Ist die Hessematrix von f positiv definit, so ist f strikt konvex und bei konkav genau umgekehrt
Ist die Hessemnatrix indefinit, also wenn det<0, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
 
#4
Bei der Afugabe 13 März 07 rechnest Du:
fx = -e^y+x + y -2x
fy = -e^y+x + x -2y
fxx= -e^y+x - 2
fxy = -e^y+x + 1
fyy = -e^y+x - 2
fyx = -e^y+x + 1
=> fxx <0
det = (-e^y+x - 2)^2 - (-e^x+y + 1)^2 = 6e^y+x+5 >0 => positiv definit => strikt konvex

Übrigens gibt es einen Unterschied zwischen fxy und fyx. Deshalb kannst Du hier nicht einfach grundsätzlich das Quadrat nehmen.
 
#5
Hallo Shila,

vielen Dank für deine Antwort.
Wieso gibt es den zwischen fxy und fyx einen unterschied? Da darf es doch keinen unterschied geben. fxy muss doch immer fyx sein.
 
#8
Bei der Afugabe 13 März 07 rechnest Du:
fx = -e^y+x + y -2x
fy = -e^y+x + x -2y
fxx= -e^y+x - 2
fxy = -e^y+x + 1
fyy = -e^y+x - 2
fyx = -e^y+x + 1
=> fxx <0
det = (-e^y+x - 2)^2 - (-e^x+y + 1)^2 = 6e^y+x+5 >0 => positiv definit => strikt konvex
Ist hier nicht die Det = 6e^(x+y) + 3 (statt +5)?
und wenn fxx<0 und det > 0 ist doch negativ definit und somit strikt konkav?
 
#12
Wieso gibt es den zwischen fxy und fyx einen unterschied? Da darf es doch keinen unterschied geben. fxy muss doch immer fyx sein.
Um jetzt mal einen Schlaumeier rauszuhängen: die Reihenfolge der partiellen Ableitungen ist nicht immer beliebig vertauschbar, sondern nur bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen.

Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass wir im Rahmen des Modules mit Funktionen konfrontiert werden, die diese Bedingung nicht erfüllen.
 
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Luke87
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