Klausur Gewinnmaximale Menge, Preis und Gewinn ermitteln

#1
Hallo,

im Februar stehen die ersten WiWi Klausuren für mich an und ich bereite mich mithilfe von alten Klausuren vor.

Ich hänge momentan bei einer Aufgabe fest:

Bestimmen Sie die gewinnmaximale Menge, den zugehörigen Preis und den Gewinn.

Nachfrage: P(x)=10016-2x
Kosten: K(x)=1500000+2x^2+8x

Dies bezieht sich auf ein Angebotsmonopol...

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss. Über Hilfe würde ich mich freuen. Danke an euch

LG Justus
 
#2
Hallo Justus,


im Angebotsmonopol ist der Marktpreis von der Absatzmenge abhängig und diese funktionale Beziehung durch die Preis-Absatz-Funktion (= inverse Nachfragefunktion) P(x) vorgegeben. Das Gewinnmaximum wird durch Maximierung der Gewinnfunktion berechnet.

Zunächst die Gewinnfunktion G als Funktion der Absatzmenge aufstellen:

G(x)
= Umsatz(x) - Kosten(x)
= P(x) * x - K(x)
= (10.016 - 2 * x) * x - 1.500.000 - 2 * x^2 - 8 * x
= 10.016 * x - 2 * x^2 - 1.500.000 - 2 * x^2 - 8 * x
= 10.008 * x - 4 * x^2 - 1.500.000

Jetzt die Extrempunkte der Gewinnfunktion, d.h. die Nullstellen der 1. Ableitung der Gewinnfunktion bestimmen (G'(x) = 0):

G'(x) = 0
G'(x) = 10.008 - 8 * x = 0
x = 10.008 / 8 = 1.251

Die Gewinnfunktion hat bei x = 1.251 ihren einzigen Extrempunkt.

Wegen G''(x) = 10.008 > 0 (2. Ableitung ist für x = 1.251 positiv) ist dieser Extrempunkt ein Maximum.

Die gewinnmaximale Menge ist also x = 1.251
Der gewinnmaximale Preis ist damit P(1.251) = 10.016 - 2 * 1.251 = 7514
Der maximale Gewinn ist G(1.251) = 10.008 * 1.251 - 4 * 1.251^2 - 1.500.000 = 4.760.004

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#3
Hallo und danke für die schnelle Antwort.

Die Rechnenschritte kann ich alle nachvollziehen. Vielleicht könntest du mir noch erklären, warum bei der Kostenfunktion die Vorzeichen gedreht werden?

Wie würde sich die Rechnung ändern, wenn es sich um ein Polypol handeln würde?

Danke

Justus
 
#4
Vielleicht könntest du mir noch erklären, warum bei der Kostenfunktion die Vorzeichen gedreht werden?
Weil für den Gewinn die Kosten vom Umsatz subtrahiert werden: G = Umsatz - Kosten.

Wie würde sich die Rechnung ändern, wenn es sich um ein Polypol handeln würde?
Im Polypol (Markt mit vollkommener Konkurrenz, Konkurrenzmarkt) ist der Marktpreis unabhängig von der Absatzmenge des Anbieters (der Anbieter hat keinen Einfluss auf den Preis), d.h. der Marktpreis ist eine Konstante. Wenn der Marktpreis p ist, dann ist der Gewinn G(x) = p * x - K(x).

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#5
Hallo Chrissi,

wieso bleibt es dann nicht (10.016 - 2 * x) * x - 1.500.000 + 2 * x^2 + 8 * x?

Da werden die Kosten doch auch abgezogen, oder wo stehe ich auf dem Schlauch?

LG
 
#6
Naja, wenn K(x) = 1.500.000 + 2 * x^2 + 8 * x dann ist eben
-1 * K(x)
= -1 * (1.500.000 + 2 * x^2 + 8 * x)
= -1.500.000 - 2 * x^2 - 8 * x
Das Vorzeichen JEDES Summanden der Kostenfunktion wird umgedreht.
Liebe Grüße
Chrissi
 
#9
Ich habe es mal versucht für ein eigenes Beispiel zu rechnen. Vielleicht könntest du ein kurzes Statement dazu verlieren.

K(x)=14X
P(x)=8500-10x

Meine Gewinnfunktion müsste demnach 8486x-10x^2 sein.

Daraus folgt, dass meine Maximale Menge 424,30 ergibt, mein gewinnmaximaler Preis 4257 und mein max. Gewinn 1800304,90

Kannst du das bestätigen?
 
#11
Gut dann habe ich das schon mal begriffen...

Eine andere Frage die sich auf dieses Beispiel bezieht. Wenn ich die Elastizität der Nachfrage berechnen möchte, wie kann ich das bewerkstelligen? Ich weiß, dass ich die Formel dx/dp*p/x anwenden muss. Jedoch weiß ich in diesem konkreten Beispiel nicht, was ich für dx, dp, einsetzen muss...

Kannst du mir einen Denkanstoß geben?
 
#12
Ein bisschen Umformen hilft, denn dann bekommt man dx/dp in den Berechnungsterm der Preiselastizität der Nachfrage e, also die 1. Ableitung der Nachfrage-Funktion x(p) nach dem Preis p.


e
= (dx/x) / (dp/p) .......// Definition
= (dx/x) * p/dp ........// Umformen
= (dx/dp) * p/x ........// Umformen, dx/dp ist die 1. Ableitung der inversen Preis-Absatz-Funktion

dx/dp ist die erste Ableitung der Nachfrage-Funktion x(p) nach dem Preis p.
Wenn p(x) = a - b * x ist dann ist (nach x umstellen!) x(p) = a/b - p/b, also dx/dp = -1/b.

Es ist also: e = (dx/dp) * p/x = -b * p/x

Du kannst so für jede Preis-Mengen-Kombination der Preis-Absatz-Funktion die Preiselastizität e der Nachfrage ausrechnen.

Beispiel:
p(x) = 10.016 - 2 * x, hier ist b = 2
x = 2504
p(2504) = 10.016 - 2 * 2504 = 5.008
Also: e = -b * p/x = -2 * 5.008/10.014 = -1

Für die Kombination x=2504 / p=p(2504)=5008 ist die Preiselastizität der Nachfrage e = -1 (das ist nebenbei das Umsatzmaximum).

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#14
sry für die doofe frage und danke fürdeine mühe...aber wie bist du jetzt auf x=2504 gekommen? das ging mir zu schnell
Das ist nur ein Beispiel. Ich habe x = 2504 gewählt, dann p(x) = 5008 berechnet und damit dann die Elastizität. Du kannst jeden anderen Wert x > 0 wählen, für den p(x) > 0 ist, also eine gültige Preis-Mengenkombination ergibt.
Liebe Grüße
Chrissi
 
#16
sry für die doofe frage und danke fürdeine mühe...aber wie bist du jetzt auf x=2504 gekommen? das ging mir zu schnell
Das ist nur ein Beispiel. Ich habe x = 2504 gewählt, dann p(x) = 5008 berechnet und damit dann die Elastizität. Du kannst jeden anderen Wert x > 0 wählen, für den p(x) > 0 ist, also eine gültige Preis-Mengenkombination ergibt.
Liebe Grüße
Chrissi
 
#19
Hallo ChrissiLLB,
angenommen es würde sich jetzt um einen Markt mit vollständiger Konkurrenz handeln. Wie würde es dann aussehen?

Meine Grenzkosten sind doch die 1. Ableitung der Kostenfunktion. Also K'(x) =4x+8


das gleichgesetzt mit der p(x) ergibt x=1668... aber da scheint noch ein fehler drin zu sein oder? weil wenn ich das in die gewinnfunktion einsetze, kommt nicht 0 raus, was ja aber eig müsste im vollkonkurrenzfall oder?...

oder geh ich falsch an die aufgabe ran, und ich muss nur die gewinnfunktion =0 setzen?.. dann würde 2341,87 oder soetwas rauskommen..
 
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