Mathematische Grundlagen Zusätzliche Aufgaben

Hallo allerseits,

ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe und ich hoffe mir kann jemand helfen.
Und zwar mache ich mich gerade an die zusätzlichen Aufgaben der LVU.

Übung 23:
Beim Induktionsschritt verstehe ich noch die Gleichung
2 hoch n+1 = n²+n²
aber wie bitte komme ich dann auf n² + 2n+3?

Danke schon mal für Antworten.

Grüße
Flo

P.S Gibt es hier die Möglichkeit Mathematische Zeichen einfacher einzufügen?
 
Ich löse so:

Behauptung: Für alle x >= 5 gilt: 2^n > n^2

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang: n = 5

2^5
= 32
> 25
= 5^2

Induktionsschritt: n -> n+1, Behauptung gelte für n.

2^(n+1)
= 2 * 2^n
> 2 * n^2 ................// Induktionsvoraussetzung 2^n > n^2
> n^2 + 2 * n + 1 ....// Lemma, Beweis s.u.
= (n+1)^2 ..............// Binomische Formel

Lemma: 2 * n^2 > n^2 + 2 * n + 1 für n >= 5

Beweis des Lemmas durch Induktion:

Induktionsanfang n = 5:

2 * 5^2
= 50
> 36
= 5^2 + 2 * 5 + 1

Induktionsschritt n -> n+1, Behauptung gelte für n:

2 * (n+1)^2
= 2 * (n^2 + 2 * n + 1)
= 2 * n^2 + 4 * n + 2
> n^2 + 2 * n + 1 + 4 * n + 2 ..........// Anwendung Induktionshypothese für n
= n^2 + 6 * n + 3
= (n+1)^2 + 4 * n + 2 ....................// Binomische Formel
= (n+1)^2 + 2 * (n+1) + 2 * n
> (n+1)^2 + 2 * (n+1) + 1 ..............// klar, n >= 1, d.h. 2 * n > 1

Liebe Grüße
Chrissi
 
Hallo Chrissi,

Was ich verstanden habe ist, dass ich beweisen soll, dass 2^n+1 größer ist als (n+1)²
2^n+1 kann ich schreiben als 2*2^n klar.
dann folgt:
>2(n^2) weil ich jetzt 2^n durch n^2 ersetze.
jetzt aber steht in der Aufgabenlösung
>= n^2+2n+3 und hier verstehe ich ncht wie man darauf kommt, dass ich n^2 durch 2n+3 ersetzen kann.
 
Ne sorry bei mir hakt es irgendwo.
Wenn ich die mit den anderen Aufgaben vergleiche, komme ich einfach nicht drauf.

Und wie kommst du darauf, dass n>0 ist?

Entschuldige, wenn ich mich jetzt zu blöd anstelle, aber alle anderen Aufgaben verstehe ich, aber die nicht.
 
Ubung 23. Sei n0 = 5. Dann gilt 25 = 32 und 52 = 25, also 25 > 52, der Induktionsanfang.
Induktionsannahme: Für ein n>=  5 gilt 2^n > n^2.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist
2n > n2 => 2^n+1 > (n + 1)2 = n^2 + 2n + 1:
Es gilt
2^n+1 = 2 * 2n
> 2(n^2) = n^2 + n^2
>= n^2 + 2n + 3 mit der ersten Aufgabe in diesem Kapitel. Wenn Sie diese nicht
zitieren wollen, müssen Sie n^2 >= 2n + 1 für alle n>=  5 mit Induktion beweisen.
> n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2:
Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt, dass 2^n > n^2 für alle n elemnt N, >= 5, gilt
 
Ubung 20. Sei n0 = 3. Dann gilt 3^2 = 9 und 2 * 3 + 3 = 9, also 3^2  2 * 3 + 3, der
Induktionsanfang.
Induktionsannahme: Für ein n>= 3 gilt n^2 >= 2n + 3.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist
n^2 >= 2n + 3 => (n + 1)^2>=  2(n + 1) + 3 = 2n + 5:
Es gilt
(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1
 >=(2n + 3) + 2n + 1 Induktionsannahme fur n2
 >=(2n + 3) + 7; da n>=  3
> 2n + 5
Mit dem Prinzip der vollstandigen Induktion folgt, dass n^2  2n+3 alle n element N, n>=  3, gilt.
 
Noch einmal der Versuch:
Die rotmarktierten Stellen sind doch dieselben Schritte.
Bei der Übung 20 ersetze ich n^2 und bei 2n+1 nehme n gleich 3, klar.

Analog zur Übung 23 habe ich ja auch 2^n ersetzt und jetzt bekomme ich
n^2+n^2 und jetzt?
 
Das ist die mathematische Überlegung, die kommt also aus dem Kopf. Da ist die mathematische "Kreativität", die der Mensch einsetzen muss, um mathematische Beweise zu konstruieren. Das Ziel ist es ja einen Term zu finden, mit dem man eine Brücke zu (n+1)^2 schlägt.

Wegen solcher Zwischenschritte "die aus dem Himmel" fallen, gibt es bis heute keinen vollständig automatischen Beweiser, sondern höchstens halbautomatische, bei denen der Mensch als Ideengeber eine Sackgasse des Beweisers mittels Vorgabe eines Lemmas "überbrücken" kann. Das Lemma wird dann auch vom Beweiser bearbeitet, möglicherweise wieder mit menschlichem Lemma-Eingriff.

Liebe Grüße
Christian
 
> 2(n^2) = n^2 + n^2
>= n^2 + 2n + 3 mit der ersten Aufgabe in diesem Kapitel. Wenn Sie diese nicht
zitieren wollen, müssen Sie n^2 >= 2n + 1 für alle n>=  5 mit Induktion beweisen.
Hier steht doch auch in der Lehrstuhllösung, dass dieser Zusammenhang wieder mit Induktion bewiesen werden muss. Die kreative Überlegung dieses Zusammenhangs muss aber von Dir kommen.

Liebe Grüße
Chrissi
 
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