Klausur Musterlösungen aller Klausuren

#1
In folgender Datei soll nach und nach eine Musterlösung aller Klausuren entstehen.

Mithilfe ist erwünscht - gerade wenn z.B. Fehler entdeckt werden.

Aktuelle Ausgabe vom 23. September 2012 enthält...
  • alle Aufgaben aller Klausuren (März 2008 - März 2012) zu 99% gelöst
Bitte Tippfehler, Ungenauigkeiten oder Verbesserungsvorschläge posten, damit ich die Musterlösung aktuell halten kann!
 

Anhänge

#2
Hey,

das ist ne super Idee. Hast ja schon mal ordentlich Vorarbeit geleistet. Ich könnte mir vorstellen, dass ein Verweis zu den jeweiligen Aufgaben im Fandel Übungsbuch sinnvoll ist. Hab hier gelesen, dass viele Klausuraufgaben aus dem Buch sind (hab es noch nicht geprüft) So hat man gleich einen Querverweis zu der Musterlösung. Oder?

Wie man das Buch kostenlos als PDF bekommt, steht hier:

http://studienservice.de/thema/17018/

Wie genau soll die Mitarbeit aussehen? Die PDF Datei lässt sich schlecht bearbeiten ;)

MfG
 
#3
Sehr gute Sache *Lob*

noch besser würde es mir gefallen, wenn die Gliederung nach Klausuren - nicht nach Themen - erfolgt. Ich befasse mich gerade mit der Klausur 03-2010. Da sind nicht alle Aufgaben drin.

was mir aufgefallen ist: Seite 16 a) - die Kostenfunktion ist bei Dir falsch.

aus:
K(x) = 30 * 1/3 * (x-4) + 2,5 * 16

wird: K (x) = 10 * (x-4) + 40 = 10x - 40 + 40 = 10 x

Du hast durch einen Vorzeichenfehler: K(x) = 10 x - 80


Mehr und weitere Lösungen, wenn ich dazu komme.

lg,
 
#4
@BertWollersheim
die Idee finde ich auch super.
Hab mir gerade Aufgabe 3c) in der Klausur September 2010 angesehen. Komme hier auf andere Werte.
Habs mit einem Gleichungssystem gerechnet das so aussieht

r1=3*xI+7*(x-xI)
r2=6*xI+2*(x-xI)
x=xI+xII

gegebene Werte für r1 und r2 eingesetzt; Ergebnis x=40 mit der Verteilung xI=10 und xII=30.

Habs für Aufgabe 3d) genauso gemacht, da komm ich dann auf die gleichen Ergebnisse wie du.
 
#5
Vielen Dank für die bisherigen Lösungen. Ich habe auch noch eine Anmerkung. Auf Seite 17 bei Aufgabe 2b) September 2010 lautet die Kostenfunktion
K(x) = 104 + (3/128) * x
Hier hast Du die fixen Faktoreinsätze nicht berücksichtigt.
Frohes Lernen noch. Gruß, Christine

ps bei Aufgabenteil c) fehlt auch der Anteil von Faktor 2 bei der Kostenfunktion. Hier habe ich
K(x) = 80 + 4,5 x
 
#6
Seite 11 d)

Auflösen nach r2
x1/2 = 3, 5 + r1/2

x1/2 − 3, 5 = r1/2

x − 12, 25 = r2

---> die letzte Zeile stimmt m.E. nicht! es muss heißen r2 = (x^1/2 - 3,5)²
dadurch ergibt sich die 2. bin. Formel und die Kostenfunktion ist demnach nicht 12x usw...
 
#9
Hallo,
nach 1,5 Monaten Wartezeit gibt es endlich die aktualisierte Ausgabe der Musterlösungen - statt 45 Seiten sind es jetzt schon 90 Seiten! Die Aufgaben 1-3 sind zu 99% gelöst. Die restlichen Aufgaben sollten spätestens eine Woche vor der Prüfung im Netz sein. Habe alle Verbesserungen von euch eingearbeitet. Bitte weiterhin um eure Mithilfe! Danke :)
 
#10
Frage zu 4.1

"l2 = Tangentialpunkt von dem Punkt der Kurve, der senkrecht über lmin
liegt, an die Kurve zeichnen"

Die Tangente an die Kurve startet im Punkt lambdamin auf der Abszisse, oder?


MfG
 
#11
Lösungvorschlag 4.2

siehe Anhang


Bei der Angabe der abschnittsweisen Kostenfunktionen folgt im Übungsbuch von Fandel auf die untere Grenze immer ein "Kleiner", in der hier dargestellten Musterlösung ein "Kleinergleich". Ersteres ist wohl richtig.
 

Anhänge

#12
mir ist noch folgendes aufgefallen:
S.19 bei c) bei Ableitung von r1 und r2 hast du einen Vorzeichenfehler, aber lamba und r2 stimmen nach der Rechnung wieder
S.21 bei a) der Kostenverlauf müsste doch progressiv sein (da die Fkt. überlinearhomogen ist) und nicht degressiv
 
#14
Hallo,
habe Aufgabe 5: Erweiterungen in die Musterlösungen eingearbeitet. Leider komme ich bei einer Aufgabe nicht weiter und wäre froh, wenn sich das jemand angucken könnte: 5.6 September 2010 Teilaufgabe g) auf Seite 89. Wäre nett, wenn jemand die Lösung hier posten könnte.

Die Anmerkungen von Alf, Wiwi und Ramo werde ich spätestens bis Samstag bearbeiten bzw. eure Fragen beantworten.
 
#15
Frage zu 4.1

"l2 = Tangentialpunkt von dem Punkt der Kurve, der senkrecht über lmin
liegt, an die Kurve zeichnen"

Die Tangente an die Kurve startet im Punkt lambdamin auf der Abszisse, oder?
Ob die Kurve auf der Abszisse startet oder auf der Kurve ist mir leider nicht klar. Kann weder im Skript noch im Übungsbuch einen Anhaltspunkt dazu finden.

Lösungvorschlag 4.2

siehe Anhang


Bei der Angabe der abschnittsweisen Kostenfunktionen folgt im Übungsbuch von Fandel auf die untere Grenze immer ein "Kleiner", in der hier dargestellten Musterlösung ein "Kleinergleich". Ersteres ist wohl richtig.
Du hast vollkommen recht! Habe das in der Musterlösung korrigiert.

mir ist noch folgendes aufgefallen:
S.19 bei c) bei Ableitung von r1 und r2 hast du einen Vorzeichenfehler, aber lamba und r2 stimmen nach der Rechnung wieder
S.21 bei a) der Kostenverlauf müsste doch progressiv sein (da die Fkt. überlinearhomogen ist) und nicht degressiv
S. 19 c) Tippfehler sind korrigiert.

S. 21 a) Nein, der Kostenverlauf ist degressiv! (vgl. Kurs 41531, S. 32 unten)
 
#18
Hallo,
habe Aufgabe 5: Erweiterungen in die Musterlösungen eingearbeitet. Leider komme ich bei einer Aufgabe nicht weiter und wäre froh, wenn sich das jemand angucken könnte: 5.6 September 2010 Teilaufgabe g) auf Seite 89. Wäre nett, wenn jemand die Lösung hier posten könnte.

Die Anmerkungen von Alf, Wiwi und Ramo werde ich spätestens bis Samstag bearbeiten bzw. eure Fragen beantworten.
Es müssen nicht (wie sonst immer) die Gleichungen gleichgesetzt werden. Hier reichen die Steigungen der beiden Geraden...

Also -0,5 = -3/8 * r1/Wurzel(240- 3/8 * r1²)

Ergibt für r1 = 16 und r2 = 12 Diese Werte in die gesamten Faktorverbrauchsfunktionen einsetzen

xI = 2 und xII = 2 ... Also jeweils 50 % je Prozess.
 
#19
Irgendwo ist ein Rechenfehler!
[tex]-0,5 = - \frac{3}{8} \cdot r_1 \cdot \sqrt{240 - \frac{3}{8} \cdot r^2_1}[/tex]
[tex]\frac{4}{3}=r_1 \cdot\sqrt{240-\frac{3}{8}\cdot r^2_1}[/tex]
[tex]\frac{16}{9} = r^2_1 \cdot \(240 - \frac{3}{8} \cdot r^2_1\)[/tex]
[tex]\frac{16}{9}=240 \cdot r^2_1-\frac{3}{8} \cdot r^4_1[/tex]
[tex]\frac{3}{8}\cdot r^4_1 - 240\cdot r^2_1 + \frac{16}{9}= 0[/tex]

?????
 
#20
Nein, kein Rechenfehler!

Die Lösung ist näherungsweise (Newtonverfahren) r1 = 0,08606679466132147 (Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung - stimmt!). Für die Klausur ist das natürlich nicht so toll. Stimmt denn die Ausgangsgleichung (Deine erste Gleichung) oder ist die möglicherweise schon falsch?

Newtonverfahren: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/newton.htm

Möglicherweise kann man diese Gleichung auch exakt lösen, siehe z.B. http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf.

Liebe Grüße
Chrissi
 
#27
Ich habe irgendwie das ungute Gefühlt, dass Aufgabe 5 diesmal anders wird. So wie beim anderen Thema in der 3/12 Klausur.

Vllt nur kurzes "Auswendig-Gelerne".... Oder aber Dominanz-VErgleich mit Schad-, Umwelt- und technischer Effizienz (bin ich grad drüber gestolpert ;) ).

Oder mal ein substitutionales Modell, bisher war ja immer nur lin.lim. dran? Oder irre ich mich? :cool:

MfG
 
#28
Aufgabe 4d) März 2012 (4.9)

Ich bin der Meinung, man muss erst die Funktion C(v) durch v teilen, um so eine Stückkostenfunktion pro Welle zu erhalten. Anschließendes Ableiten und Nullsetzen ergibt dann v=5 und somit die "Optimalintensität".
 
#29
@ Alf 1980: Ich habe das auch so gemacht. Gegeben sind ja die Herstellungskosten pro Stunde (also K/t). Wir brauchen ja aber die Stückkostenfunktion (in Abhängigkeit von Lambda). Da Lambda = x/t gilt, habe ich K/t : x/t bzw. K/t * t/x gerechnet (x entspricht hier v). Man rechnet also die gegebene Kostenfunktion durch x bzw. v und erhält damit die Stückkostenfunktion. Dann erhält man durch Ableiten und Nullsetzen die in der Aufgabe vorgegebene optimale Intensität von 5 Wellen.
Keine Ahnung, ob der Ansatz bzw. die Rechnung so richtig ist... :confused:

@ Christoph86: Ja, ich glaube auch, dass eine Aufgabe wieder völlig aus der Art schlagen wird. Ich habe mir auch schon die Vorgehensweise bei substitutionalen Produktionen und Umweltpolitik angeschaut, da die meiner Meinung nach noch nie rankam, zumindest nicht seit Februar 2008.

@BertWollersheim: Vielen Dank, dass du dir solche Mühe gemacht hast und alle verfügbaren Klausuren mit Lösungsweg zur Verfügung stellst. Da können auch zukünftige Studenten noch von profitieren. Ich bin momentan in den letzten Zügen, was Klausuren angeht. Danach schaue ich mir deine Musterlösungen an und würde natürlich Verbesserungsvorschläge, Fehler etc. mitteilen. ;)

Liebe Grüße und weiterhin frohes Schaffen! :D
 
#30
Alles Gute liebe Mitstudenten

Vielen Dank besonders für die Musterlösungen. Leider habe ich nur die Klausuren der letzten 2 Jahre (seit September 2010). Daher fange ich leider nicht so viel mit den Musterlösungen vor September 2010 an.

Kann sie jemand vielleicht für mich bitte hochladen oder per E-Mail schicken. Würde mich sehr freuen.

Vielen Dank

Ich wünsche euch allen auf jeden Fall viel Erfolg für die Klausur.

Gruß Jan Gorn
 
#33
Hallo Bert,

Bitte Tippfehler, Ungenauigkeiten oder Verbesserungsvorschläge posten, damit ich die Musterlösung aktuell halten kann!
Aufgabe 2 b) in Klausur 03/2009 muss ergänzt werden. Nach Aufgabenstellung ist der Faktor 2 nicht fix, sondern limitiert (= nach oben begrenzt auf) auf r2~ = 25. Das ist also eine Höchstmenge, wie beispielsweise in Aufgabe 2 d) in Klausur 03/2008.

Bis zu einem Faktoreinsatz von r2 = 25 kann also im Optimum produziert werden. Nur Minimalkostenkombinationen, für die r2 > 25 ist, können nicht realisiert werden.

Man muss also die Minimalkostenkombination für eine beliebige Outputmenge x berechnen.

Im Optimum verhalten sich die Grenznutzen wie die Faktorpreise: (dx/dr1) / (dx/dr2) = q1 / q2

(dx/dr1) / (dx/dr2)
= 3 * 1/2 * r1^-1/2 / (1/2 * r2^-1/2)
= 3 * (r2/r1)^1/2

Optimalbedingung:
(dx/dr1) / (dx/dr2) = q1 / q2 = 3/4
3 * (r2/r1)^1/2 = 3/4

Expansionslinie:
r2/r1 = 1/16
r1 = 16 * r2
r2 = 1/16 * r1

Faktoreinsatzmenge r1 als Funktion von x:
x = (3 * r1^1/2 + r2^1/2)^2
x = (3 * r1^1/2 + 1/4 * r1^1/2)^2
x = (13/4)^2 * r1
r1 = (4/13)^2 * x

Faktoreinsatzmenge r2 als Funktion von x:
x = (3 * r1^1/2 + r2^1/2)^2
x = (3 * 4 * r2^1/2 + r2^1/2)^2
x = 13^2 * r2
r2 = (1/13)^2 * x

Kosten als Funktion der Outputmenge x:
K = q1 * r1 + q2 * r2
K = 3 * (4/13)^2 * x + 4 * (1/13)^2 * x
K = 52/13^2 * x

Da die Einsatzmenge von Faktor 2 auf r2~ = 25 ME beschränkt ist und x = 13^2 * r2 ist, kann bis zu einer Outputmenge x = 13^2 * 25 = 4225 ME im Optimum produziert werden.

Die Kostenfunktion sieht also so aus:

Für 0 < x <= 4225: K(x) = Kopt(x) = 52/13^2 * x = 4/13 * x

Für x > 4225: K(x) = Kfix(x) = 1/3 * (x^1/2 - 5)^2 + 100

Plausibilitätsbetrachtung: Für x = 4225 liefern beide Teilfunktionen dieselben Kosten, denn:

Kopt(4225) = 4/13 * 4225 = 1300 GE

Kfix(4225) = 1/3 * (4225^1/2 - 5)^2 + 100 = 1300 GE

Hier die Graphen der beiden Kostenkurven. Man erkennt: Die optimalen Kosten (blau) sind nie größer als die Kosten bei r2~ = 25 (rot). Es gibt nur einen Punkt, in dem beiden Kosten gleich groß sind, nämlich bei x = 4225.

Die rote Kurve (Kosten bei r2~ = 25) nähert sich der blauen Kurve (minimale Kosten) zunächst bis x = 4225 an und entfernt sich für größere Outputmengen x dann wieder.

Liebe Grüße
Chrissi

Klausur_03_2009_2b.png
 
#34
Bitte Tippfehler, Ungenauigkeiten oder Verbesserungsvorschläge posten, damit ich die Musterlösung aktuell halten kann!
Klausur 09/2011 Aufgabe 2 c) ii) ist im pdf unvollständig. Hier meine ausführliche Lösung:


Definition Substitutionselastizität Sij

Seien xi' = dx/dri und xj' = dx/drj die Grenzproduktivitäten der Faktoren i und j

Substitutionselastizität Sij:
Sij
= -[ d(ri/rj) / (ri/rj) ] / [ d(xi'/xj') / (xi'/xj') ] ………// Definition Substitutionselastizität
= -[ d(ri/rj) / d(xi'/xj') ] * (xi'/xj') * rj/ri …………….// Umformung

Die Substitionselastizität kann man schrittweise so berechnen:
1. Schritt: xi' / xj' berechnen (das ist der Quotient der Grenzproduktivitäten)
2. Schritt: d(xi'/xj') / d(ri/rj) berechnen (das ist der Quotient der Grenzproduktivitäten abgeleitet nach ri/rj)
3. Schritt: Kehrwert d(ri/rj) / d(xi'/xj') von d(xi'/xj') / d(ri/rj) aus dem 2. Schritt bilden
4. Schritt: Substitutionselastizität Sij = - [ d(ri/rj) / d(xi'/xj') ] * (xi'/xj') * rj/ri berechnen

Substitionalitätselastizität S12 einer CES-Produktionsfunktion mit zwei Faktoren 1 und 2:

x = (c1 * r1^-p + c2 * r2^-p)^-1/p

1. Schritt: Quotient der Grenzproduktivitäten x1'/x2' = (dx/dr1) / (dx/dr2) berechnen:
x1'= dx/dr1 = -1/p * (c1 * r1^-p + c2 * r2^-p)^(-1/p-1) * c1 * -p * r1^-p-1
x2'= dx/dr2 = -1/p * (c1 * r1^-p + c2 * r2^-p)^(-1/p-1) * c2 * -p * r2^-p-1
x1'/ x2' = c1 * r1^-p-1 / (c2 * r2^-p-1) = (c1/c2) * (r1/r2)^-p-1

2. Schritt: Quotient der Grenzproduktivitäten abgeleitet nach r1/r2 berechnen:
d(x1'/x2') / d(r1/r2) = (-p-1) * (c1/c2) * (r1/r2)^-p-2

3. Schritt: Kehrwert des Qutoienten aus dem 2. Schritt bilden:
d(r1/r2) / d(x1'/x2') = -1 / (1+p) * (c2/c1) * (r2/r1)^-p-2

4. Schrittt: Substitutionselastizität S12 = - [ d(r1/r2) / d(x1'/x2') ] * (x1'/x2') * r2/r1 berechnen:

Substitutionselastizität S12:
S12
= -[ d(r1/r2) / d(x1'/x2') ] * (x1'/x2') * r2/r1
= 1 / (1+p) * (c2/c1) * (r2/r1)^-p-2 * (c1/c2) * (r1/r2)^-p-1 * r2/r1
= 1 / (1+p) * (r2/r1)^-p-1 * (r1/r2)^-p-1
= 1 / (1+p) * (r2/r1)^-p-1 * (r2/r1)^p+1
= 1 / (1+p) * (r2/r1)^0
= 1 / (1+p)

Die Substitutionselastizität S12 ist also für eine festes p eine Konstante.

Liebe Grüße
Chrissi
 
Zuletzt bearbeitet:
#35
Klausur 09/2008 Aufgabe 3 b) - identisch mit Klausur 03/2011 Aufgabe 3 b)


Hier habe ich ein anderes Ergebnis und eine Begründung, die nicht mit Kostengeraden, sondern mit Dominanzbeziehungen zwischen Prozessen argumentiert (wie es bei Effizienzbetrachtungen üblich ist).

Mein Ergebnis: Prozess II ist ineffizient aber die Prozesse I, III und V bleiben weiterhin effizient, wenn die Prozesse kombiniert werden können.

Zunächst mein Schaubild:

Klausur_09_2008_Aufgabe_3_b.png

Eingezeichnet sind die Produktionspunkte für x = 20 ME und die Isoquanten dazu, deren Eckpunkte die effizienten Produktionspunkte der jeweiligen Prozesse I, II, III und V sind. Außerdem sind die Prozesskombinationen zwischen je zwei Prozessen eingezeichnet (Verbindungslinien zwischen den Produktionspunkten).

Man erkennt:

Es gibt (unendlich viele) Prozesskombinationen von Prozess III und V, die Prozess II dominieren. Diese Prozesskombinationen sind durch den ganz fetten Teilabschnitt auf der Verbindungslinie der Prozesse III und V gekennzeichnet. Sie liegen links unterhalb des Produktionspunktes von Prozess II, d.h. sie benötigen für dieselbe Outputmenge x = 20 weniger Inputmengen von beiden Faktoren als Prozess II. Das sind unendlich viele Prozesse (beliebige Teilbarkeit der Mengen vorausgesetzt), weil jeder Punkt auf der Verbindungslinie der Produktionspunkt für x = 20 einer Prozesskombination (d.h. eines Prozesses) ist.

Beispiel: Aufteilung xIII : xV = 1:1.

Das ist der Misch-Prozess P: r1 = 6 * 1/2 * x + 2 * 1/2 * x = 4 * x; r2 = 2 * 1/2 * x + 5 * 1/2 * x = 3,5 * x.

Man erkennt: Misch-Prozess P: r1 = 4 * x; r2 = 3,5 * x dominiert Prozess II, weil 4 < 5 und 3,5 < 4 ist.

Aber nicht jeder Misch-Prozess von Prozess III und Prozess V dominiert Prozess II, siehe Schaubild.

Beispiel: Aufteilung xIII : XV = 4 : 1

Das ist der Misch-Prozess Q: r1 = 6 * 4/5 * x + 2 * 1/5 * x = 26/5 * x; r2 = 2 * 4/5 * x + 5 * 1/5 * x = 13/5 * x.

Man erkennt: Misch-Prozess Q: r1 = 26/5 * x; r2 = 13/5 * x dominiert Prozess II NICHT, weil 13/5 < 4 aber 26/5 > 5.

Andere Dominanzbeziehungen gibt es nicht (keine Prozesskombination liegt links unterhalb der Produktionspunkte von Prozess I, III, V), d.h. die Prozesse I, III, V sind weiterhin effizient, wenn die Prozesse kombinierbar sind.

Liebe Grüße
Chrissi
 
#36
Klausur 09/2009 Aufgabe 3 c)

Der alternative Lösungsweg im pdf ist zwar korrekt, aber "unnötig umständlich", weil ein Umweg genommen wird, der die Rechnung verlängert. Kürzer geht es so:

Ansatz:

r1 = 12375 = r1I + r1II = 7 * xI + 3 * xII
r2 = 6000 = r2I + r2II = 3 * xI + 5 * xII

Man erkennt: Zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten xI und xII. Das ergibt die eindeutige Lösung xI = 1687,5 und xII = 187,5. Die Höchstmenge ist x = xI + xII = 1687,5 + 187,5= 1875

Das Verhältnis ist xI/xII = 1687,5/187,5 = 9/1, das Mischungsverhältnis ist also xI : xII = 9 : 1

Liebe Grüße
Chrissi
 
#37
Klausur 09/2011 Aufgabe 3 c)


Der Prozess III ist für alle zulässigen 8 <= e <= 11 effizient. Das erkennt man an dem Schaubild daran, dass die x = 1 Produktionspunkte von Prozess III für kein 8 <= e <= 11 von Prozess I oder II dominiert werden.

Formal führt man den Effizienznachweis "wie immer". Wäre Prozess III für ein 8 <= e <= 11 ineffizient, dann würde er von Prozess I oder II dominiert. Es gilt jedoch:

a1III = 14 < 20 = a1I , d.h. Prozess III wird nicht von Prozess I dominiert.

Für alle 8 <= e <= 11 ist außerdem a2III = e < 14 = a2II, d.h. Prozess III wird auch nicht von Prozess II dominiert.

Prozess III wird also von keinem Prozess dominiert, d.h. Prozess III ist effizient für alle 8 <= e <= 11.

Die Argumentation von Bert im pdf mit den Kostenisoquanten kann ich nicht nachvollziehen. Zum einen hat Effizienz nichts mit Kosten (also den Faktorpreisen) zu tun (sondern "nur" mit Dominanz anderer Prozesse/Produktionsmöglichkeiten). Zum anderen ist die Verbindungslinie zwischen zwei Prozessen (siehe pdf) nicht die Kostenisoquante, sondern definiert die Prozesskombinationen (Linearkombinationen) zweier Prozesse. Und in der Tat erkennt man im Schaubild, dass es ein e^ mit 8 <= e^ <= 11 gibt, so dass für alle e mit 8 <= e^ <= e <= 11, Prozess III von Prozesskombinationen der Prozesse I und II dominiert wird (Weil für diese e^ < e <= 11 der Produktionspunkt für x = 1 oberhalb der Verbindungslinie zwischen Prozess I und II liegt). In der Aufgabe werden Prozesskombinationen aber nicht betrachtet, sondern nur die reinen Prozesse.

Bild 006.png

In Zukunft könnte aber diese Erweiterungsaufgabe in der Klausur gestellt werden:

Bestimme die Prozesse III (in Abhängigkeit von e), die bei Prozesskombination von I und II ineffizient sind.

Ich löse das so:

Sei Prozess P eine Prozesskombination von Prozess I und II und 0 < m < 1. Dann ist:

a1P = m * 20 + (1-m) * 8 = 8 + 12 * m

a2P = m * 6 + (1-m) * 14 = 14 - 8 * m

Sei e^ gegeben mit 8 <= e^ <= 11

Effizienzbetrachtung zwischen Mischprozess P und Prozess III mit e = e^: Für welche e^ wird Prozess III von Prozesskombinationen I und II dominiert?

a1P = 8 + 12 * m < 14 = a1III

m < (14 - 8) / 12 = 1/2

a2P = 14 - 8 * m < e^ = a2III

Da m < 1/2:

a2P = 14 - 8 * m < 14 - 8 * 1/2 = 10 < e^ = a2III

Also: Für 10 < e^ <= 11 gibt es Prozesskombinationen zwischen Prozess I und II, die Prozess III dominieren. Daher sind die Prozesse III mit 10 < e^ <= 11 ineffizient.

Beispiel: e^ = 10,5

Prozess III:
a1III = 14
a2III = e = 10,5

Prozesskombination P von Prozess I und II:
a1P = 8 + 12 * m < 14 = a1III, d.h. m < 0,5
a2P = 14 - 8 * m =< 10,5 = a2III, d.h. m > (14 - 10,5) / 8 = 0,4375

Prozess III mit e = 10,5 wird also von allen Prozesskombinationen von I und III dominiert,
die durch m mit 0,4375 < m < 0,5 bestimmt sind.

Sei beispielsweise m = 0,45:

a1P = 8 + 12 * m = 8 + 12 * 0,45 = 13,4 < 14 = a1III
a2P = 14 - 8 * m = 14 - 8 * 0,45 = 10,4 < 10,5 = e^ = a2III

Weil a1P = 13,4 < 14 = a1III und a2P = 10,4 < 10,5 = a2III dominiert die Prozesskombination für m = 0,45 den Prozess III mit e = 10,5.

Also: Prozess III mit e = 10,5 ist ineffizient, wenn Prozesskombinationen von I und II zulässig sind.

Liebe Grüße
Chrissi
 
#38
Klausur 09/2011 Aufgabe 3 d)


Hier lässt sich die Gesamtkostenfunktion K(x, e) noch genauer angeben als im pdf:

KIII(x, e) = 3 * 14 * x + 5 * e * x = 42 * x + 5 * e * x = (42 + 5 * e) * x

Vergleich der Kostenfunktionen KIII und KI:

KIII(x, e) = (42 + 5 * e) * x < 90 * x = KI(x)

e < (90 - 42) / 5 = 9,6

Also:
K(x, e) = KIII(x, e) = (42 + 5 * e) * x falls 0 <= e <= 9,6
K(x, e) = KI(x) ......= 90 * x ..............falls 9,6 <= e

Liebe Grüße​
Chrissi​
 
#40
Klausur 09/2011 Aufgabe 3 c)


Der Prozess III ist für alle zulässigen 8 <= e <= 11 effizient. Das erkennt man an dem Schaubild daran, dass die x = 1 Produktionspunkte von Prozess III für kein 8 <= e <= 11 von Prozess I oder II dominiert werden.

Formal führt man den Effizienznachweis "wie immer". Wäre Prozess III für ein 8 <= e <= 11 ineffizient, dann würde er von Prozess I oder II dominiert. Es gilt jedoch:

a1III = 14 < 20 = a1I , d.h. Prozess III wird nicht von Prozess I dominiert.

Für alle 8 <= e <= 11 ist außerdem a2III = e < 14 = a2II, d.h. Prozess III wird auch nicht von Prozess II dominiert.

Prozess III wird also von keinem Prozess dominiert, d.h. Prozess III ist effizient für alle 8 <= e <= 11.

Die Argumentation von Bert im pdf mit den Kostenisoquanten kann ich nicht nachvollziehen. Zum einen hat Effizienz nichts mit Kosten (also den Faktorpreisen) zu tun (sondern "nur" mit Dominanz anderer Prozesse/Produktionsmöglichkeiten). Zum anderen ist die Verbindungslinie zwischen zwei Prozessen (siehe pdf) nicht die Kostenisoquante, sondern definiert die Prozesskombinationen (Linearkombinationen) zweier Prozesse. Und in der Tat erkennt man im Schaubild, dass es ein e^ mit 8 <= e^ <= 11 gibt, so dass für alle e mit 8 <= e^ <= e <= 11, Prozess III von Prozesskombinationen der Prozesse I und II dominiert wird (Weil für diese e^ < e <= 11 der Produktionspunkt für x = 1 oberhalb der Verbindungslinie zwischen Prozess I und II liegt). In der Aufgabe werden Prozesskombinationen aber nicht betrachtet, sondern nur die reinen Prozesse.

Den Anhang 8250 betrachten

In Zukunft könnte aber diese Erweiterungsaufgabe in der Klausur gestellt werden:

Bestimme die Prozesse III (in Abhängigkeit von e), die bei Prozesskombination von I und II ineffizient sind.

Ich löse das so:

Sei Prozess P eine Prozesskombination von Prozess I und II und 0 < m < 1. Dann ist:

a1P = m * 20 + (1-m) * 8 = 8 + 12 * m

a2P = m * 6 + (1-m) * 14 = 14 - 8 * m

Sei e^ gegeben mit 8 <= e^ <= 11

Effizienzbetrachtung zwischen Mischprozess P und Prozess III mit e = e^: Für welche e^ wird Prozess III von Prozesskombinationen I und II dominiert?

a1P = 8 + 12 * m < 14 = a1III

m < (14 - 8) / 12 = 1/2

a2P = 14 - 8 * m < e^ = a2III

Da m < 1/2:

a2P = 14 - 8 * m < 14 - 8 * 1/2 = 10 < e^ = a2III

Also: Für 10 < e^ <= 11 gibt es Prozesskombinationen zwischen Prozess I und II, die Prozess III dominieren. Daher sind die Prozesse III mit 10 < e^ <= 11 ineffizient.

Beispiel: e^ = 10,5

Prozess III:
a1III = 14
a2III = e = 10,5

Prozesskombination P von Prozess I und II:
a1P = 8 + 12 * m < 14 = a1III, d.h. m < 0,5
a2P = 14 - 8 * m =< 10,5 = a2III, d.h. m > (14 - 10,5) / 8 = 0,4375

Prozess III mit e = 10,5 wird also von allen Prozesskombinationen von I und III dominiert,
die durch m mit 0,4375 < m < 0,5 bestimmt sind.

Sei beispielsweise m = 0,45:

a1P = 8 + 12 * m = 8 + 12 * 0,45 = 13,4 < 14 = a1III
a2P = 14 - 8 * m = 14 - 8 * 0,45 = 10,4 < 10,5 = e^ = a2III

Weil a1P = 13,4 < 14 = a1III und a2P = 10,4 < 10,5 = a2III dominiert die Prozesskombination für m = 0,45 den Prozess III mit e = 10,5.

Also: Prozess III mit e = 10,5 ist ineffizient, wenn Prozesskombinationen von I und II zulässig sind.

Liebe Grüße
Chrissi
In dem Übungsbuch von Fandel sind auch noch andere Beispielaufgaben drin, die bis dato auch nicht in den letzten Klausuren dran gekommen sind. Meinst Du, dass eine derartige Aufgabe zukünftig mal dran kommen wird???

LG Mary :)
 
#41
Klausur 09/2008 Aufgabe 3 b) - identisch mit Klausur 03/2011 Aufgabe 3 b)


Hier habe ich ein anderes Ergebnis und eine Begründung, die nicht mit Kostengeraden, sondern mit Dominanzbeziehungen zwischen Prozessen argumentiert (wie es bei Effizienzbetrachtungen üblich ist).

Mein Ergebnis: Prozess II ist ineffizient aber die Prozesse I, III und V bleiben weiterhin effizient, wenn die Prozesse kombiniert werden können.

Zunächst mein Schaubild:

Den Anhang 8240 betrachten

Eingezeichnet sind die Produktionspunkte für x = 20 ME und die Isoquanten dazu, deren Eckpunkte die effizienten Produktionspunkte der jeweiligen Prozesse I, II, III und V sind. Außerdem sind die Prozesskombinationen zwischen je zwei Prozessen eingezeichnet (Verbindungslinien zwischen den Produktionspunkten).

Man erkennt:

Es gibt (unendlich viele) Prozesskombinationen von Prozess III und V, die Prozess II dominieren. Diese Prozesskombinationen sind durch den ganz fetten Teilabschnitt auf der Verbindungslinie der Prozesse III und V gekennzeichnet. Sie liegen links unterhalb des Produktionspunktes von Prozess II, d.h. sie benötigen für dieselbe Outputmenge x = 20 weniger Inputmengen von beiden Faktoren als Prozess II. Das sind unendlich viele Prozesse (beliebige Teilbarkeit der Mengen vorausgesetzt), weil jeder Punkt auf der Verbindungslinie der Produktionspunkt für x = 20 einer Prozesskombination (d.h. eines Prozesses) ist.

Beispiel: Aufteilung xIII : xV = 1:1.

Das ist der Misch-Prozess P: r1 = 6 * 1/2 * x + 2 * 1/2 * x = 4 * x; r2 = 2 * 1/2 * x + 5 * 1/2 * x = 3,5 * x.

Man erkennt: Misch-Prozess P: r1 = 4 * x; r2 = 3,5 * x dominiert Prozess II, weil 4 < 5 und 3,5 < 4 ist.

Aber nicht jeder Misch-Prozess von Prozess III und Prozess V dominiert Prozess II, siehe Schaubild.

Beispiel: Aufteilung xIII : XV = 4 : 1

Das ist der Misch-Prozess Q: r1 = 6 * 4/5 * x + 2 * 1/5 * x = 26/5 * x; r2 = 2 * 4/5 * x + 5 * 1/5 * x = 13/5 * x.

Man erkennt: Misch-Prozess Q: r1 = 26/5 * x; r2 = 13/5 * x dominiert Prozess II NICHT, weil 13/5 < 4 aber 26/5 > 5.

Andere Dominanzbeziehungen gibt es nicht (keine Prozesskombination liegt links unterhalb der Produktionspunkte von Prozess I, III, V), d.h. die Prozesse I, III, V sind weiterhin effizient, wenn die Prozesse kombinierbar sind.

Liebe Grüße
Chrissi
Hey Chrissi,

warum kann ich in Deinem Schaubild Prozess I nicht mit Prozess III kombinieren? Wenn ich die Produktionspunkte für x=20 verbinde, dann liegt die Gerade unter dem Produktionspunkt des Prozesses II und stellt demnach im Bereich des "umgekehrten Isoquantenabschnittes" ebenfalls die dominantere Alternative dar, oder nicht?

Mein Ergebnis wäre gewesen, dass eine Kombi aus I und III sowie V und III dominanter als Prozess II sind und das im Ergebnis natürlich wie Du nur Prozess II ineffizient bei dieser Teilaufgabe ist.
 
#43
warum kann ich in Deinem Schaubild Prozess I nicht mit Prozess III kombinieren? .
Doch das geht. Ich habe auch nicht behauptet, dass es nicht ginge. Es gibt (unendlich viele) Prozesskombinationen I/III, die Prozess II dominieren.

Wenn ich die Produktionspunkte für x=20 verbinde, dann liegt die Gerade unter dem Produktionspunkt des Prozesses II und stellt demnach im Bereich des "umgekehrten Isoquantenabschnittes" ebenfalls die dominantere Alternative dar, oder nicht?.
Ja, das ist so.

Mein Ergebnis wäre gewesen, dass eine Kombi aus I und III sowie V und III dominanter als Prozess II sind und das im Ergebnis natürlich wie Du nur Prozess II ineffizient bei dieser Teilaufgabe ist.
Um die Ineffizienz zu beweisen, reicht ja die Angabe eines Beispiel. Das habe ich mit der Prozesskombination III/V angegeben. Damit ist für mich die Fragestellung erledigt. Man kann auch mit I/III argumentieren. Man kann noch anfügen, das alle Prozesskombinationen ausser alle Kombinationen I/V und III/V (also I/II, I/III, II/III, II/V) ineffizient sind. Aber danach war nicht gefragt.

Liebe Grüße
Chrissi
 
#47
Doch das geht. Ich habe auch nicht behauptet, dass es nicht ginge. Es gibt (unendlich viele) Prozesskombinationen I/III, die Prozess II dominieren.


Liebe Grüße
Chrissi
Du hattest aber auch nicht geschrieben, dass es geht. Deswegen war es für mich leicht irreführend. Du hast nur geschrieben, ich zitiere "Es gibt (unendlich viele) Prozesskombinationen von Prozess III und V, die Prozess II dominieren." Daraus ist nicht ersichtlich, dass Du auch Kombinationen von I und III meinst bzw. die Kombi von III und IV nur beispielhaft dargestellt hast.
 
#48
Das sollte Dich nicht verwirren. Mathematische Beweise sollten minimal sein. Die Angabe (nur) eines Prozesses der Prozess II dominiert (also eines Beispielprozesses, das sogenannte "Gegenbeispiel") genügt, um zu zeigen, dass Prozess II ineffizient ist.

Daraus ist nicht ersichtlich, dass Du auch Kombinationen von I und III meinst
Nein, nein, ich hatte I/III Kombinationen gar nicht im Blick. Ein Gegenbeispiel reicht, daher ist es für meinen Nachweis unwichtig, ob I/III Kombinationen den Prozess II dominieren oder nicht.

Liebe Grüße
Chrissi
 
#49
Vielleicht verstehe ich die Aufgabe einfach auch nur anders. Ich war der Annahme, dass als Antwort stehen muss, dass die Kombis I und III sowie IV und III den Prozess dominieren und das auch keine Beispielrechnung aufgezeigt werden muss. Hab ich einfach nur anders interpretiert :).

LG Mary
 
#50
Alternativer Lösungsweg für 03/2009 Aufgabe 4 e)


Die Grundidee für einen alternativen Lösungsweg:

Maschine 2 und 3 sind funktions- und kostengleich.

Deshalb ist die Aufteilung einer Produktionsmenge auf beide Maschine immer im Verhältnis 1:1 (so weit so identisch mit der Lösung im pdf).

Deshalb können beide Maschinen gedanklich zu einer Maschine zusammenfasst werden, für deren Kostenfunktion K(x) gilt:

K(x) = 2 * K2(0,5 * x)

Für die kostenoptimalen Aufteilung von 320 ME auf Maschine 1 (x1) und dieser gedachten Maschine (320 - x1) gilt dann wie üblich grenzkostengleichheit, also: K1'(x1) = K'(320 - x1)

Zunächst muss K(x) ermittelt werden und dazu muss K2(x) ermittelt werden.

K2(x) ist eine Stammfunktion der gegebenen Grenzkostenfunktion K2'(x), also:

K2(x) = 0,3 * x^3 - 18 * x^2 + 1070 * x ... die 1. Ableitung von K2(x) ergibt K2'(x)

Nun ist:

K(x)
= 2 * K2(0,5 * x)
= 2 * (0,3 * (0,5 * x)^3 - 18 * (0,5 * x)^2 + 1070 * (0,5 * x))
= 0,075 * x^3 - 9 * x^2 + 1070 * x

Und:

K'(x) = 0,225 * x^2 - 18 * x + 1070 die Grenzkostenfunktion der gedachten Maschine

(Weil wir uns nur für die Grenzkosten der gedachten Maschine interessieren, ist das konstante Glied in der Stammfunktion oben, das sind die Fixkosten, unerheblich, da es bei der Ableitung wieder wegfällt.)

Es muss nun für die kostenoptimale Aufteilung von 320 ME auf Maschine 1 und der gedachten Maschine gelten:

K1'(x1) = K'(320 - x1)

(15/16) * x1^2 - 25 * x1 + 1125 = 0,225 * (320 - x1)^2 - 18 * (320 - x1) + 1070

Für diese Gleichung gibt es eine Lösung im Intervall 0 < x1 <= 120, nämlich x1 = 100 (Gleichung umstellen und mit Mitternachtsformel lösen):

(15/16) * 100^2 - 25 * 100 + 1125 = 8000
0,225 * (320 - 100)^2 - 18 * (320 - 100) + 1070 = 8000

Maschine 1 produziert also x1 = 100 ME und die gedachte Maschine produziert den Rest 320 - 100 = 220 ME. Weil die gedachte Maschine die Zusammenfassung der funktions- und kostengleichen Maschinen 2 und 3 ist, teilen sich Maschine 2 und 3 die Produktionsmenge 220 ME der gedachten Maschine zu gleichen teilen, d.h. x2 = x3 = 110 ME.

Es ist also: x1 = 100 ME und x2 = x3 = 110 ME.

Liebe Grüße
Chrissi
 
#52
Klausur 09/2011 Aufgabe 5 b)


Die Gesamtkostenfunktion kann man schneller berechnen als in Berts Lösung. Die aufgrund von max. S = 12 ME Schadstoff produzierbaren Höchstmengen werden wie von Bert berechnet: Prozess I : xImax = 8 ME und Prozess II: xIImax = 24 ME.

Für 0 < x <= 8 wird nur Prozess I verwendet, weil er der kostengünstigste ist.

Für 8 < x <= 24 werden die Prozesse I und II kombiniert, wobei x = 24 nur noch mit Prozess II produziert wird.

Die Kostenfunktion hat die Form: K(x) = a * x + b

Es gilt:

x = 8 wird nur mit Prozess I produziert, also: K(8) = KI(8) = 42 * 8 = 336 = a * x + b
x = 24 wird nur mit Prozess II produziert, also:K(24) = KII(24) = 44 * 24 = 1056 = a * x + b

Das sind zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten a und b:

a = -24; b = 45

Also K(x) = a * x + b = -24 + 45 * x = 45 * x - 24 für 8 < x <= 24

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#53
Klausur März 2011 - Aufgabe 4c)

Die Gesamtkostenfunktion sieht anders aus.

Der Fehler ist, dass die variablen Stückkosten in Höhe von 13 (für Holzplatte und Metall) mit den Fixkosten zusammenaddiert wurden, anstatt 13x dazu zu addieren.

Dadurch komme ich auf die K-Funktionen

26x + 50....................................................................... für 0 <= x <= 72
47/6400x^3 - 47/50x² + 55,61x + 50......................... für 72 <= x <= 96
3/320x^3 - 133/100x² + 74,33 x + 50........................ für 96 <= x <= 144

Mehr als 144 können nicht produziert werden, auf Grund der Beschränkung in der FSI
 
Zuletzt bearbeitet:
#54
Warum werden bei folgenden Aufgaben unterschiedliche Kostenfunktionen angegeben bzw. warum erfolgt eine getrennte Betrachtung der Kostenfunktionen, obwohl es dieselbe Aufgabenstellung ist? (In Anlehnung an die hier eingestellte Musterlösung)

Klausur 03/2009 - Aufgabe 2b
Klausur 02/2008 - Aufgabe 2d

Bei beiden Teilaufgaben ist ein Faktor beschränkt. In der Klausur 03/2009 erfolgt keine getrennte Betrachtung der Kostenfunkion in Abhängigkeit von der Outputmenge. In der Klausur 02/2008 erfolgt jedoch eine getrennte Betrachtung. Ich verstehe nicht, wieso das der Fall ist.

LG Mary
 
Zuletzt bearbeitet:
#56
Warum werden bei folgenden Aufgaben unterschiedliche Kostenfunktionen angegeben bzw. warum erfolgt eine getrennte Betrachtung der Kostenfunktionen, obwohl es dieselbe Aufgabenstellung ist? (In Ahnlehnung an die hier eingestellte Musterlösung)
Klausur 03/2009 - Aufgabe 2b
Klausur 02/2008 - Aufgabe 2d
Bei beiden Teilaufgaben ist ein Faktor beschränkt. In der Klausur 03/2009 erfolgt keine getrennte Betrachtung der Kostenfunkion in Abhängigkeit von der Outputmenge. In der Klausur 02/2008 erfolgt jedoch eine getrennte Betrachtung. Ich verstehe nicht, wieso das der Fall ist.
LG Mary
Siehe oben meinen Beitrag #33.


In Berts pdf ist ist die Kostenfunktion für r2max = 25 unvollständig. Die Lösung wäre korrekt, wenn die Faktormenge von Faktor 2 auf r2 = r2fix = 25 ME fixiert ist. Das ist sie aber nicht, denn Faktor 2 ist auf die Menge r2max = 25 limitiert, d.h. alle Faktoreinsatzmengen r2 <= r2max = 25 ME sind zulässig.

Liebe Grüße
Chrissi
 
#58
Also bei Aufgabe 2a (Klausur 03/2010) steht geschrieben, dass der Faktor r2 auf 16 Einheiten fixiert ist. D. h. also, dass genau 16 Einheiten benutzt werden, nicht mehr und auch nicht nicht weniger. Wenn limitiert steht, dann bedeutet das, dass nach oben hin eine Grenze herrscht. Wenn ein Faktor auf 16 Einheiten limitiert ist, dann können zwar weniger, aber natürlich auch nicht mehr verwendet werden. Das ist der Unterschied, richtig?

LG Mary
 
#59
Richtig! Wenn der Faktor fixiert ist, dann ist die Kostenfunktion NICHT abschnittsweise definiert. Wenn der Faktor begrenzt ist, r <= rmax, dann besteht die Kostenfunktion aus zweiTeilen. Für solche Outputmengen x, für die der Faktoreinsatz im Optimum r <= rmax ist, wird im Optimum produziert (Kostenminimierung). Für größere Outputmengen ist r = rmax fix und der zweite Faktor substituiert den ersten Faktor in dem Maße wie es erforderlich ist. Das ist dann nicht mehr optimal.
Liebe Grüße
Chrissi
 
#62
Ich habe am Montag Marketing geschrieben und TdL ist meine letzte Klausur. Dann bin ich durch - außer die Bachelorarbeit fehtl natürlich noch. Darauf freu ich mich. Zwei Studienabschlüsse reichen ja dann auch ;-). Wann bist Du noch einmal fertig bzw. wieviel hast Du noch vor Dir?
 
#63
Wann bist Du noch einmal fertig bzw. wieviel hast Du noch vor Dir?
Ich werde im SS 2015 oder WS 2015/2016 fertig. Nach den zwei Modulen in diesem Semester habe ich noch vier Module (3 x Endres + 1 x Eichner, also nur noch VWL), Seminar und Diplomarbeit (Diplom-Wirtschaftsinformatik im Zusatzstudiengang für Naturwissenschaftler und Ingenieure).

Liebe Grüße
Chrissi
 
#64
Hallo Bert,



Aufgabe 2 b) in Klausur 03/2009 muss ergänzt werden. Nach Aufgabenstellung ist der Faktor 2 nicht fix, sondern limitiert (= nach oben begrenzt auf) auf r2~ = 25. Das ist also eine Höchstmenge, wie beispielsweise in Aufgabe 2 d) in Klausur 03/2008.

Bis zu einem Faktoreinsatz von r2 = 25 kann also im Optimum produziert werden. Nur Minimalkostenkombinationen, für die r2 > 25 ist, können nicht realisiert werden.

Man muss also die Minimalkostenkombination für eine beliebige Outputmenge x berechnen.

Im Optimum verhalten sich die Grenznutzen wie die Faktorpreise: (dx/dr1) / (dx/dr2) = q1 / q2

(dx/dr1) / (dx/dr2)
= 3 * 1/2 * r1^-1/2 / (1/2 * r2^-1/2)
= 3 * (r2/r1)^1/2

Optimalbedingung:
(dx/dr1) / (dx/dr2) = q1 / q2 = 3/4
3 * (r2/r1)^1/2 = 3/4

Expansionslinie:
r2/r1 = 1/16
r1 = 16 * r2
r2 = 1/16 * r1

Faktoreinsatzmenge r1 als Funktion von x:
x = (3 * r1^1/2 + r2^1/2)^2
x = (3 * r1^1/2 + 1/4 * r1^1/2)^2
x = (13/4)^2 * r1
r1 = (4/13)^2 * x

Faktoreinsatzmenge r2 als Funktion von x:
x = (3 * r1^1/2 + r2^1/2)^2
x = (3 * 4 * r2^1/2 + r2^1/2)^2
x = 13^2 * r2
r2 = (1/13)^2 * x

Kosten als Funktion der Outputmenge x:
K = q1 * r1 + q2 * r2
K = 3 * (4/13)^2 * x + 4 * (1/13)^2 * x
K = 52/13^2 * x

Da die Einsatzmenge von Faktor 2 auf r2~ = 25 ME beschränkt ist und x = 13^2 * r2 ist, kann bis zu einer Outputmenge x = 13^2 * 25 = 4225 ME im Optimum produziert werden.

Die Kostenfunktion sieht also so aus:

Für 0 < x <= 4225: K(x) = Kopt(x) = 52/13^2 * x = 4/13 * x

Für x > 4225: K(x) = Kfix(x) = 1/3 * (x^1/2 - 5)^2 + 100

Plausibilitätsbetrachtung: Für x = 4225 liefern beide Teilfunktionen dieselben Kosten, denn:

Kopt(4225) = 4/13 * 4225 = 1300 GE

Kfix(4225) = 1/3 * (4225^1/2 - 5)^2 + 100 = 1300 GE

Hier die Graphen der beiden Kostenkurven. Man erkennt: Die optimalen Kosten (blau) sind nie größer als die Kosten bei r2~ = 25 (rot). Es gibt nur einen Punkt, in dem beiden Kosten gleich groß sind, nämlich bei x = 4225.

Die rote Kurve (Kosten bei r2~ = 25) nähert sich der blauen Kurve (minimale Kosten) zunächst bis x = 4225 an und entfernt sich für größere Outputmengen x dann wieder.

Liebe Grüße
Chrissi

Den Anhang 8175 betrachten
Hey Chrissi,

müsste die fett gedruckte K(x) nicht anders aussehen?

Ich habe K(x) = 3 * (1/3x^1/2 - 5/3)² + 100

LG Mary
 
#65
Klausur 09/2010 - Aufgabe 5g)

Laut der Musterlösung wird der Anstieg der Prozesskombination mit dem Anstieg der Schadstoffisoquante gleichgesetzt, um die Faktoreinsatzmengen zu ermitteln. Mein Ansatz war, einfach die Prozesskombination nach r2 umgestellt mit der Schadstoffisoquante nach r2 umgestellt gleichzusetzen, aber dann komme ich nicht weiter. Ich weiß nun auch nicht, ob dies möglich ist, da sich Prozesskombination und Schadstoffisoquante nicht schneiden. Aber dennoch berühren sie sich in einem Punkt, quasi dort, wie die Prozesskombination zur Tangente für die Schadstoffisoquante wird. Und aus diesem Grund war ich der Annahme, dass ich beides nach r2 aufgelöst gleichsetzen kann. Wenn ich das aber tue und nach r1 umstelle, dann habe ich immer noch ein "x" in der Gleichung. Und dann weiß ich nicht weiter.... aber wie gesagt, vielleicht gehts auch nicht, aber dann verstehe ich grad nicht, wieso.
 
#66
Klausur 09/2009 - Aufgabe 5c

Aussage laut Musterlösung:

"Für das dritte Intervall x > 25 gilt, dass die Kosten im Produktionspunkt x = 25 von der Prozesskombination und Prozess III gleich hoch sind:

K(25) = 80 · 25 − 800 = 54 · 25 − b ------------------> b = 150

Aufstellen der Gesamtkostenfunktion

K(x) = 30x für 0 <= x <= 16
K(x) = 80x − 800 für 16 < x  25

K(x) = 54x + 150 für x > 25"

1. Warum kann ich keine Kostenfunktion für eine Prozesskombination von Prozess I/III aufstellen (für x > 25).
 
Zuletzt bearbeitet:
#67
Klausur 09/2010 - Aufgabe 5g)

Laut der Musterlösung wird der Anstieg der Prozesskombination mit dem Anstieg der Schadstoffisoquante gleichgesetzt, um die Faktoreinsatzmengen zu ermitteln. Mein Ansatz war, einfach die Prozesskombination nach r2 umgestellt mit der Schadstoffisoquante nach r2 umgestellt gleichzusetzen, aber dann komme ich nicht weiter. Ich weiß nun auch nicht, ob dies möglich ist, da sich Prozesskombination und Schadstoffisoquante nicht schneiden. Aber dennoch berühren sie sich in einem Punkt, quasi dort, wie die Prozesskombination zur Tangente für die Schadstoffisoquante wird. Und aus diesem Grund war ich der Annahme, dass ich beides nach r2 aufgelöst gleichsetzen kann. Wenn ich das aber tue und nach r1 umstelle, dann habe ich immer noch ein "x" in der Gleichung. Und dann weiß ich nicht weiter.... aber wie gesagt, vielleicht gehts auch nicht, aber dann verstehe ich grad nicht, wieso.
Du hast die Schnittpunkte zwischen Schadstoffisoquante und den Prozesskombinationen berechnet, die die Schadstoffisoquante schneiden. Es gibt unendlich viele Prozesskombinationen, die die Schadstoffisoquante schneiden. Pro Outputmenge x gibt es in der Regel zwei Schnittpunkte, sofern es für dieses x überhaupt einen Schnittpunkt gibt (siehe Zeichnung unten), denn die Schadstoffisoquante hat einen konkaven Verlauf. Es ist also verständlich, dass bei Deinem berechneten Schnittpunkt x als unabhängige Variable auftaucht. Pro Outputmenge x gibt es 0, 1 oder zwei Schnittpunkte. Die Schnittpunkte helfen hier nicht weiter. Ein Schnittpunkt bedeutet lediglich, dass die zugehörige Prozesskombination beide Schadstoffgrenzen erreicht ohne eine Aussage zu haben ob die hergestellte Outputmenge die maximale ist. Gesucht ist der Berührpunkt zwischen Schadstoffisoquante und einer Prozesskombination (gleiche Steigung). Davon gibt es nur einen. Es handelt sich dabei um die Prozesskombination, die beide Schadstoffgrenzen erreicht UND dabei die maximale Outputmenge aller Prozesskombinationen erzeugt, die beide Schadstoffgrenzen erreichen.

Ich rechne und zeichne 09/2010 Aufgabe 5 g) so:

TDL_KL_09_2010_5_g.png


Steigung m der Prozesskombination für Outputmenge x:
m = (r2II(x) - r2I(x)) / (r1II(x) - r1I(x)) = (2 * x - 4 * x) / (6 * x - 2 * x)) = -1/2

Schadstoffisoquante: r2 = (240 - 3/8 * r1^2)^1/2
Steigung der Schadstoffisoquante:
dr2/dr1
= -1/2 * ( 240 - 3/8 * r1^2)^-1/2 * 3/4 * r1
= -3/8 * r1 * ( 240 - 3/8 * r1^2)^-1/2

Steigungen gleichsetzen (Berührpunkt):
-1/2 = -3/8 * r1 * (240 - 3/8 * r1^2)^-1/2
4/3 = r1 * (240 - 3/8 * r1^2)^-1/2
4/3 * (240 - 3/8 * r1^2)^1/2 = r1
16/9 * (240 - 3/8 * r1^2) = r1^2
1280/3 - 48/72 * r1^2 - r1^2 = 0
1280/3 - 120/72 * r1^2 = 0

r1 = (1280 * 72 / (3 * 120))^0,5 = 16
r2 = ( 240 - 3/8 * 16^2)^0,5 = 12

Berührpunkt ist bei (r1 = 16, r2 = 12)

Prozesskombination bei (r1 = 16, r2 = 12):

r1 = 16 = 2 * xI + 6 * xII
r2 = 12 = 4 * xI + 2 * xII

16 = 2 * xI + 6 * xII
xI = 8 - 3 * xII

12 = 4 * xI + 2 * xII = 12 = 4 * (8 - 3 * xII) + 2 * xII = 32 - 12 * xII + 2 * xII = 32 - 10 * xII
10 * xII = 32 - 12 = 20

xII = 20/10 = 2
xI = 8 - 3 * xII = 8 - 3 * 2 = 2

Die maximal herstellbare Outputmenge ist x = xI + xII = 2 + 2 = 4

Aufteilung ist 1 : 1 auf beide Prozesse (weil beide Prozess dieselbe Outputmenge xI = xII = 2 beisteuern).

Liebe Grüße
Chrissi
 
Zuletzt bearbeitet:
#68
Hey Chrissi,

ich hoffe, dass Deine Prüfung soweit erst mal gut gelaufen ist?

Ich war der Annahme, dass es nur einen Schnittpunkt zwischen Prozesskombi und Isoquante gibt, was für mich dann auch der einzige Berührungspunkt gewesen ist. Aber da ist mein Denkfehler. Dann hab ich es soweit verstanden. Danke für die Erklärung.

LG Mary
 
#69
Hey Chrissi,
müsste die fett gedruckte K(x) nicht anders aussehen?
Ich habe K(x) = 3 * (1/3x^1/2 - 5/3)² + 100
LG Mary
Ja, das habe ich auch so und im pdf ist es auch so!

K(x)
= 3 * (1/3x^1/2 - 5/3)² + 100
= 3 * (1/3 * (x^1/2 - 5))^2 + 100
= 3 * (1/3)^2 * (x^1/2 - 5)^2 + 100
= 3 * 1/9 * (x^1/2 - 5)^2 + 100
= 1/3 * (x^1/2 - 5)^2 + 100

Für x > 4225: K(x) = Kfix(x) = 1/3 * (x^1/2 - 5)^2 + 100
Liebe Grüße
Chrissi
 
Zuletzt bearbeitet:
#70
Klausur 09/2009 - Aufgabe 5c
Aussage laut Musterlösung:
"Für das dritte Intervall x > 25 gilt, dass die Kosten im Produktionspunkt x = 25 von der
K(x) = 54x + 150 für x > 25"
1. Warum kann ich keine Kostenfunktion für eine Prozesskombination von Prozess I/III aufstellen (für x > 25).
09/2009 Aufgabe 5 c)

Ja, hier ist Berts Lösung im pdf falsch.

Zum einen kannst Du Prozess I/III selbstverständlich auch kombinieren (das tut man dann für x > 25, der Höchstmenge für Prozess I). Noch kostengünstiger ist es allerdings die Prozesse II und III (für x > 16, der Höchstmenge von Prozess II) zu kombinieren (siehe nächster Beitrag):

Kombination von I und III:

Diese Prozesskombination ist kostenmäßig erst für x > 25 sinnvoll, weil für x <= 25 jede Kombination I/III teurer ist, als Prozesss I alleine.

Für x = 25 wird noch Prozess I alleine benutzt, d.h. für die Kostenfunktion der Kombination I/III gilt:

K(25) = KI(25) = 48 * 25 = 1.200

Weil die Kostenfunktion eine Gerade ist, benötigen wir einen zweiten Punkt, um die Kostenfunktion aufzustellen:

Für x = 30 wird mit der kostengünstigsten Kombination I/III so produziert: Prozess I produziert seine schadstoffbedingte Höchstmenge xI = 25 und Prozess III den Rest: xIII = 30 - 25 = 5

Es ist also K(30) = KI(25) + KIII(5) = 48 * 25 + 54 * 5 = 1.470

Jetzt ist für die Kostenfunktion K(x) der Kombination I/III also bekannt:

K(x) = a * x + b

K(25) = 1200 = a * 25 + b
b = 1200 - 25 * a

K(30) = 1470 = a * 30 + b = 30 * a + 1200 - 25 * a = 5 * a + 1200
1470 = 5 * a + 1200

a = (1470 - 1200) / 5 = 54
b = 1200 - 25 * a = 1200 - 25 * 54 = -150

Also: Die Kostenfunktion für die Kombination I/III ist: K(x) = 54 * x - 150

Liebe Grüße
Chrissi
 
Zuletzt bearbeitet:
#71
Fortsetzung 09/2009 Aufgabe 5 c) ...

Noch kostengünstiger ist es allerdings die Prozesse II und III (für x > 16, der Höchstmenge von Prozess II) zu kombinieren (siehe nächster Beitrag):
Auch Prozess II und III können kombiniert werden. Und diese Kombination ist überhaupt die kostengünstigste Kombination zweier Prozesse (siehe im Folgenden).

Für x <= 16 (= Höchstmenge von II) wird noch Prozess II alleine benutzt, d.h. für die Kostenfunktion II/III gilt daher:

K(16) = KII(16) = 30 * 16 = 480

Weil die Kostenfunktion eine Gerade ist, benötigen wir einen zweiten Punkt, um die Kostenfunktion aufzustellen:

Für x = 30 wird mit der kostengünstigsten Kombination II/III so produziert: Prozess II produziert sein Höchstmenge xII = 16 und Prozess III den Rest: xIII = 30 - 16 = 14

Es ist also K(30) = KII(16) + KIII(14) = 30 * 16 + 54 * 14 = 1.236

Jetzt ist für die Kostenfunktion K(x) der Kombination II/III also bekannt:

K(x) = a * x + b

K(16) = KII(16) = 480 = a * 16 + b
b = 480 - 16 * a

K(30) = 1236 = a * 30 + b = 30 * a + 480 - 16 * a = 14 * a + 480
1236 = 14 * a + 480

a = (1236 - 480) / 14 = 54
b = 480 - 16 * a = 480 - 16 * 54 = -384

Also: Die Kostenfunktion für die Kombination II/III ist also: KII/III(x) = 54 * x - 384

Beachte, dass die Kostenfunktion der Kombination I/II: K(x) = 80 * x - 800 für x > 16 oberhalb von KII/III(x) = 54 * x - 384 verläuft. d.h. für x > 16 mit II/III kostengünstiger produziert wird als mit I/II.

Fazit: Es ist am kostengünstigsten für 0 < x <= 16 nur mit dem kostengünstigsten Prozess II und für x > 16 nur noch mit jener Prozesskombination von II und III zu produzieren, bei der mit Prozess II die schadstoffausstoßbedingte Höchstmenge xII = 16 und mit Prozess III (ohne Schadstoffe) der Rest xIII = x - 16 produziert wird:

Die Gesamtkostenfunktion lautet also:

K(x) = KII(x) = 30 * x .................für 0 <= x <= 1
...... = KII/III(x) = 54 * x - 384 ... für 16 < x

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#72
Hey Chrissi,

danke für Deine Ausführungen.

Nun frage ich mich natürlich, wie für eine Ausbringungsmenge von x > 16 die Prozesskombination II/III günstiger sein kann also die Prozesskombination I/II. Deine Rechnungen kann ich soweit nachvollziehen, aber rein logisch gesehen impliziert die Prozesskombination II/III den günstigsten und teuersten Prozess und die Prozesskombination den günstigten und zweitgünstigsten Prozess. Und normalerweise müsste doch der günstigste Prozess kombiniert mit dem zweitgünstigen Prozess günstigter sein als der günstigste Prozess kombiniert mit dem teuersten Prozess. Wieso ist das hier nicht der Fall?

Hier ist mal meine Rechnung für die Kostenfunktion der Prozesskombination I/II im Bereich 16 <= x <= 25:

x = 16 ...... KII(16) = 480
x = 25 ...... KII(16) + KI(9) = 912

480 = 16a + b
912 = 25a + b

Beide Gleichungen nach b auflösen und gleichsetzen

a = 48
b = - 288

KI/II(x) = 48x - 288
(.....wobei ich mich hier an dieser Stelle frage, warum die Kostenfunktion anders aussieht, als wenn man die Kostenfunktion so berechnet:

m = (48 * 25) - (30 * 16) / (25 - 16) = 80
b = KII(16) - 80 * 16 = -800
K = mx + b = 80x - 800


Vielleicht bin ich heut auch nur zu durcheinander...)

Und nun Deine Kostenfunktion: K(x) = 54x - 385 für x < 16:

Wenn ich diese Kostenfunktionen gleichsetze, dann ist K(x) 48x - 288 ab einen Output von x < 16 günstiger, als K(x) = 54 x - 385.

Von daher hätte ich gesagt, dass die Gesamtkostenfunktion lautet:

K (x) = 30 x ....................... 0 <= x <= 16
K (x) = 48x - 288...............16 <= x <= 25
K(x) = 54x - 384................25 < x




LG Mary
 
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#73
Und wie sieht dann die Gesamtschadstofffunktion aus?

Für 0 <= x <= 16 ................. 25x
Für 16 < x ............................ auch 25x, weil Prozess III kein Schadstoff produziert?

Und die kostenminimalen Faktoreinsätze?

Für 0 <= x <= 16 ................. 5x
Für 16 < x ............................ ?
 
#74
Und für Aufgabe 5e) wäre dann die Gesamtkostenfunktion:

0 <= x <= 32.................. K(x) = 30x + 450
32 < x............................. K(x) = 48x - 126

Ich habe Prozess II und I kombiniert und K(x) = 48x - 576 erhalten (ohne Kosten für das Verschmutzungszertifikat). Bei der Prozesskombination von II und III habe ich diese Kostenfunktion erhalten: K(x) = 54x - 768. Dann habe ich die beiden Kostenfunktionen gleichgesetzt. Ergebnis war, dass für x >= 32 die Kostenfunktion von der Kombi II/I - also K(x) = 48x - 576 - günstiger ist. Im Anschluss habe ich bei dieser Kostenfunktion die Kosten für das Verschmutzungszertifikat drauf gerechnet, also K(x) = 48x - 576 + 450 und somit K(x) = 48x - 126 erhalten.

Hast Du das auch so?
 
#75
Aber wie gesagt, rein logisch gesehen, ohne jegliche Rechnungen, leuchtet mir das noch nicht ein, warum bei Teilaufgabe 5c) die Prozesskombination (günstigster und teuerster Prozess) günstiger ist als die Prozesskombination (günstigster und zweitgünstigster Prozess).
 
#76
Ja, das habe ich auch so und im pdf ist es auch so!

K(x)
= 3 * (1/3x^1/2 - 5/3)² + 100
= 3 * (1/3 * (x^1/2 - 5))^2 + 100
= 3 * (1/3)^2 * (x^1/2 - 5)^2 + 100
= 3 * 1/9 * (x^1/2 - 5)^2 + 100
= 1/3 * (x^1/2 - 5)^2 + 100



Liebe Grüße
Chrissi
Hier zu hab ich auch noch mal eine Frage. Ich der Aufgabenstellung steht geschrieben, dass der Faktor r2 auf 25 Einheiten limitiert ist, d. h. es können auch weniger als 25 Einheiten benutzt werden. Bei der Berechnung von Bert ist es so, dass der Faktor r2 als fix angenommen wird, was sich ja auch in der Kostenfunktion widerspiegelt: q2 * r2 = 4 * 25 = 100.

Und hier noch mal Deine Worte aus einem anderen Beitrag:

"Richtig! Wenn der Faktor fixiert ist, dann ist die Kostenfunktion NICHT abschnittsweise definiert. Wenn der Faktor begrenzt ist, r <= rmax, dann besteht die Kostenfunktion aus zweiTeilen. Für solche Outputmengen x, für die der Faktoreinsatz im Optimum r <= rmax ist, wird im Optimum produziert (Kostenminimierung). Für größere Outputmengen ist r = rmax fix und der zweite Faktor substituiert den ersten Faktor in dem Maße wie es erforderlich ist. Das ist dann nicht mehr optimal.
Liebe Grüße
Chrissi"


Und in diesem Fall ist der Faktor doch begrenzt (also limitiert) und somit müsste die Kostenfunktion aus zwei Teilen bestehen oder sehe ich das falsch?

Ich hätte da:

K(x) = 4/13x ...........................................für 0 <= x <= 4225
K(x) = 1/3 * (x^1/2 - 5)^2 + 100.............für 4225 <x

Bei x = 4225 betragen die Kosten beider Kostenfunktionen K(x) = 1300.

LG Mary
 
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#78
Hallo Mary,
Hier ist mal meine Rechnung für die Kostenfunktion der Prozesskombination I/II im Bereich 16 <= x <= 25:
x = 16 ...... KII(16) = 480
x = 25 ...... KII(16) + KI(9) = 912
Du nimmst an, x = 25 wird mit einer Kombination von I und II so produziert, dass 16 ME von Prozess I kommen und 9 ME von Prozess II. Das ist aber falsch! Diese Kombination ist unter Berücksichtigung der Schadstoffgrenze S = 400 ME NICHT realisierbar. Wenn Prozess I x = 9 produziert, dann erzeugt er 2 * r = 2 * 8 * x = 2 * 8 * 9 = 144 ME CO2. Und wenn Prozess II x = 16 ME erzeugt, dann erzeugt er 5 * r = 5 * 5 * x = 5 * 5 * 16 = 400 ME CO2 (wie bereits vorher berechnet ist x = 16 die Höchstmenge von Prozess II). Insgesamt erzeugt diese Kombination also 144 + 400 = 544 ME CO2 Schadstoff, was nicht zulässig ist. Du "verpulverst" den erlaubten CO2 Ausstoß bereits, in dem Du Prozess II seine Höchstmenge x = 16 produzieren lässt.

Im Gegensatz dazu ist diese "Produktionsart" bei Kombination von II/III möglich, also x = 25 = xI + xIII = 16 + 9, weil Prozess III KEINEN Schadstoffausstoß hat und die max. erlaubte Schadstoffmenge S = 400 ausschließlich durch Prozess I ausgestoßen wird (durch die von Prozess II produzierbare Höchstmenge x = 16.)

(.....wobei ich mich hier an dieser Stelle frage, warum die Kostenfunktion anders aussieht, als wenn man die Kostenfunktion so berechnet:
m = (48 * 25) - (30 * 16) / (25 - 16) = 80
b = KII(16) - 80 * 16 = -800
K = mx + b = 80x - 800
Das liegt daran, dass Deine Art Prozess I und II zu kombinieren, nicht der optimalen Art entspricht. Deine Kombination x = xI + xII = 9 + 16 ist nicht realisierbar (daher nicht optimal), weil sie die max. erlaubte Schadstoffgrenze S = 400 ME überschreitet.

Nun frage ich mich natürlich, wie für eine Ausbringungsmenge von x > 16 die Prozesskombination II/III günstiger sein kann also die Prozesskombination I/II.
Die Antwort sollte jetzt klar sein: Das liegt daran, dass Prozess III KEINE Schadstoffe produziert und deshalb der kostengünstigste Prozess II seine Höchstmenge x = 16 zur Kombination II/III "beisteuern" kann. Das geht bei einer Kombination I/II NICHT, weil auch Prozess I Schadstoffe produziert. Damit Prozess I eine gewisse Produktionsmenge xI beisteuern kann (und dabei Schadstoffe uI = 16 * xI produziert) , muss Prozess II auf einen Teil verzichten (xII < 16), damit die gesamte Schadstoffmenge S = 400 ME nicht überschritten wird (16 * xI + 25 * xII = 400). Wegen der Schadstoffgrenze, wird also ein Teil der Produktionsmenge vom billigeren (II) zum teureren (I) Prozess verschoben. Bei der Kombination II/III ist das nicht nötig, weil Prozess III keine Schadstoffe erzeugt.

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#79
Ich hätte da:

K(x) = 4/13x ...........................................für 0 <= x <= 4225
K(x) = 1/3 * (x^1/2 - 5)^2 + 100.............für 4225 <x
So habe ich es auch, siehe meinen Beitrag #33

Die Kostenfunktion sieht also so aus:
Für 0 < x <= 4225: K(x) = Kopt(x) = 52/13^2 * x = 4/13 * x
Für x > 4225: K(x) = Kfix(x) = 1/3 * (x^1/2 - 5)^2 + 100
Liebe Grüße
Chrissi
 
#80
Aber wie gesagt, rein logisch gesehen, ohne jegliche Rechnungen, leuchtet mir das noch nicht ein, warum bei Teilaufgabe 5c) die Prozesskombination (günstigster und teuerster Prozess) günstiger ist als die Prozesskombination (günstigster und zweitgünstigster Prozess).
Prozess III ist zwar teurer als Prozess I aber hat einen Vorteil: er produziert KEINE Schadstoffe.


Bei der Kombination I/II bringt Prozess II seine Eigenschaft der günstigste Prozess zu sein nicht zu 100% "auf die Straße", weil Prozess II immer nur einen Teil seiner schadstoffbedingten Höchstmenge produzieren kann (Das "Schadstoffbudget" von Prozess II ist kleiner als die Höchstmenge S = 400 Schadstoff, weil Prozess I auch Schadstoffe erzeugt. Prozess II muss sich also die erlaubte Schadstoffmenge mit Prozess I teilen).

Bei der Kombination II/III beträgt das "Schadstoffbudget" von Prozess II immer die Höchstmenge S = 400 ME Schadstoff, weil Prozess III KEINEN Schadstoff erzeugt.

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#82
Hallo Mary,

Du nimmst an, x = 25 wird mit einer Kombination von I und II so produziert, dass 16 ME von Prozess I kommen und 9 ME von Prozess II. Das ist aber falsch! Diese Kombination ist unter Berücksichtigung der Schadstoffgrenze S = 400 ME NICHT realisierbar. Wenn Prozess I x = 9 produziert, dann erzeugt er 2 * r = 2 * 8 * x = 2 * 8 * 9 = 144 ME CO2. Und wenn Prozess II x = 16 ME erzeugt, dann erzeugt er 5 * r = 5 * 5 * x = 5 * 5 * 16 = 400 ME CO2 (wie bereits vorher berechnet ist x = 16 die Höchstmenge von Prozess II). Insgesamt erzeugt diese Kombination also 144 + 400 = 544 ME CO2 Schadstoff, was nicht zulässig ist. Du "verpulverst" den erlaubten CO2 Ausstoß bereits, in dem Du Prozess II seine Höchstmenge x = 16 produzieren lässt.

Im Gegensatz dazu ist diese "Produktionsart" bei Kombination von II/III möglich, also x = 25 = xI + xIII = 16 + 9, weil Prozess III KEINEN Schadstoffausstoß hat und die max. erlaubte Schadstoffmenge S = 400 ausschließlich durch Prozess I ausgestoßen wird (durch die von Prozess II produzierbare Höchstmenge x = 16.)



Das liegt daran, dass Deine Art Prozess I und II zu kombinieren, nicht der optimalen Art entspricht. Deine Kombination x = xI + xII = 9 + 16 ist nicht realisierbar (daher nicht optimal), weil sie die max. erlaubte Schadstoffgrenze S = 400 ME überschreitet.



Die Antwort sollte jetzt klar sein: Das liegt daran, dass Prozess III KEINE Schadstoffe produziert und deshalb der kostengünstigste Prozess II seine Höchstmenge x = 16 zur Kombination II/III "beisteuern" kann. Das geht bei einer Kombination I/II NICHT, weil auch Prozess I Schadstoffe produziert. Damit Prozess I eine gewisse Produktionsmenge xI beisteuern kann (und dabei Schadstoffe uI = 16 * xI produziert) , muss Prozess II auf einen Teil verzichten (xII < 16), damit die gesamte Schadstoffmenge S = 400 ME nicht überschritten wird (16 * xI + 25 * xII = 400). Wegen der Schadstoffgrenze, wird also ein Teil der Produktionsmenge vom billigeren (II) zum teureren (I) Prozess verschoben. Bei der Kombination II/III ist das nicht nötig, weil Prozess III keine Schadstoffe erzeugt.

Liebe Grüße
Chrissi
Danke Chrissi. Die Schadstoffobergrenze habe ich nicht bedacht. Also ist nun alles wieder logisch für mich :).

LG Mary
 
#83
Danke Chrissi. Die Schadstoffobergrenze habe ich nicht bedacht. Also ist nun alles wieder logisch für mich :).
Beachte, die Schadstoffobergrenze (also die Produktionsmengenbeschränkungen der Prozesse I und II) ist hier der einzige Grund, warum Prozesskombinationen überhaupt betrachtet werden. Ohne Schadstoffgrenze wird jede Produktionsmenge mit Prozess II, dem kostengünstigsten, produziert.
Liebe Grüße
Chrissi
 
#84
Okay. Ich schaue mir die Aufgabe nachher noch mal in Ruhe. Bin grad beim wiederholten Durchrechnen aller Klausuren.

Ich habe noch mal eine andere Frage zur Klausur 03/2010 - Aufgabe 5c.

Die Rechnungen sind soweit klar und nachvollziehbar für mich, aber warum setzte ich die Gleichung für den Prozessstrahl mit der Schadstoffisoquante 1 und nicht mit der Schadstoffisoquante 2 gleich?

Meine Gedanken waren - eigentlich kann ich es auch gar nicht in Worte ausdrücken... aber ich versuchs mal.

Zunächst wird der Prozess I für eine Outputmenge von 0 <= x <= 125 genutzt. x = 125, weil die Schadstoffisoquante I den PPI in Bezug auf die Outmenge früher beschränkt, als die Schadstoffisoquante II. Nun habe ich den Bereich zwischen 125 und 200 Mengeneinheiten. Ich habe mir anhand der Darstellung im KOS gedacht, dass die Schadstoffisoquante I für die Berechnung der Kostenfunktion verwendet wird, weil man sich ausgehend vom Schnittpunkt der Schadstoffisoquante I mit dem Prozess I entlang der Schadstoffisoquante I zum Schnittpunkt Schadstoffisoquante I/II bewegt. Ich hoffe, ich habe mich nicht so unglücklich ausgedrückt. Ist dieser Gedankengang richtig?
 
#85
Beachte, die Schadstoffobergrenze (also die Produktionsmengenbeschränkungen der Prozesse I und II) ist hier der einzige Grund, warum Prozesskombinationen überhaupt betrachtet werden. Ohne Schadstoffgrenze wird jede Produktionsmenge mit Prozess II, dem kostengünstigsten, produziert.
Liebe Grüße
Chrissi
So, ich hab mir jetzt die Aufgabe noch mal in Ruhe angeguckt und möchte es gerne noch mal mit eigenen Worten wieder geben.

Auf Grund der Schadstoffsobergrenze können

- mit Prozess I maximal 25 Einheiten produziert werden
- mit Prozess II maximal 16 Einheiten produziert werden
- mit Prozess III unendliche viele Einheiten produziert werden, da kein Schadstoffausstoß

Die Kostenfunktionen lauten:

KI(x) = 48x
KII(x) = 30x
KIII(x) = 54x

Bereich 0 <= x <= 16

Hier wird der kostengünstigste PP gewählt --- > KII(x) = 30x

Bereich 16 < x <= 25

Da mit dem Prozess II bereits die Schadstoffsobergrenze (SO) erreicht wurde, kann der alleinige Einsatz des Prozesses II nicht mehr in Betracht kommen. Aus diesem Grund kann eine Outputmenge in diesem Bereich nur mit dem alleinigen Einsatz des Prozesses I oder mit der Prozesskombination II/III erreicht werden (bei Prozess III erfolgt kein Schadstoffausstoß).

Die Kostenfunktion für Prozess I lautet K(x) = 48x. Die Kostenfunktion für die Prozesskombination II/III lautet K(x) = 54x - 384. Setzt man diese Kostenfunktionen gleich, so kommt man zu dem Ergebnis, dass die Kostenfunktion K(x) = 48x von Prozess I ab einen Output von x > 64 kostengünstiger ist als die Kostenfunktion der Prozesskombination II/III. Bei einem Output von x < 64 ist die Kostenfunktion der Prozesskombination günstiger. Daraus folgt, dass die Prozesskombination II/III für den Bereich 16 <= x <= 25 die kostengünstigste Kostenfunktion besitzt.

Bereich 25 < x

Ein Output von 25 < x kann mit der Prozesskombination II/III oder I/III erzielt werden, d. h. es werden entweder

a) 16 Einheiten mit Prozess II und mind. 10 Einheiten mit Prozess III oder
b) 25 Einheiten mit Prozess I und mind. 1 Einheit mit Prozess III produziert.

Die Schadstoffsobergrenze von S = 400 wird in beiden Fällen eingehalten.

Zu den Kostenfunktionen:

a) Prozesskombination II/III: K(x) = 54x - 384
b) Prozesskombination I/III: K(x) = 54x - 150

Zu erkennen ist, dass auch hier die Prozesskombination II/III die kostengünstigere ist.

Fazit ist, dass ab einem Output von x > 16 Einheiten mit der Prozesskombination II/III produziert wird, da diese Prozesskombination für die letzten beiden Bereiche 16 < x <= 25 und 25 < x die kostengünstigere ist.

Das wars :).

LG Mary
 
#86
Meine Gedanken waren - eigentlich kann ich es auch gar nicht in Worte ausdrücken... aber ich versuchs mal.

Zunächst wird der Prozess I für eine Outputmenge von 0 <= x <= 125 genutzt. x = 125, weil die Schadstoffisoquante I den PPI in Bezug auf die Outmenge früher beschränkt, als die Schadstoffisoquante II. Nun habe ich den Bereich zwischen 125 und 200 Mengeneinheiten. Ich habe mir anhand der Darstellung im KOS gedacht, dass die Schadstoffisoquante I für die Berechnung der Kostenfunktion verwendet wird, weil man sich ausgehend vom Schnittpunkt der Schadstoffisoquante I mit dem Prozess I entlang der Schadstoffisoquante I zum Schnittpunkt Schadstoffisoquante I/II bewegt. Ich hoffe, ich habe mich nicht so unglücklich ausgedrückt. Ist dieser Gedankengang richtig?
Das ist richtig.

Berts Lösung im pdf ist zwar richtig, aber ich halte sie für unnötig kompliziert. Bert berechnet allgemein r1(x) und r2(x) um für 125 < x <= 200 die Kostenfunktion zu berechnen. Aber weil die Kostenfunktion eine Gerade ist, reichen wie immer zwei Punkte um die Funktion zu berechnen. Der eine Punkt ist bei x = 125: K(125) = KI(125) = 50 * 125 = 6250. Der zweite Punkt ist der Schnittpunkt der beiden Schadstoffisoquanten: Da wird x = 200 produziert mit r1 = 1300 und r2 = 600, also K(200) = q1 * r1 + q2 * r2 = 7 * 1300 + 4 * 600 = 11500.

Ich rechne 03/2010 Aufgabe 5 c) deshalb so:

Die Gesamtkostenfunktion ist wie immer eine Gerade K(x) = a * x + b

Wir brauchen zwei Punkte der Geraden um die Funktion zu ermitteln:

Prozess I ist der kostengünstigste Prozess und mit dem wird alleine produziert, bis die Schadstoffgrenze S1 = 2500 ME erreicht ist.

Höchstmenge von Prozess I :
S1 = 2500 = r1 + 2 * r2 = r1 + 2 * 4,5 * r1 = 10 * r1
--> r1max = 2500 / 10 = 250
--> xImax = r1max/2 = 250/2 = 125

Für 0 < x < 125 wird also nur mit Prozess I produziert.

Es ist also K(125) = KI(125) = 50 * 125 = 6.250

Nun der zweite Punkte der Kostengerade: Wie groß ist die produzierbare Höchstmenge?

Schnittpunkt von S1 und S2:

1250 - 0,5 * r1 = 2875 - 1,75 * r1
r1 = (2875 - 1250) / 1,25 = 1300
r2 = 1250 - 0,5 * 1300 = 600

Die produzierbare Höchstmenge wird also so produziert, dass r1 = 1300 ME und r2 = 600 ME eingesetzt werden.

Wie sieht die Prozesskombination I/II aus, die r1 = 1300 und r2 = 600 einsetzt und welche Outputmenge produziert sie:

r1 = 1300 = r1I + r1II = 2 * xI + 8 * xII
r2 = 600 = r2I + r2II = 9 * xI + xII

1300 = 2 * xI + 8 * xII
xI = (1300 - 8 * xII) / 2 = 650 - 4 * xII

600 = 9 * xI + xII = 9 * (650 - 4 * xII) + xII = 5.850 - 35 * xII

xII = (5850 - 600) / 35 = 150
xI = 650 - 4 * xII = 650 - 4 * 150 = 50

Produktionsmenge x = xI + xII = 150 + 50 = 200

Mit r1 = 1300 und r2 = 600 werden also durch eine Kombination von I und II insgesamt x = 200 ME produziert.

Die Kosten für x = 200 sind somit: K(200) = q1 * r1 + q2 * r2 = 7 * 1300 + 4 * 600 = 11500 GE

Wir kennen jetzt zwei Punkte der Kostengeraden K(x) = a* x + b und können die Gerade damit berechnen:

K(125) = 6250 = a * 125 + b
K(200) = 11500 = a * 200 + b

b = 6250 - 125 * a
11500 = a * 200 + 6250 - 125 * a = 75 * a + 6250

a = (11500 - 6250) / 75 = 70
b = 6250 - 125 * 70 = -2500

Der Abschnitt der Kostenfunktion für 125 < x < 300 ist also K(x) = 70 * x - 2500

Die Gesamtkostenfunktion sieht also so aus:
K(x) = 50 * x ………………..für 0 < x <= 125
…….= 70 * x - 2500 ……. für 125 < x < 200

Liebe Grüße
Chrissi
 
#87
Nun hab ich aber doch noch mal eine Frage.... Ich nehme als Beispiel mal die Klausur 09/2011 - Aufgabe 5.

Bei Teilaufgabe 5b) ist auch eine Schadstoffsobergrenze vorgegeben - es dürfen max. 12 Einheiten CO2 in der Produktion entstehen. Mit Produktionsprozess I können auf Grund der Beschränkung max. 8 Einheiten produziert werden. Mit Produktionsprozess II maximal 24 Einheiten. Warum ist hier eine Kombination der Prozesse I und II möglich? Denn wenn ich mir den Bereich 8 < x <= 24 anschaue, dann kann ich doch (wenn ich z. B. einen Output von 12 herstellen möchte) 8 Einheiten mit PPI herstellen und 2 Einheiten mit PPII. Wenn ich dies aber so umsetzen würde, dann würden doch schon mehr als 12 Einheiten CO2 produziert werden. Sicherlich habe ich hier wieder einen Gedankenfehler....
 
#88
. Warum ist hier eine Kombination der Prozesse I und II möglich? Denn wenn ich mir den Bereich 8 < x <= 24 anschaue, dann kann ich doch (wenn ich z. B. einen Output von 12 herstellen möchte) 8 Einheiten mit PPI herstellen und 2 Einheiten mit PPII. Wenn ich dies aber so umsetzen würde, dann würden doch schon mehr als 12 Einheiten CO2 produziert werden. .
Deshalb wird so nicht produziert. Prozesskombination mit zwei schadstoffausstoßenden Prozessen bedeutet, dass sich beide Prozesse das "Schadstoffbudget" teilen und das bedeutet, dass KEIN Prozess seine schadstoffbedingte Höchstmenge beisteuern wird. Der kostengünstigere Prozess wird immer gerade soviel zum Output beisteuern, dass der teurere Prozess die Restmenge beisteuern kann ohne dass beide Prozesse zusammen mehr Schadstoff ausstoßen als erlaubt (sondern genau die maximal erlaubte Schadstoffmenge). Anders formuliert: Der kostengünstigere Prozess wird immer gerade soviel zum Output beisteuern, dass der teurere Prozess zum einen den Rest der Outputmenge und zum anderen den Rest der erlaubten Schadstoffmenge beisteuert.
Liebe Grüße
Chrissi
 
Zuletzt bearbeitet:
#89
Deshalb wird so nicht produziert. Prozesskombination mit zwei schadstoffausstoßenden Prozessen bedeutet, dass sich beide Prozesse das "Schadstoffbudget" teilen und das bedeutet, dass KEIN Prozess seine schadstoffbedingte Höchstmenge beisteuern wird. Der kostengünstigere Prozess wird immer gerade soviel zum Output beisteuern, dass der teurere Prozess die Restmenge beisteuern kann ohne dass beide Prozesse zusammen mehr Schadstoff ausstoßen als erlaubt (sondern genau die maximal erlaubte Schadstoffmenge). Anders formuliert: Der kostengünstigere Prozess wird immer gerade soviel zum Output beisteuern, dass der teurere Prozess zum einen den Rest der Outputmenge und zum anderen den Rest der erlaubten Schadstoffmenge beisteuert.
Liebe Grüße
Chrissi
Okay, wenn das so ist, dann macht es Sinn. Danke Chrissi.
 
#90
Okay, wenn das so ist, dann macht es Sinn. Danke Chrissi.
Es ist andersherum: Es macht Sinn und deshalb wird es so gemacht. Diese Art der Aufteilung zwischen den Prozessen

Der kostengünstigere Prozess wird immer gerade soviel zum Output beisteuern, dass der teurere Prozess zum einen den Rest der Outputmenge und zum anderen den Rest der erlaubten Schadstoffmenge beisteuert.
ist logisch und einsehbar die kostengünstigste.

Übrigens sind die Schadstoffrestriktionen nur ein Spezialfall des allgemeineren Falls, bei dem Faktoreinsatzmengen (aus welchen Grund auch immer) beschränkt sind.

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#91
:)...

Wieso funktioniert diese Vorgehensweise dann nicht bei dem vorherigen Beispiel - siehe Beitrag 85? Auch hier könnten sich Prozess I und II das Schadstoffbudget teilen, aber es funktioniert nicht. Ich habe es mit verschiedenen x-Werten durchgerechnet und bei einer Kombi II/I im Bereich 16 < x <= 25 wird stets die Schadstoffausstoßrestriktion überschritten.
 
#92
Ne, ne, das geht schon haargenau:


Beispiel: x = 20

Gesucht: Prozesskombination I/II, die x = 20 ME produziert und S = 400 ME Schadstoff ausstößt:

S = 400 = 2 * rI + 5 * rII = 2 * 8 * xI + 5 * 5 * x II = 16 * xI + 25 * xII
Umstellen: xI = (400 - 25 * xII) / 16 = 25 - 25/16 * xII

x = 20 = xI + xII = 25 - 25/16 * xI + xII = 25 - 9/16 * xII
Umstellen: xII = (25 - 20) * 16/9 = 80/9

xI = x - xII = 20 - 80/9 = 100/9

Zur Produktion von x = 20 ME steuert Prozess I 100/9 ME und Prozess II 80/9 ME bei.

Das ergibt folgende Faktorverbräuche:

rI = 8 * xI = 8 * 100/9 = 800/9
rII = 5 * xII = 5 * 80/9 = 400/9

Der Schadstoffausstoß ist (wie erwartet/gewünscht) :

S = 2 * rI + 5 * rII = 2 * 800/9 + 5 * 400/9 = 400 ME

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#93
Mmmh.... also mein Fragezeichen in meinem Kopf möchte nicht weg.

Ich weiß, dass wir dieses Thema schon hatten. Aber dennoch geht es nicht in meinen Kopf, warum der kostengünstigste Prozess kombiniert mit dem zweitgünstigsten Prozess nicht günstiger ist als der kostengünstigste Prozess kombiniert mit dem teuersten.

Hier noch mal Deine Erklärung:

"Liegt daran, dass Prozess III KEINE Schadstoffe produziert und deshalb der kostengünstigste Prozess II seine Höchstmenge x = 16 zur Kombination II/III "beisteuern" kann. Das geht bei einer Kombination I/II NICHT, weil auch Prozess I Schadstoffe produziert. Damit Prozess I eine gewisse Produktionsmenge xI beisteuern kann (und dabei Schadstoffe uI = 16 * xI produziert) , muss Prozess II auf einen Teil verzichten (xII < 16), damit die gesamte Schadstoffmenge S = 400 ME nicht überschritten wird (16 * xI + 25 * xII = 400). Wegen der Schadstoffgrenze, wird also ein Teil der Produktionsmenge vom billigeren (II) zum teureren (I) Prozess verschoben. Bei der Kombination II/III ist das nicht nötig, weil Prozess III keine Schadstoffe erzeugt.

Liebe Grüße
Chrissi"


Es mag ja sein, dass Prozess III keine Schadstoffe produziert, aber Fakt ist doch, dass die Kostenfunktionen für KI(x) = 48x und KII(x) = 30x im Vergleich zur KIII(x) = 54x kostengünstiger sind. Ich verstehe nicht, warum die Nicht-Produktion von Schadstoffen bei Prozess III dazu führt, dass eine Kombi II/III günstiger ist als eine Kombi II/I. Die Kostenfunktionen an sich ändern sich doch nicht. Es bleibt doch dabei, dass wir K(x) = 30x, K(x) = 48x und K(x) = 54x haben. Verstehst Du, wie ich das meine?
 
#94
Oder anders ausgedrückt... Die Kostenfunktionen für den Bereich 16< x <= 25 lauten:

- Kombi II/I lautet K(x) = 80x - 800
- Kombi II/III lautet K(x) - 54x - 384

Wenn man jetzt mal die Schadstoffobergrenze weg lässt, dann ist die Kostenfunktion für die Kombi II/III auch günstiger als für die Kombi II/I, obwohl die Kombi II/I die günstigsten Kostenfunktionen beinhaltet. Und das ist der Punkt, den ich nicht verstehe.
 
#95
Wenn man jetzt mal die Schadstoffobergrenze weg lässt, dann ist die Kostenfunktion für die Kombi II/III auch günstiger als für die Kombi II/I.
Die Kostenfunktion, die wir berechnen gibt immer die Kosten der Minimalkostenkombination an. Wenn es keine Schadstoffobergrenzen gibt, dann sieht die Minimalkostenkombination anders aus. Ohne Schadstoffobergrenze wird jede Outputmenge ausschließlich mit dem kostengünstigsten Prozess II produziert. Alles andere, jede Kombination ist teurer, weil bei einer Kombination darauf verzichtet wird, dass der kostengünstigste Prozess II "vollen Einsatz" bringt und stattdessen ein anderer Prozess zu mehr Kosten den Teil produziert, den Prozess II billiger produzieren könnte.

Warum ist nun die Kombi II/III günstiger die Kombi II/I?

Bei der Kombi II/III kann Prozess II seine maximale Menge beisteuern, weil Prozess III KEINE Schadstoffe produziert. Bei der Kombi II/I bleibt der Prozess II IMMER unter der maximal herstellbaren Menge, weil ansonsten der Rest der Outputmenge, den Prozess I beisteuern muss, nicht von Prozess I beigesteuert werden kann (weil Prozess I keine Schadstoffe mehr produzieren dürfte, denn Prozess II hätte schon die max. Schadstoffmenge erzeugt).

Kombi II/III hat also einen Kostenvorteil gegenüber Kombi II/I, weil II/III mehr Outputmenge billiger mit Prozess II produzieren kann als bei II/I. Dieser Kostenvorteil wird in unserem Beispiel auch nicht durch den Kostennachteil von II/III aufgehoben, dass Prozess III teurer ist als Prozess I. Wenn sich allerdings Prozess III stetig weiter verteuerte, dann würde irgendwann bei Kombi II/III der Kostennachteil den Kostenvorteil wett machen und Kombi I/II wäre dann billiger.

Liebe Grüße
Chrissi
 
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#96
Es mag ja sein, dass Prozess III keine Schadstoffe produziert, aber Fakt ist doch, dass die Kostenfunktionen für KI(x) = 48x und KII(x) = 30x im Vergleich zur KIII(x) = 54x kostengünstiger sind.
Ja, aber nur wenn beide Prozesse dieselbe Menge produzieren. Das ist hier aber nicht der Fall: Prozess II produziert in II/III weniger als Prozess I in II/I. Weil Prozess II in II/III mehr produziert als in II/I.


Fakt ist also, dass bei II/III MEHR Mengeneinheiten vom billigen Prozess II produziert werden kann als bei II/I. Das bedeutet: II/III hat nicht nur einen Kostennachteil gegenüber II/I weil Prozess III teurer ist als Prozess I, sondern auch einen Kostenvorteil, weil Prozess I MEHR Outputmenge beisteuern kann als bei II/I.

BEISPIEL (Fortsetzung aus Beitrag #92):

Ich führe das Beispiel in Beitrag #92 weiter: In #92 habe ich berechnet, dass bei Outputmenge x = 20 ME der Prozess I xI = 100/9 ME und Prozess II xII = 80/9 ME, das ist kleiner seiner Höchstmenge xIImax = 16 ME, beisteuert.

Prozess II steuert bei Kombi II/I mit xII = 80/9 ME weniger bei als er könnte, nämlich xIImax = 16. Der Grund ist klar. Wenn Prozess II xII = 16 produziert, dann ist die Schadstoffobergrenze schon erreicht, aber es fehlen x - xII = 20 - 16 = 4 ME Outputmenge. Diese 4 ME kann Prozess I nicht mehr beisteuern, weil Prozess I Schadstoffe produziert, aber Prozess II bei der Produktion von xII = 16 ME bereits die max. erlaubte Schadstoffmenge erzeugt.

Jetzt betrachten wir die Kombi II/III. Hier ist es super einfach. Prozess III produziert KEINE Schadstoffe, kann also so viel produzieren wie noch erforderlich. Prozess I braucht hier keine Rücksicht auf Prozess III wegen des Schadstoffausstoßes nehmen. Prozess II produziert seine schadstoffbedingte Höchstmenge xII = 16 ME. Prozess III produziert dann den Rest xIII = 20 - 16 = 4 ME.

Du erkennst: Bei II/III kann II mehr Menge (16 ME) produzieren als bei II/I (80/9 ME). Das ist der Kostenvorteil von II/III gegenüber II/I. Ob dieser Kostenvorteil wieder dadurch zunichte gemacht wird, dass Prozess III teurer ist als Prozess I zeigt der Kostenvergleich. Immerhin produziert III in II/III weniger Menge als I in II/I. III ist zwar teurer als I, aber III produziert weniger als I.

Jetzt der Kostenvergleich:

Kombi II/I:
rI = 8 * xI = 8 * 100/9 = 800/9
rII = 5 * xII = 5 * 80/9 = 400/9
KII/I(20) = 6 * (800/9 + 400/9) = 800 GE

Kombi II/III:
rII = 5 * xI = 5 * 16 = 80
rIII = 9 * xII = 9 * 4 = 36
KII/III(20) = 6 * (80 + 36) = 696 GE

Also KII/III (696 GE) produziert x = 20 ME mit weniger Kosten als KII/I (800 GE)

Die Kosten ergeben sich übrigens (wie erwartet) mit den ermittelten Kostenfunktionen:
Oder anders ausgedrückt... Die Kostenfunktionen für den Bereich 16< x <= 25 lauten:
- Kombi II/I lautet K(x) = 80x - 800
- Kombi II/III lautet K(x) - 54x - 384
Liebe Grüße
Chrissi
 
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#99
Ich hab mir nun extra für die eine Klausur den Casio geholt. War schon ne Umstellung für mich, weil ich seit 16 Jahren mit meinem Schultaschenrechner (natürlich auch ein Casio ;)) gerechnet habe, den ich aber nach der Klausur auch wieder benutzen werde. Den "Neuen" werd ich dann hier zum Verkauf rein stellen. Und selbst?
 
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