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Orthonormal/Orthogonalbasis

Ich hoffe einer kann mir hier helfen. Ich hab ein riesen Mathedefiziert (weil seit Jahren nicht gebracuht). Nun sitze ich an den alten Klausuren und habe folgende Aufgabe vor mir:

Gegeben seien die Vektoren: a = (1/2, 0, 0), b = (0, -1/2, 0), c = (0, 0, 1/2)
Markieren Sie richtige Aussagen:

A) Die Vektoren a,b,c bilden eine Basis des R³.
B) Die Vektoren a,b,c bilden eine Orthogonalbasis des R³.
C) Die Vektoren a,b,c bilden eine Orthonormalbasis des R³.
D) Die Vektoren a,b,c sind linear abhängig in R³.
E) Die Vektoren a,b,c sind linear unabhängig in R³.

Also wenn ich die Vektoren in einer Matrix aufstelle und nach der Regel von Sarrus durchrechne kann ich zumindest sagen das sie linear unabhängig sind. Also ist E schonmal richtig für mich .... Laut Musterlösung stimmen A, B, E

Jetzt hab ich 2 Probleme und ich hoffe hier könnt ihr helfen:
1) Ich verstehe einfach "Basis" von der Definition her nicht? Was genau ist eine Basis in diesem Zusammenhang also wie definiert man sie.
2) Wie ermittelt man ob es sich um eine Orthogonal oder Orthonormalbasis handelt?

Ich danke euch schonmal, ist echt nicht so easy wenn man da so viele Jahre raus ist.

Gruß
 
1) Eine Basis eines Vektorraums ist per Definition ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, d.h. erstens ein paar Vektoren [tex]v_1, \ldots, v_r[/tex], die alle linear unabhängig sind, und zweitens mit der Eigenschaft, dass jeder Vektor [tex]v[/tex] eine Linearkombination dieser Vektoren ist, d.h. es gibt irgendwelche Koeffizienten [tex]a_1, \ldots, a_r[/tex], so dass [tex]v = \sum_{i=1}^r a_i v_i[/tex].

Für endlich-dimensionale Vektorräume folgt daraus:
- n Vektoren bilden genau dann eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraumes, wenn sie linear unabhängig sind.

Für den Spezialfall des [tex]\mathbb{R}^3[/tex], mit dem ihr euch anscheinend hauptsächlich beschäftigt, heißt das:
- Jede Basis besteht aus 3 linear unabhängigen Vektoren. Zu wenige, zu viele, oder nicht linear unabhängig => keine Basis.

Soweit klar?

Ab jetzt alles im [tex]\mathbb{R}^3[/tex].

Mit der "Sarrus"-Regel berechnest du die Determinante einer 3x3-Matrix, mit Basen hat das erstmal nichts zu tun. Es gilt aber:
Die Determinante einer quadratischen Matrix ist genau dann 0, wenn die Spalten (oder, äquivalent, die Zeilen) der Matrix linear abhängig sind. Man kann also die Determinante als Test für lineare Unabhängigkeit benutztn.

Man kann hier aber auch direkt sehen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, da das einfach nur Vielfache der Standardbasisvektoren (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) (-> Einheitsmatrix) sind, ohne groß rumzurechnen.

Ergebnis soweit: A ist richtig (3 Vektoren, linear unabhängig => Basis), D ist falsch, E ist richtig.

2) (Auch wieder im [tex]\mathbb{R}^3[/tex]) Orthogonal: Zwei Vektoren a, b heißen orthogonal, wenn das Skalarprodukt [tex]a^T b = 0[/tex] ist. Geometrisch bedeutet das, dass sie senkrecht aufeinander stehen. Beispiele (mal nur 2-dimensional): (-1 2) und (4 2) sind orthogonal: -1*4 + 2*2 = 0; außerdem ist jeder Vektor zum Nullvektor orthogonal.

Eine Orthogonalbasis ist eine Basis, in der je zwei Vektoren orthogonal zueinander sind. Eine Orthonormalbasis ist eine Orthogonalbasis, in der die Vektoren zusätzlich normiert sind, d.h. eine Norm (Länge) von 1 haben. Beispielsweise ist die Standardbasis (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) eine Orthonormalbasis.

Unsere Vektoren haben alle die Norm 1/2, sind also nicht normiert, damit ist C falsch.

Bleibt nur noch die Orthogonalität zu prüfen. Da die Vektoren wie gesagt nur Vielfache der Standardbasisvektoren (welche eine Orthonormalbasis bilden) sind, sind sie auch paarweise orthogonal zueinander. Ansonsten müsste man in den sauren Apfel beißen und die Skalarprodukte ausrechnen.

=> B ist richtig.

Für den Test auf eine Orthonormalbasis gibt es noch eine Abkürzung, über orthogonale Matrizen (die müssten eigentlich orthonormale Matrizen heißen, seis drum).

Eine orthogonale Matrix ist eine Matrix A mit der Eigenschaft, dass ihre Transponierte gerade ihre Inverse ist, d.h. [tex]A^T = A^{-1}[/tex], bzw. [tex]A A^T = I[/tex]. Und es gilt: 3 Vektoren bilden genau dann eine Orthonormalbasis, wenn die Matrix, die man erhält, wenn man die Vektoren als Spalten verwendet, eine orthogonale Matrix ist.

Also im Zweifel diese Matrix bilden, mit ihrer Transponierten multiplizieren und schauen, ob die Einheitsmatrix rauskommt.
 
Hey erstmal Danke vorallem für die Ausführlichkeit.

Also ich glaube dass ich es nun verstanden habe. Das mit der Basis definitiv und die Sarrus-Regel war mir auch bekannt nur der Zusammenhang zwischen linearer Unabhängigkeit und Basis fehlte mir.

Orthogonal/normal habe ich (glaube ich zumindest) verstanden, aber dazu werd ich noch alte Klausuren und Übungsaufgaben suchen um sicher zu gehen.

Auf jeden Fall nochmal vielen Dank, wie gesagt bin KOMPLETT raus aus Mathe und ich muss das irgendwie hinbekommen
 

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