Preiselastizät und Gewinnmaximierung

#1
Hallo,

hier eine kleine Übung für zwischendurch:

Ein Unternehmen verkauf 100 ME eines Produktes zum Stückpreis von 2 €.
Die variablen Kosten in der Produktion betragen 1 €.

Ist eine Preisänderung auf 1,50 € unter der Zielsetzung der Gewinnmaximierung sinnvoll, wenn die Preiselastizität -2 oder in einem anderen Fall -10 beträgt?

Bin schon sehr gespannt auf Eure Anregungen.

Vielen Grüsse
 
#3
Nachfragefunktion X(P) = a - b * P

1. Fall: In (X = 100, P = 2) ist die Preiselastizität e = -2

Dann ist die Nachfragefunktion (a, b) festgelegt durch

(1) e = -2 = (dX/dP) * (P/X) also -2 = (dX/dP) * 2/100 also b = dX/dP = -100

(2) X(P) = a - b * P also 100 = a - 100 * 2 also a = 300

Die Nachfragefunktion lautet daher: X(P) = 300 - 100 * P

Für den Gewinn G als Funktion von P gilt:

G(P)
= X(P) * P - Kv(P) - Kfix
= X(P) * P - 1 * X(P) - Kfix ...// Kv(X) = X da var. Stückkosten = 1
= X(P) * (P - 1) - Kfix
= (300 - 100 * P) * (P - 1) - Kfix
= 300 * P - 300 - 100 * P^2 + 100 * P - Kfix
= -100 * P^2 + 400 * P - 300 - Kfix

Nun gilt:

G(2) = -100 * 2^2 + 400 * 2 - 300 - Kfix = 100 - Kfix

G(1,5) = -100 * 1,5^2 + 400 * 1,5 - 300 - Kfix = 75 - Kfix

Also: G(1,5) < G(2), d.h. eine Preisänderung von 2 nach 1,5 führt zu einem Gewinnrückgang

Beachte das Gewinnmaximum:

dG/dP = -200 * P + 400 = 0 falls P = 2 (d2G/dP2 = -200 < 0, d.h. Maximum)

Bei P = 2 ist also das Gewinnmaximum, d.h. jede Preisänderung führt zu einem Gewinnrückgang!

2. Fall: In (X = 100, P = 2) ist die Preiselastizität e = -10

Dann ist die Nachfragefunktion (a, b) festgelegt durch

(1) e = -10 = (dX/dP) * (P/X) also -10 = (dX/dP) * 2/100 also b = dX/dP = -500

(2) X(P) = a - b * P also 100 = a - 500 * 2 also a = 1100

Die Nachfragefunktion lautet daher: X(P) = 1100 - 500 * P

Für den Gewinn G als Funktion von P gilt:

G(P)
= X(P) * P - Kv(P) - Kfix
= X(P) * P - 1 * X(P) - Kfix ...// Kv(X) = X da var. Stückkosten = 1
= X(P) * (P - 1) - Kfix
= (1100 - 500 * P) * (P - 1) - Kfix
= 1100 * P - 1100 - 500 * P^2 + 500 * P - Kfix
= -500 * P^2 + 1600 * P - 1100 - Kfix

Nun gilt:

G(2) = -500 * 2^2 + 1600 * 2 - 1100 - Kfix = 100 - Kfix

G(1,5) = -500 * 1,5^2 + 1600 * 1,5 - 1100 - Kfix = 175 - Kfix

Also: G(1,5) > G(2), d.h. eine Preisänderung von 2 nach 1,5 führt zu einem Gewinnanstieg

Beachte das Gewinnmaximum:

dG/dP = -1000 * P + 1600 = 0 falls P = 1,6

G(1,6) = -500 * 1,6^2 + 1600 * 1,5 - 1100 - Kfix = 180 - Kfix

Das Gewinnmaximum liegt bei P = 1,6

Liebe Grüße
Chrissi
 
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