Preiselastizität der Nachfrage

Preiselastizität der Nachfrage...

Im Gewinnmaximum.

Ich habe folgende Aufgabe aus der letzten Klausur und absolut keinen Lösungsansatz für die Preiselastizität. D.h. nen Ansatz schon..nämlich die Formel. Allerding weiß ich nicht wie ich in die Formel irgendwas einsetze um auf das Ergebnis zu kommen...

Aufgabe 3 : Preispolitik im Monopol

Preisabsatzfunktion : p(x) = a - b * x = 60 - 0,25 * x
Kostenfunktion: K(x) Kf + Kv * x = 100 + 6 * x

a) zu berechnen ist der gewinnmaximale Menge und der gewinnmaximale Preis ( Menge x* = 108, Preis p* = 33 )

b ) zu berechnen ist die Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum des gegebenen Zahlenbeispiels

...und da hörts bei mir auf... die Lösung ist wohl -1 aber ich weiß nicht wie man drauf kommt

Bitte helft mir...hab mir den ganzen Neujahrstag deswegen um die Ohren geschlagen :-/

Danke...und frohes neues Jahr

Micha
 
Ok...also das hatte ich bei meiner vielen hinundherrechnerei auch raus...und macht wohl auch als einzigstes Sinn

das mit dem Ergebnis " -1" hatte ich hier im Forum gelesen also Lösung für die Aufgabe...also ein klassisches Beispiel dann, dass man auch gerne mal was falsches abschreibt ;-)

Danke
 
Eine Frage habe ich doch noch.

Warum ist die Ableitung falsch?

ist dx/dp nicht - 0,25 ??

Wie muss denn die richtige Ableitung denn dann heißen...??? und vor allem warum?

grüße micha
 
Ich versuchs mal und hoffe ich erzähl nix falsches

die Preiselastizität ergibt sich aus dem Produkt dx/dp und P/x

die Ableitung nach x (dp/dx) ergibt -0,25...

der Kehrwert..also dx/dp ist also -4

dp/dx = -1/4

dx/dp = -4/1 = -4

..ich hoffe das ist richtig so

Gruß aus dem Harz
 
Oder so:

p = 60 - 1/4 x denn 0,25 ist 1/4
p - 60 = - 1/4 x durch -1/4 bzw. mal -4
-4p + 240 = x
x` = - 4

juchhu es steckte die ganze Zeit "nur" einRechenfehler drin und ich habe gedacht, ich weiss nicht wie man die Elastizität berechnet
 
Anscheinend hat's bei mir immer noch nicht "klick" gemacht. Hab wahrscheinlich nicht das nötige Grundwissen dafür. Beschäftige mich nun auch mit der Aufgabe, sprich, mit den gleichen Zahlen, aber ich kapiere dieses umstellen und ableiten einfach nicht.

Könnte sich jemand erbarmen und das ganze Schritt für Schritt mit Erklärung erläutern?

Danke,
Nina

PS: Um mein Image zu wahren - ich sitze seit heute morgen 8Uhr hier am Schreibtisch, vielleicht ist es einfach zu spät für mich :)
 
Hallo NinaT,

dann versuche ich mal dir zu helfen.

Gegeben ist folgende Preisabsatzfunktion: p(x) = 60 - 0,25x
und folgende Kostenfunktion: K(x) = 100 + 6x

Um die Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum zu erhalten, benötigen wir zu aller erst das Gewinnmaximum. Mathematisch ist ein Maximum dann gegeben, wenn die erste Ableitung der entsprechenden Funktion genommen wird und Null gesetzt wird (es existiert auch eine zusätzliche notwendige Bedingung die normalerweise geprüft werden sollte, aber ich möchte dich nicht unnötig durcheinanderbringen und unterschlage diese Tatsache einfach).

Um das Gewinnmaximum zu bekommen, benötigen wir zuerst die Gewinnfunktion. Die Gewinnfunktion sieht folgendermaßen aus: G(x) = U(x) - K(x). In Worten ausgedrückt: Um den Gewinn G(x) zu erhalten, müssen wir den Umsatz U(x) mit den Kosten K(x) subtrahieren. Wenn ich also etwas für 10€ (U) verkaufe und ich 6€ (K) an Produktionskosten gehabt habe, dann ist mein Gewinn 4€ (G).

Der Umsatz U(x) besteht aus dem Preis für eine gefertigte Einheit p(x) multipliziert mit der Anzahl (x) der verkauften Einheiten. Also sieht die Umsatzfunktion folgendermaßen aus: U(x) = p(x) * x. Mit anderen Worten, wenn ich 5 Pullover (mein x) zum Preis von 10 € (mein p) verkaufe, dann ist mein Umsatz (U) = 50.

Die gesammelten Informationen nochmal zur Übersicht:

Gegeben:
p(x) = 60 - 0,25x (= Unsere Preisabsatzfunktion)
K(x) = 100 + 6x (= Unsere Kostenfunktion)
G(x) = U(x) - K(x) (= Unsere Gewinnfunktion)
U(x) = p(x) * x (= Unsere Umsatzfunktion)

Wenn wir unser U(x) mit p(x) * x ersetzen, denn es ist ja gleich (wegen dem Geichheitszeichen) dann sieht unser G(x) folgendermaßen aus:
G(x) = p(x) * x - K(x)

Wenn wir nun unser p(x) und unser K(x) aus der Aufgabe einsetzen, sieht das Ganze dann so aus: G(x) = (60 -0,25x) * x - (100 + 6x).

Wenn wir die ganzen Klammern auflösen, dann sieht es am Ende so aus:
G(x) = 60x - 0,25x^2 - 100 - 6x
Zusammengefaßt heißt das:
G(x) = 54x - 0,25x^2 - 100

Nun haben wir die Gewinnfunktion und können daraus das Maximum bestimmen, indem wir, wie oben bereits angesprochen, die Funktion G nach x ableiten:

Also wird aus:
G(x) = 54x - 0,25x^2 - 100
nach der Ableitung:
G'(x) = 54 - 0,5x

Um das Maximum zu bekommen müssen wir G'(x) = 0 setzen:
0 = 54 - 0,5x /+0,5x
0,5x = 54 / *2 (man hätte auch durch 0,5 dividieren können, damit x alleine steht).
x = 108

Damit haben wir die gewinnmaximale Menge x* = 108.
Wenn wir x* in unsere Preisabsatzfunktion einsetzen, erhalten wir unseren gewinnmaximalen Preis p*:
p(108) = 60 - 0,25 * 108
p* = 33.

Soweit sollte die erste Aufgabe verstanden sein.

Kommen wir nun zu der Zweiten, der Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum.

Dafür nehmen wir die Formel, die bereits vorher genannt wurde:

Elastizität: e = dx/dp * p/x

dx/dp bedeutet das wird x nach p ableiten (wie oben mit G nach x). Also benötigen wir auf der einen Seite das x.
Dazu nehmen wir unsere Funktion:
p = 60 - 0,25x / +0,25x
p + 0,25x = 60 / -p
0,25x = 60 - p / *4 oder /0,25
x = 240 -4p
Nun muss diese umgeformte Preisabsatzfunktion nur noch nach p abgeleitet werden:

Umgeformte Preisabsatzfunktion wird aus
x(p) = 240 - 4p
abgeleitet nach p
x'(p) = -4 (x'(p) ist genau das gleiche wie dx/dp).

Wenn wir das jetzt in die Elastizitätsfunktion (e = dx/dp * p/x) einsetzen, dann erhalten wir:

e = -4 * p/x

p und x haben wir ebenfalls und zwar aus der ersten Aufgabe
x* = 108
p* = 33

Also ist das Endergebnis:
e = -4 * 33/108
e = -1,222222

Und was heißt dieses Ergebnis?!

Es heißt, dass wenn wir den Preis um 1 % erhöhen, dann sinkt (wegen dem Minus) die Nachfrage um 1,22 %.

[Es kann auch vorher dp/dx berechnet werden (würde die Ableitung von p nach x entsprechen) und dann erreicht man durch den Kehrwert ebenfalls dx/dp. Welche der beiden Möglichkeiten du nimmst, ist eigentlichh egal, weil es ja dasselbe ist (wenn man sich nicht verrechnet).]

Gruß und viel Erfolg

Robby
 
Wow, Robby, Wahnsinn! Danke für diese wirklich sehr ausführliche Darstellung! Ich hatte hier wohl vergessen zu erwähnen, dass ich x und p schon herausgefunden hatte und nur nicht wusste, wie ich die Elastizität ausrechne, aber so konnte ich alles nochmal bestätigen :)

Und ohne dich hätte ich diesen Weg der Berechnung der Elastizität NIEMALS verstanden. Na ja, ob ich das nun ganz verstanden hab, wird sich zeigen, ich muss es nur auswendig lernen und behalten.

DAAAAAAAAAAANKE!!!!!

Liebe Grüße
Nina
 
Das war superhilfreich....vielen lieben Dank...ich verbringe hier schon Stunden damit, diese Aufgaben nachvollziehen zu können. Danke nochmals!
 
Ebenfalls danke!

Das war super und hat auch mir enorm geholfen. Warum findet sich eigentlich keine solche Erläuterung im Skript? Ich finde das offizielle Skript dazu extrem schwach ...
 
Hallo zusammen!

Ebenfalls vielen Dank für die Erklärung, nach fast einstündigem vergeblichen Gewühle im Skript und auf Wikipedia etc. habe ich fast aufgegeben bis ich diesen Beitrag entdeckte :D (Tatsache!)

Möchte nur nochmal kurz fragen ob ich mir das so merken kann:

Für die Preiselastizität der Nachfrage brauche ich nur die Preis Absatz Fkt, habe ich diese, leite ich jene ab, löse nach x auf und nehme den Kehrwert davon.
Möchte ich nun beispielsweise die Preiselastizität im Gewinnmax. berechnen, brauche ich die Menge und den Preis und multipliziere meine Preiselastizität mit Preis/Menge.
Möchte ich die Preiselastizität zu irgendeinem anderen Preis/Mengen Verhältnis berechenn (Erlösmaximum etc) muss ich auch nur E*preis/menge rechnen...?

Das geht ja eigentlich alles ganz gut zu merken :)

Gruß aus Kerpen!
 
Preiselastizität der Nachfrage...

Im Gewinnmaximum.

Ich habe folgende Aufgabe aus der letzten Klausur und absolut keinen Lösungsansatz für die Preiselastizität. D.h. nen Ansatz schon..nämlich die Formel. Allerding weiß ich nicht wie ich in die Formel irgendwas einsetze um auf das Ergebnis zu kommen...

Aufgabe 3 : Preispolitik im Monopol

Preisabsatzfunktion : p(x) = a - b * x = 60 - 0,25 * x
Kostenfunktion: K(x) Kf + Kv * x = 100 + 6 * x

a) zu berechnen ist der gewinnmaximale Menge und der gewinnmaximale Preis ( Menge x* = 108, Preis p* = 33 )

b ) zu berechnen ist die Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum des gegebenen Zahlenbeispiels

...und da hörts bei mir auf... die Lösung ist wohl -1 aber ich weiß nicht wie man drauf kommt

Bitte helft mir...hab mir den ganzen Neujahrstag deswegen um die Ohren geschlagen :-/

Danke...und frohes neues Jahr

Micha
Alle Informationen, die hier gesagt wurden, sind wirklich großartig.
 
ein Maximum wird angegeben, wenn die erste Ableitung der entsprechenden Funktion genommen und auf Null gesetzt wird.
 
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