rentabilitätsmaximale Menge

#1
Hallo,

ich kann irgendwie das Ergebnis nicht nach vollziehen einer Klausuraufgebe.

Gewinnfunktion G(x) = –2/3 · x2 + 27 · x – 80 und die Kapitalbedarfsfunktion K(x) = 1/2 · x in Abhängigkeit von der Produktions- bzw. Absatzmenge x.

R:= G(X)/K(X)
Und gesucht wird erstmal R'.

Soweit kein Problem. Aber ich verstehe nicht warum in der Musterlösung
(((-4/3*x+27)*1/2*x)-((-2/3*x^2+27*x-80)*1/2))/((x/2))^2

äquivalent sein soll zu (((-4/3*x+27)*1/2*x)-((-2/3*x^2+27*x-80)*1/2)) und man somit auf ca. 10,95 kommt. Ich komme auf ca. 3,30

Kann mir jemand helfen?
 
#2
Ich bezweifle, das da steht die Terme seien äquivalent. Ich vermute da wird die Nullstelle der ersten Ableitung, dargestellt als Bruch, berechnet. Und ein Bruch ist dann Null, wenn der Zähler null ist (und der Nenner bei der Zählernullstelle ungleich null ist).


Liebe Grüße
Chrissi
 
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#3
Ich rechne so:


R(x)
= G(x) / K(x)
= (-2/3 * x^2 + 27 * x - 80) / (1/2 * x)
= 2 * (-2/3 * x^2 + 27 * x - 80) / x
= -4/3 * x + 54 - 160 * x^-1

R'(x) = -4/3 + 160 * x^-2

Optimierungsbedingung R'(x) = 0:

-4/3 + 160 * x^-2 = 0
-4/3 = -160 * x^-2
x^2 = 160 * 3/4
x^2 = 120

Optimum: x = 120^1/2 = 10,95445

R''(x) = -2 * 160 * x^-3 < 0 d.h. das Optimum ist ein (das einzige) Maximum.

Liebe Grüße
Chrissi
 
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