Schwierigkeiten mit Matheaufgabe

W

Wallera

#1
Ich muß folgendes Integral berechnen, habe aber nicht die richtige Idee, wie ich das Integral substiuieren kann. Vieleicht kann jemand mir eine Hilfestellung geben?

Ein bestimmtes Integral mit der Obergrenze 1 und der Untergrenze 0.
Der Term nach dem Integralzeichen: t^4*(1-t)^4/(1+t^2)
nach dem Term steht die Integrationsvariable dt.

Wie habe ich das Integral zu lösen ? Ich habe es mit Substitution, partielle Integration und Partialbruchzerlegung probiert, komme aber nicht auf das Ergebnis.Da ich sicherlich etwas falsch mache, hoffe ich, das jemand mir den Rechenschritt erklären kann.

Vielen Dank

Wallera
 
W
#3
Ein bestimmtes Integral mit der Obergrenze 1 und der Untergrenze 0.
Der Term nach dem Integralzeichen: INT(t^4*(1-t)^4/(1+t^2))*d(t)
nach dem Term steht die Integrationsvariable dt.
INT stellt das Integrationszeichen dar.
 
#5
Das Integral sieht doch so aus:
[tex] \int^{1}_{0} \frac{t^4 (1-t)^4}{1+t^2} dt [/tex]

Diesen Teil kann man so auflösen:
[tex] \int^{1}_{0} {t^4 (1-t)^4} dt = B (4,4) = \frac{\Gamma(4) \Gamma(4)}{\Gamma(4+4)} = \frac{(4-1)! (4-1)!}{(4+4-1)!}[/tex]

siehe dazu: http://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html

Der Rest:

[tex] \int^{1}_{0} \frac{1}{1+t^2} dt = arctan (t) [/tex]

dann das ganze noch mit partieller Integration zusammenpacken... geht das?
 
H

HeldderStunde

#6
Hallo Leute.

1. Frage : Wie kommt man auf die irre Idee mit der Beta-Funktion :rolleyes:
2. Frage : Was will man mit den Fakultäten :p
3. Frage : Laut Theorie geht die Umformung gar nicht auf diese Weise :)
4. Frage : Was hat man mit der Aktion gekonnt? :cool:

<IMG title='






\int^{1}_{0} t^4 \frac{(1-t)^4}{1+t^2} dt






' style="BORDER-RIGHT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-TOP: #f7f9fb 2pt solid; BACKGROUND: #f7f9fb; BORDER-LEFT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-BOTTOM: #f7f9fb 2pt solid" alt='






\int^{1}_{0} t^4 \frac{(1-t)^4}{1+t^2} dt






' src="http://www.studienservice.de/mimetex/647ad82cf3948a25d94948b1420ca19c.gif" align=absMiddle>

<IMG title='











\frac{(1-t)^4}{1+t^2} = \frac{(t^4-4t^3+6t^2-4t+1)}{t^2+1}





' style="BORDER-RIGHT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-TOP: #f7f9fb 2pt solid; BACKGROUND: #f7f9fb; BORDER-LEFT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-BOTTOM: #f7f9fb 2pt solid" alt='











\frac{(1-t)^4}{1+t^2} = \frac{(t^4-4t^3+6t^2-4t+1)}{t^2+1}





' src="http://www.studienservice.de/mimetex/2eb753298e3a9e740adb0e5b963228ab.gif" align=absMiddle>

<IMG title='



t^4 (\frac{t^4}{t^2+1} - \frac{4t^2}{t^2+1} + \frac{6t^2}{t^2+1} - \frac{4t}{t^2+1} + \frac{1}{t^2+1})



' style="BORDER-RIGHT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-TOP: #f7f9fb 2pt solid; BACKGROUND: #f7f9fb; BORDER-LEFT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-BOTTOM: #f7f9fb 2pt solid" alt='



t^4 (\frac{t^4}{t^2+1} - \frac{4t^2}{t^2+1} + \frac{6t^2}{t^2+1} - \frac{4t}{t^2+1} + \frac{1}{t^2+1})



' src="http://www.studienservice.de/mimetex/7111feaba572fc888b92e4281d41ed6c.gif" align=absMiddle>

Jetzt schafft man noch das
hinein und faßt die Brüche weiter zusammen.
Schneller und übersichtlicher geht es natürlich wenn man sofort
oben hineinbringt, bevor man die den Term in Brüche zerlegt.
Aber die dritte Zeile sollte die simple Idee zeigen.

Die einzelnen Brüche faßt man nun wie gewohnt durch
Addition der Null zusammen, was natürlich hier perfekt paßt.

Man erhält

<IMG title='


\frac{-4}{t^2+1} + t^6 - 4t^5 + 5t^4 - 4t^2 + 4


' style="BORDER-RIGHT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-TOP: #f7f9fb 2pt solid; BACKGROUND: #f7f9fb; BORDER-LEFT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-BOTTOM: #f7f9fb 2pt solid" alt='


\frac{-4}{t^2+1} + t^6 - 4t^5 + 5t^4 - 4t^2 + 4


' src="http://www.studienservice.de/mimetex/5e39930e0e64f5e7acf0391e2ae29b88.gif" align=absMiddle>

und damit

<IMG title='


\int^{1}_{0} (


\frac{-4}{t^2+1} + t^6 - 4t^5 + 5t^4 - 4t^2 + 4



) dt


' style="BORDER-RIGHT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-TOP: #f7f9fb 2pt solid; BACKGROUND: #f7f9fb; BORDER-LEFT: #f7f9fb 2pt solid; BORDER-BOTTOM: #f7f9fb 2pt solid" alt='


\int^{1}_{0} (


\frac{-4}{t^2+1} + t^6 - 4t^5 + 5t^4 - 4t^2 + 4



) dt


' src="http://www.studienservice.de/mimetex/0394a9f2ecdcc3ccf5afde1cca13fd0e.gif" align=absMiddle>

Und das kann jetzt jeder Elftklässler lösen mit dem Hinweis auf das Grundintegral

[tex]
\int \frac{-4}{t^2+1} dt = -4 arctan(t)
[/tex]
.

Nix da mit Beta-Funktion und solchen Gurken.

Ein bißchen Rechnen.
 
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