Studienzentrum Leverkusen - LA bei MR. Wille

Studienzentrum Leverkusen - LA bei MR. Wille

Hi, ich eröffne einfach mal einen Thread, für das Mentoriat um die Lineare Algebra im Studienzentrum Leverkusen bei Matthias Wille.

Hier können wir uns Unterhalten.

Falls es eine Möglichkeit geben sollte, dass wir einen eigenen Bereich dafür bekommen wäre das natürlich nett :)

Gruss Andreas
 

krid

Moderator
Ich hab auf den letzten Drücker nochmal versucht, ob ich die EA 1 kapiere – keine Chance! Die Aufgaben 2 und 5 hab ich hingekriegt. Aber sonst... Frust pur! :(

Ich hab zum Beispiel keinen blassen Schimmer, wie das mit dem charakteristischen Polynom in 1.3 gehen soll. Angeblich lautet das ja [tex]T^{n-1}[/tex]. Aber wenn ich das im R^3 mit der Einheitsbasis versuche, kriege ich T^3 und nicht T^2 als char. Pol. raus...

Und die 1.4 – noch so'n Fall von kompletter Verwirrung. In der NG heißt es, es sei ein Widerspruch, wenn man einen ggT ≠ 1 in L[K] finden würde, weil der ja 1 teilen müsste. Aber das ist doch Quark. Wenn es den ggT gäbe, dann teilt 1 immer noch p und q, aber auch diesen ggT. Der ggT muss ja nicht die 1 teilen... (Versteht ihr, was ich meine?)

An die anderen Aufgaben traue ich mich gar nicht erst ran – ich bin schon frustriert genug....
 

krid

Moderator
Wir haben einen K-Vektorraum mit einer Basis [tex]\mathcal{B}=(v_{1},\ldots,v_{n})[/tex] und einen Endomorphismus [tex]f[/tex], definiert durch

[tex]f(v_{i})=v_{i+1} \forall 1\leq i\leq n-1[/tex]
und
[tex]f(v_n)=v_1[/tex]

Berechnen Sie das charakteristische Polynom von [tex]f[/tex].

So, wenn ich das im [tex]\mathbb{R}^3[/tex] für die Standardbasis mache, ist die Matrixdarstellung vom [tex]f[/tex] doch

[tex]\begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0\end{pmatrix}[/tex]

und dann ist das charakteristische Polynom

[tex]\chi_A=\begin{vmatrix}
T&-1&0\\
0&T&-1\\
-1&0&T\end{vmatrix}=T^3-1[/tex]

Ach jetzt, wo ich's hier schreibe, fällt mit natürlich auf – da ist wahrscheinlich (T^n)-1 und nicht – wie ich dachte T^(n-1) gemeint in der NG :feiff: (Komisch, ich hab das 3 mal von Hand nachgerechnet und hab jedesmal die -1 übersehen... :mad:)

Aber kann ich das einfach so machen, irgendeine konkrete Basis zu Grunde legen?:confused:
 
Wenn ich mich recht erinnere, sind die Eigenwerte und das char. Polynom Invarianten und damit unabhängig von der Basiswahl. Nur das macht Sinn und man kann sich eine einfache Basis aussuchen. Gruss
 

krid

Moderator
Da ist was dran... Danke schön! :)

Manchmal sieht man einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht – aber dass ich den Fehler bei der Determinante nicht gesehen hab, darüber ärgere ich mich gerade schwarz...
 

krid

Moderator
Soo, Karen scheint auch hier angekommen zu sein. Sie hat ein paar Fragen in mein Massageboard gepostet. da sind sie aber vielleicht nicht so gut aufgehoben, deshalb kopiere ich die mal hierhin...

Zitat von Blairathol:
Hallo, Ihr Lieben!
So, und jetzt? :)
Habe mich heut morgen mit EAs befasst und bin nicht sooo weiter gekommen.
EAs sind gestern abend in Leverkusen auch ein wenig untern Tisch gefallen...
Also:
zur 2.7:
A und B sind bei mir nilpotent: A mit m=3 und B mit m=4.
Nach dem Hauptsatz - drittletzte Seite...) müssen sie, wenn nilpotent, die gleiche N(p) haben, um ähnlich zu sein.
Das kann aber gar nicht der Fall sein, da ich wie z.B. in Aufgabe 2.3.27 gar nicht mehr dieselben N(p) aufgrund der unterschiedlichen m hinbekomme.
Seht Ihr das auch so?
Ich habe nämlich ein Problem dabei: B hat Rang 2 (hatten wir ja gestern schon gesagt), Nun hat B^2 ebenfalls Rang 2 ??? Geht doch nicht...
WO HAB ICH MICH VERRECHNET?

Zu 2.6:
Hier gehe ich davon aus, daß das Produkt von Diag.Matrizen wieder eine Diag.Matrize ist.
Dann kann ich doch die Gleichung D = S^(-1) * A * S
in die m-te Potenz setzen,
erhalte links wieder eine DiagMatrix und rechts eine Ausdruck ähnlich wie in Aufgabe 2.3.4
mit schließlich S^(-1) * A^m * S
DAmit ist
A^m für jedes m aus den nat. Zahlen diag.bar.
Das ging so flott - hab ich da was übersehen??

So, und in der 2.8 hänge ich auch noch tief drin...

Grüße
Karen
 
Moin!
Naja, ob ich nun tatsächlich in diesem privaten Forum bin... keine Ahnung. Muß ich da nicht eingeladen sein?
Hab jedenfalls auf Susannes Geheiß doch mal den Matrizen-Tascenrechner bemüht und auf meine Frage zu 2.7 die Antwort gefunden. Habe bei A,B m=3 mit Rangpartitiionen 2,2,1 herausbekommen. Somit sind A,B ähnlich.
Zur 2.8 hat mir auch der Matrizenrechner gute Dienste geleistet - bei der Probe, ob meine S auch stimmt.

Jetzt lacht mal nicht - aber wenn ich gleich dieses Forum verlasse, hoffe ich, daß ich es demnächst wiederfinde :)
Poah, habt ihr echt die Zeit, Eure Beiträge zu "designen" mit Männchen, Krimskrams undsoweiter?
Dann noch weiterhin eine kreative Zeit !!!
Grüße
Karen
 
Nicht ganz ;-) aber schön, dass du diesen schon gefunden hast. Diesen - wie sagt dirk immer... - Fred.
Naja egal.

ich habe Dich und die anderen eingeladen, so dass du nur bestätigen brauchst, und wir reden dann in deinem Kontrollzentrum unter "Interessengemeinschaften" miteinander.
Geht eigentlich recht fix. so sind wir schnell beieinander.

Grus sAndreas
 

krid

Moderator
Es haben wohl nicht alle den E-Brief von Matthias bekommen, deshalb sag ich's hier nochmal: Am kommenden Dienstag (3.6.) ist eine weitere Veranstaltung zur LA II in Leverkusen (same place, same time). Thema ist immer noch die KE 4 – da sind wir nämlich letzten Dienstag nicht durchgekommen.

Es ist außerdem angedacht, dass wir uns danach jeden Dienstag treffen. :)
 

krid

Moderator
Ach, Menno! Ich hasse das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Konnte ich schon im Wiwi-Studium nicht leiden...

Ich hab in der EA, Aufgabe 5.6, zwei ganz einfache Basisvektoren ergänzt: e1 und e2. Aber bei der Orthonormalisierungs-Rechnung kommt man in Teufels Küche. :mad::mad: Echt grauenhaft! Entweder da ist irgendwo ein Rechenfehler drin, oder das ist unlösbar!
 
Wenn e1 und e2 linear unabhängig, muss das Schmidtsche Orthoverfahren zwangsläufig terminieren. Prüfe doch erstmal deren Orthogonalität zueinander. Meistens fällt da schon der Fehler auf.
:)
 

krid

Moderator
Das System ist schon eine Basis, das ist nicht das Thema. Aber der Schmidt erzeugt so grauseliges Zahlenchaos, das kann man gar nicht rechnen... :(

Ich hab inzwischen mal in die NG geschaut, und ich bin offenbar nicht der einzige, der mit dieser Idee vor die Wand gelaufen ist. Es gibt es eine ganz einfache Lösung ohne Schmidt, von der ich mir aber zurzeit noch nicht genau erklären kann, warum die funktioniert – sie funktioniert aber... :rolleyes: Hach, Mathe kann soooo schön sein... :D
 

krid

Moderator
Hallo Rechenfreunde :D

Ich hab eine Frage zur LA-II-Klausur SoSe 2001, Aufgabe II.3 b)

In Aufgabenteil a) habe ich eine invertierbare Matrix Q bestimmt, so dass Q*AQ eine Diagonalmatrix ist. Diese Diagonalmatrix lautet bei mir

[tex]
\begin{pmatrix}
1 & & \\
& -1 & \\
& & 3-i\\
\end{pmatrix}
[/tex]

Nun muss ich, um eine Diagonalmatrix mit 1, -1 und 0 hinzukriegen, die Einträge normieren. Frage: kann ich da bei dem komplexen Eintrag auch ganz normal vorgehen, also muss ich [tex]\frac{1}{\sqrt{3-i}}[/tex] verwenden?

Ach, langsam kriege ich einen Komplexe-Zahlen-Komplex... :rolleyes:
 

krid

Moderator
Genau. Und dann kann man sie halt nochmal behandeln, so dass sie ähnlich ist zu einer Matrix der Form

[tex]
\begin{pmatrix}
I_k & & \\
& -I_l & \\
& & 0\cdot I_r\\
\end{pmatrix}
[/tex]

Mein Problem ist also eigentlich nur eines mit dem Rechnen in C. Wie mache ich aus 3-i eine 1, indem ich vorne und hinten eine Matrix dranmultipliziere... ;)
 
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