2. Ableitung mit Quotientenregel

Mathe... ohne Worte, aber nagut:

Ich habe ne Frage zum ableiten der 1.ableitung einer gebrochenen rationalen Funktion:
Als Bsp. nehmen wir ma Kapitel 11.6 S 35 Übungsaugabe 11.6.2 i)

f(x) = 2x / 1+x²

f'(x) =( f'*g - f*g' ) / g² = (2 + 2x² - 4x²) / (1 + x²)²

= (-2x² + 2) / (1 + x²)²

soweit so gut, is ja noch recht simpel, aber jetzt:

f"(x) = ( f'*g - f*g' ) / g²= ?

Ich komme einfach nicht auf die vorgegebene Lösung!
Ich kann auch nicht ganz nachvollziehen, ob das g² der 1. Ableitung komplett abgeleitet wird, oder ob ich wieder nur das g aus f(x) betrachte
Ich habe beide Varianten versucht:

1.) g = 1 + x² => g' = 2x
=> f"(x) = ((-4x*1 + -4x*x²) - (-2x²*2x + 2*2x)) / (1 + x²)³
= -8x / (1 + x²)³ FALSCH!!!

2.) g = (1 + x²)² = 1 + 2x² + x^4 =>g' = 4x + 4x³
=> f"(x) = ((-4x*1 + -4x*2x² + -4x*x^4) - (4x*-2x² + 4x*2 +4x³*-2x²
+ 4x³*2)) / (1 + x²)³
= (-4x - 8x³ -4x^5 + 8x³ - 8x + 8x^5 - 8x³) / (1 + x²)³
= ( 4x^5 - 8x³ -12x) / (1 + x²)³ FALSCH!!!

Die vorgegebene Lösung lautet: f"(x) = (4x³ - 12x) / (1 + x²)³

Sieht einer meinen Fehler?
Welche Variante für g in f"(x) verwende ich denn nun ?
Zur not reichts auch, wenn jemand denn richtigen ausführlichen Lösungsweg aufzeigt, das wäre schon saukool!!!

Danke im vorraus