2. hinreichende bedingung bei db max optproblem preisdifferenzierung

Nutzte man die zweite Ableitung nicht zur Bestimmung von Wendepunkten in Funktionen dritter Ordnung?
Wenn Du z.B. 90000x-840000+ 6000x*x zum zweiten mal ableitest bleibt doch nur 6000 stehen. Das würde doch nach meinem dafürhalten gar nichts aussagen außer, das die Funktion keinen Wendepunkt hat und 6000=0 funktioniert ja nicht.
Oder bin ich da auf dem falschen Dampfer?
Du könntest glaube ich eher anhand einer Wertetabelle nachweisen ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, wenn Du Dir die Arbeit machen willst. Der Lehrstuhl fordert das aber glaube ich nicht.

Die zweite Ableitung gibt auch Auskunft, ob ein Punkt mit 1. Ableitung = 0 ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt ist.

Falls die 1. Ableitung = 0 und ...

... die 2. Ableitung > 0 , dann liegt ein Minimum vor

... die 2. Ableitung < 0 , dann liegt ein Maximum vor

... die 2. Ableitung = 0 , dann liegt ein Sattelpunkt vor (Spezialfall eines Wendepunkts)

Anschauliche Begründung:

Wenn die erste Ableitung 0 ist, hat sie an dieser Stelle eine Nullstelle, d.h. sie schneidet die Abszisse.

Ist die 2. Ableitung > 0, dann steigt die 1. Ableitung an dieser Stelle, d.h. die 1. Ableitung kreuzt die Abszisse von unten nach oben. Vor der Nullstelle ist der Wert der 1. Ableitung also negativ und nach der Nullstelle positiv, d.h. vor der Nullstelle fällt die Ausgangskurve und nach der Nullstelle steigt die Ausgangskurve, es liegt also bei der Nullstelle der 1. Ableitung ein Minimum der Ausgangsunktion vor.

Ist die 2. Ableitung < 0, dann fällt die 1. Ableitung an dieser Stelle, d.h. die 1. Ableitung kreuzt die Abszisse von oben nach unten. Vor der Nullstelle ist der Wert der 1. Ableitung also positiv und nach der Nullstelle negativ, d.h. vor der Nullstelle steigt die Ausgangskurve und nach der Nullstelle fällt die Ausgangskurve, es liegt also bei der Nullstelle der 1. Ableitung ein Maximum der Ausgangsfunktion vor.

Ist die 2. Ableitung = 0, dann hat die 1. Ableitung an dieser Stelle zwar eine Nullstelle, aber kein Vorzeichenwechsel (d.h. sie berührt die Abszisse nur und durchkreuzt sie nicht). Das Steigungsverhalten der Ausgangsfunktion ändert sich also nicht. Es liegt also weder ein Minimum noch ein Maximum, sondern ein Sattelpunkt (horizontaler Wendepunkt) vor.

Liebe Grüße