Basis Dimensionen - Ich versteh es nicht :-

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Man kann beweisen, dass alle Basen eines Vektorraums aus gleich vielen Elementen bestehen -- diese Anzahl ist die Dimension des Raums.
Sorry, aber ohne weitere Information von dir ist es schwer, dazu mehr zu sagen ...

Ah, ich habs nun verstanden, mein ich 🙂

Das sind doch nun, wenn ich n linear anhängige Vektoren haben, n Dimensionen und somit n Basen, oder?????

weder n Dimensionen noch n Basen -ganz was anderes-. Nochmal genau lesen, was chris* geschrieben hat, oder hast du das "un-" vor abhängig vergessen?.

@vk-22 der Satz sollte heissen n linear unabhängige Vektoren bilden ein basis im R^n, und n ist die Dimension!

du machst das richtig, aber vk-22 nützt das wenig, da wir hier nicht abfragen und er/sie es wohl noch nicht verstanden hat. Grüßle

turboschneckedp,
da hast du warscheinlich recht! Ok, ich versuchs mal zu erklären wie ich es verstanden hab, bitte verbessert mich also wenn ich müll schreibe!

Also n l.u Vektoren bilden eine Basis, oder sie spannen den Raum auf.
Und da jeder Punkt der innerhalb dieser Basis liegt kann durch eine LK (Linear Kombination) dieser Basis dargestellt werden.
War das nicht sogar der Satz des Steiniz!?

So jetzt zur Verdeutlichung:

Vektoren des R³, sind Vektoren mit 3 Komponenten.
(0,1,0),(4,0,0),(0,0,9)
Anhand der Werte sieht man das die 3 Vektoren alle in einen andere Richtung zeigen und somit auf einer anderen Ebene liegen. Bitte versuch sie Dir in ein Koordinatensystem einzuzeichnen um dies zu veranschaulichen.

Diese 3 Vektoren sind l.u. und bilden somit die Basis für einen Raum, deshalb sagt man auch sie spannen den Raum auf. Das heisst nichts anderes, als das die 3 Vektoren ihr eigenens kleines Koordinatensystem bilden.
Und das wiederum bedeutet soviel wie das jeder punkt der innerhalb dieses Koordinatensystems liegt wieder durch einen LK der Basisverktoren dargestellt werden kann.

ach sooooo!
Ja, jetzt hab ich das verstanden 😱

Ich danke!

LG
Vrena

Mal ne ergänzende Frage:

Basis: die Vekt. sind linear unabhängig u. wie oben beschrieben alles.


Orthogonalbasis: Vekt. linear unabhängig, und Skalarprodukt = 0 (muss ich paarweise vergleichen oder?

Orthonormalbasis: lin unabhängig, und Länge 1 und Skalarpeodukt =0

Ist das korrekt???

Ja alles korrekt!

Nee, nicht ganz. Länge = wurzel aus Skalarprodukt mit sich selbst, Orthogonalität = senkrechtstehen zwischen paarweise verschiedenen Basisvektoren, nur bei Orthogonalbasis.
Aber nicht bei jeder Basis müssen die Basisvektoren senkrecht aufeinander stehen. Mit so einer Basis läßt es sich nur leicht rechnen. Noch leichter mit Orthonormalbasis (ONB)

Jetz wirds kompliziert!
Aber er hat doch recht!

Orthonormalbasen: sind Vektoren die l.u. sind und haben die länge 1 und ihr paarweises skalarprodukt ist 0, hab ich da was falsch verstanden!?

Orthogonalbasis: bilden l.u. Vektoren die im rechten winkel zueinander stehen
:confused

Ich weiss auch nicht was turbo meint.

Habe eben noch mal nachgekuckt, so wie ichs oben kurz zusammengefasst ha istt es. das man die Länge berechnen muss ist auch klar meistens sieht mans sie eh schon .

Eine Basis bilden z.B. drei lin. unabhängige Vektoren.

Der einzige unterschied zwischen orthogonal u. Ortonormal ist einfach das bei Orthonormal die Länge eins sein muss. Folglich ist eine Orthonormalbasis eine Basis aus senkrecht aufeinanderstehenden normierten Vektoren.

Aber was turbo da sonst noch mit sagen wollte müssen wir glaub isch nischt verstehen.

Ist ja im Prinzip richtig, es geht um Kleinigkeiten. Aber so wie z.B. der eine Satz das steht, ist er falsch: drei l.u. Vektoren bilden eine Basis nur im R^3
und das ist wichtig, weil sie im R^4 keine Basis bilden.
Und die Vektoren einer Basis müssen nicht paarweise sekrecht aufeinander stehen und auch nicht die Länge 1 haben, das hat mit dem Begriff der Basis nichts zu tun. Beispiel: {( 1,1 ), ( -1, 2)} ist eine Basis des R^2 (die Ebene)

Da habt Ihr wohl beide recht*lol*
Viel Glück bei der Prüfung!

Bei Lernfragen zu Linearität und Basen kann uns ja jetzt nichts mehr passieren.