Frage zu Begleitheft - Grundlagen Mathe für Stabilitätspolitik

das Problem besteht darin, dass im Heft "Grundlagen Mathe für Stabilitätspolitik" auf Seite XII Gleichung (6), nicht
korrekt dargestellt ist.

Diese Gleichung muss lauten:

dL/dpi^e= 2b E [ (1-k) U^n - b(pi_o - pi^e) + ε ] - λ = 0,
vgl. auch Buch S. 160, 9.Auflage, Gleichung (16).

Bei der Ableitung nach den Inflationserwartungen wird der Erwartungswert der Verlustfunktion benutzt,
bei den Ableitungen nach pi und λ nicht.
Warum dies der Fall ist wird im Heft Seite VIII - XII ausführlichst erläutert, aber ausgerechnet in Gleichung (6)
vom Druck her falsch dargestellt.

Außerdem wäre es auch besser, wenn man wie im Buch S. 160 anstatt pi^e
pi_o^e mit doppeltem Index unten und oben verwenden würde, weil dieses ja nicht irgendwelche Inflationserwartungen
sind, sondern diejenigen bei optimaler Regel.

Gleichung (8) muss also heißen:
2a(pi_o-pi*)-2b ( [1-k]U^n - b(pi_o-pi^e) + ε)= -2b E ( (1-k) U^n - b(pi_o - pi^e) + ε ) .

Einsetzen von pi*:
2a(pi_o-pi*)-2b ( [1-k]U^n - b(pi_o-pi*) + ε)= -2b E ( (1-k) U^n - b(pi_o - pi*) + ε ) .

Jetzt den Erwartungswert bilden:
2a(pi_o-pi*)-2b ( [1-k]U^n - b(pi_o-pi*) + ε)= -2b( (1-k) U^n - b( E pi_o - E pi*) ) .

Es gilt E( pi_o) = pi^e = pi* = E(E (pi_o ))= E(pi^e )= E(pi*) , und deshalb kriegt man:

2a(pi_o-pi*)-2b ( [1-k]U^n - b(pi_o-pi*) + ε)= -2b (1-k) U^n ,

und dann:

2a(pi_o-pi*)+2b²(pi_o-pi*) + 2bε= 0,

a(pi_o-pi*)+b²(pi_o-pi*) + bε= 0,

api_o+b²pi_0 + bε= api*+b²pi*,
(a+b²)pi_o=(a+b²)pi*- bε,
pi_o = pi* - b/(a+b²) ε.