Ganz blöde Frage Kurseinheit 1 Beispiel 3.2.1

Also ich glaube im dreidimensionalen Raum kannst du drei Punkte generell immer in eine Ebene bringen. Die Lage dieser Ebene ist dann eine andere Geschichte. Zwei Linien kannst du ja auch immer zu einer Linie verbinden. Stell dir einfach die drei Punkte als ein Dreieck vor. Dieses Dreieck wuerde ich dann ganz einfach als die durch die Vektoren aufgespannte Flaeche (Ebene) verstehen.

Hm, da hast Du natürlich recht.

Aber andererseits sind ja nun extra l.a. Vektoren im R³ als Punkte in einer Ebene definiert, d.h. für l.u. Vektoren dürfte das nicht gelten. Und nu?

LG Franziska

Dabei kann ich dir jetzt grad ohne nachschauen auch nicht weiterhelfen 🙂. Aber rein intuitiv kann ich mir grad nicht vorstellen das 3 l.u. Vektoren nicht in einer Ebene liegen. Wie soll das gehn? Immerhin gehts ja um drei Vektoren. Nicht um 4, 5 oder mehr. Vielleicht kann ja jemand was dazu sagen der sich grade auf Mathe vorbereitet zwecks Klausur ^^.

Ja, wäre schön, wenn jemand noch was dazu sagen könnte. Ich habe jetzt schon mehrere Leute ausgequetscht, die sich eigentlich auskennen sollten, aber irgendwie sind sie dann alle ratlos.

Vermutlich bzw ziemlich sicher ist das wirklich nicht so wichtig, aber die l.u. Vektoren sind eben explizit als Vektoren, die NICHT auf einer zweidimensionalen Ebene liegen, definiert. Und es ist ja schon hilfreich, wenn man eine visuelle Vorstellung davon hat, auch wenn man es eigentlich ausrechnen kann.

Danke Dir trotzdem.

Franziska

franzi42 schrieb:

Warum liegen die drei Vektoren in einer Ebene? Wie soll denn da die Ebene liegen?

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Die drei Vektoren liegen in einer Ebene, weil sie linear abhängig sind. In der Zeichnung ist das allerdings schwer zu erkennen, weil diese Ebene "schräg" im 3-dimensionalen Raum liegt. Stell Dir vor, Du hast ein Blatt Papier, das Du irgendwie in einem Raum hälst. Du kannst es ja nun nicht nur an die Wand halten, sondern auch mitten im Raum irgendwie neigen un dann hast Du auch eine 2-dimensionale Ebene im dreidimensionalen Raum.

sid42000 schrieb:

Also ich glaube im dreidimensionalen Raum kannst du drei Punkte generell immer in eine Ebene bringen.

Zwei Linien kannst du ja auch immer zu einer Linie verbinden. Stell dir einfach die drei Punkte als ein Dreieck vor. Dieses Dreieck wuerde ich dann ganz einfach als die durch die Vektoren aufgespannte Flaeche (Ebene) verstehen.

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Achtung, Ihr müsst hier aufpassen. Punkte sind etwas anderes als Linien und Linien etwas anderes als Vektoren. Wie zwei Geraden zu einer Gerade verbunden werden soll, ist mir nicht klar, aber bei zwei Punkten würde ich sagen, die können mit einer Gerade verbunden werden.

Drei Punkte liegen in der Tat auf einer Ebene, aber für drei linear unabhängige Vektoren gilt das nicht. Stellt Euch die Vektoren als Pfeile vor, dann würden zwei eine Ebene aufspannen und der dritte würde aus dieser Ebene hinauszeigen.

franzi42 schrieb:

Aber andererseits sind ja nun extra l.a. Vektoren im R³ als Punkte in einer Ebene definiert, d.h. für l.u. Vektoren dürfte das nicht gelten. Und nu?

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Wenn es nur um Punkte geht, dann liegen auch drei davon in einer Ebene, wenn die dazugehörigen Vektoren linear unabhängig sind.

Ah, danke! Also stimmte das mit den Punkten doch nicht, Du hast ja recht, es geht ja um die Vektoren in ihrer ganzen Länge.

Ich scheine doch kein so gutes räumliches Vorstellungsvermögen zu haben, wie ich dachte, oder ich muß das mit dem dreidimensionalen Koordinatensystem noch üben. Ich habe mir mal Knete und Holzstäbchen von meinen Kindern geklaut, mir daraus ein Koordinatensystem gebastelt und die Vektoren da mit reingesteckt. Sie liegen tatsächlich in ihrer gesamten Länge auf einer Ebene, ich konnte mir das vorher nicht so vorstellen.

Ok, dann hab ich das jetzt kapiert, dankeschön nochmal.

Liebe Grüße

Franziska

Klara schrieb:

Wenn es nur um Punkte geht, dann liegen auch drei davon in einer Ebene, wenn die dazugehörigen Vektoren linear unabhängig sind.

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Drei Punkte liegen imR³ stets in einer Ebene. Durch die Ortsvektoren der Punkte, die selbstverständlich NICHT in einer Ebene liegen müssen, lassen sich bspw. ein Ortsvektor und die zwei Richtungsvektoren der gesuchten Ebene bestimmen.

Drei Vektoren liegen in einer Ebene, wenn sie komplanar sind. D.h. EIN Vektor lässt sich als Linearkombination den beiden anderen bestimmen. Zu überprüfen ist dies im R³ sehr leicht durch das Spatprodukt, welches Null ergeben muss.