Hilfe! Vektorraum bestimmen

Ich weiß nicht, ob ich hier im richtigen Forum bin, aber ich versuch's einfach mal:

Ich hab mich fürs WS in den Bachelor Wiwi eigeschrieben und versuche jetzt schon mal meine miserablen Mathekenntnisse auf Vordermann zu bringen und arbeite deshalb den Dörsam durch.
Ich hab auch die Aufgabensammlung von Dörsam, und hier irritiert mich eine Aufgabe so, dass ich ständig drüber nachgrüble, aber nicht draufkomme, warum die so gelöst wurde. Also dachte ich mir, ich probier's mal bei euch:
Es geht um die Aufgabe 1.4.B
a) V = {(t, x, y, z)| t2 + x2 = 0; t, x, y, z € R}
a) V = {(a, b, c) | a2 -c2 = 0; a, b, c € R}
Nun meine Frage:
Warum ist Aufgabe a) ein Vektorraum und Aufgabe b) nicht?
Warum darf man t und x gleich 0 setzen, a und c aber nicht?
Wenn ich a und c gleich 0 setzen würde, dann wäre diese Gleichung doch auch ein Vektorraum. Oder ist da ein Denkfehler drin?:-(
Vielen Dank schon mal für die Hilfe

LG Birgit

Sorry, das ist mir zu stark aus dem Zusammenhang gerissen.
Was sind das für 2er? Soll das zum Quadrat bedeuten?
t und x werden nach obiger Definition doch nicht gleich 0 gesetzt, sondern die Summe aus t2 (?) und x2 (?). Dies ist wohl für x=t=0 erfüllt, aber je nachdem was die 2er bedeuten sollen, nicht nur in diesem Fall.
Du hast einmal eine Summe und einmal eine Differenz, müsstest schauen, welches Axiom eines Vektorraums im Fall der Differenz nicht erfüllt ist.

Mach dir da mal keine zu großen Gedanken drum. So vertieft wird das meines Wissens nach im Bachelor Wiwi nicht behandelt.
Viel wichtiger sind (partielle) Ableitungen, lineare Gleichungssysteme (Simplex-Algorithmus), Matrizen und solche Sachen.

Robin,
ja, die 2 soll zum Quadrat heißen. Ich fand es nur nicht auf meiner Tastatur.😳
Dörsam schrieb, für die Gleichung a) gebe es nur eine einzige Lösung, nämlich t=0 und x=0. Damit handle es sich um ein linear homogenes Gleichungssystem und somit um einen Vektorraum.
Bei b) handle es sich jedoch um keinen Vektorraum aufgrund der Mehrdeutigkeit der Wurzel. Dies zeigte er an einem Gegenbeispiel:
(1,0,-1) + (1,0,1) = (2,0,0)
wobei (1,0,-1) und (1,0,1) Elemente aus V sind, (2,0,0) jedoch nicht.
Also sei die Menge nicht abgeschlossen bzgl. der Addition und somit kein Vektorraum.

Das verstehe ich ja alles.
Aber warum kann man a und c nicht auch einfach gleich Null setzen, wie t und x in Aufgabe a)? Dann wäre doch Aufgabe b) auch ein Vektorraum.

a=0 und c=0 wäre eine mögliche Lösung, allerdings wäre a=1 und c=1 auch eine mögliche Lösung (so wie unendlich viele weitere).
t=0 und x=0 ist aber die einzige mögliche Lösung, und das ist entscheidend.

Ach, ich glaub jetzt versteh ich allmählich👎👍

Wenn es also nur eine möglich Lösung gibt, dann handelt es sich um einen Vektorraum.
Wenn es aber unendlich viele Lösungen gibt, die nicht abgeschlossen sind bzgl. der Addition und/oder der Multiplikation, dann handelt es sich um keinen Vektorraum.
Ist das korrekt?😵

Ja, die Abgeschlossenheit ist hier das Entscheidende.
Im Fall b) ist sie nicht erfüllt.
Es kann aber auch unendlich viele Möglichkeiten als Lösung der Bedingungen geben, wobei die Abgeschlossenheit gewahrt bleibt, z.B. a=2c.

Andererseits garantiert nur eine mögliche Lösung der Bedingungen nicht notwendig die Abgeschlossenheit, blödes Beispiel: a=1!
(1, b, c) + (1, b, c) = (2, 2b,2c) wäre kein Element von V.

Ich weiß nicht, ob ich das alles richtig verstanden habe.👎

Du meintest damit, dass es auch unendlich viele Möglichkeiten als Lösung der Bedingungen geben könne, wobei die Abgeschlossenheit gewahrt bleibe, dass es sein könne, dass die Lösungsmenge zwar eingeschränkt werden könne, es aber dennoch unendlich viele Lösungen gebe - ganz allgemein jetzt, nicht auf meine Aufgaben bezogen, oder? (Ich hoffe, ich hab mich verständlich ausgedrückt🙄)

Das a=2c ist nur ein Beispiel, was aber nichts mit meinen Aufgaben zu tun hat, oder? Und wo hast du das a=1 eingesetzt?🙁
Ich glaub, ich steh gerade völlig auf dem Schlauch.

Ja, das a=2c an Stelle von a↑2-c↑2=0 aus deinem Beispiel. Dann gibt es auch unendlich viele Lösungen, die Abgeschlossenheit bleibt aber im Gegensatz zu deinem Fall gewahrt.
War nur als Beispiel für eine weitere Möglichkeit gedacht.

Das mit a=1 (auch als Ersatz für obige Bedingung) nur als Beispiel, dass auch bei eindeutig bestimmter Lösung (a kann nur 1 sein) nicht immer ein Vektorraum zustande kommen muss.
Da ist mir nix sinnvolleres eingefallen.

War nur zur Verdeutlichung gedacht, dass man die Ergebnisse deines Beispiels (unendlich -> kein Vektorraum; eindeutige Lösung -> Vektorraum) nicht verallgemeinern kann.

Okay, ich verstehe👍
Vielen, vielen Dank für deine Geduld