Hilfe zu LU-Zerlegungen

Irgendwie hilft mir das immer noch nicht. Kann mir eventuell jemand den Lösungsweg zu Aufgabe 7 in der Klausur KW 11 beschreiben?

ich hab dir die Aufgabe mal genau aufgeschrieben:

die Vorgehensweise ist immer gleich nur die roten Zahlen jeweils austauschen

Also muss ich das solange umformen bis die Elemente in der Diagonalen alle den geichen Wert haben?
Dann kann ich die Werte unterhalb der Diagonalen von A in L einsetzen mit der Diagonalen 1,1,1 und oberhalb Nullen.
Die Werte der Diagonalen von A und den oberen Teil nehm ich dann als U. Das ist also immer das Muster nachdem das gelöst wird?

Danke für deine Hilfe.

ne die Diagonale ist egal. Du musst zuerst a21 und a31 auf Null bringen (Simplexalg.), aber nicht die Null eintragen, sondern die Rote Zahl im Bild. Und das gleiche dann bei a23. Dann bist du fertig und kannst L und U ablesen

Achso also den Multiplikator mit dem ich die einzelnen Zeilen multipliziere, bevor ich sie subtrahiere. Ich subtrahiere also so, das ich eine 0 bekommen würde, schreibe stattdessen aber den Multiplikator rein. Hab ich alle unterhalb der Diagonalen mit dem Multiplikator ausgefüllt, dann hab ich L mit der Diagonalen mit 1. Die Diagonale von A mit dem oberen Teil ist dann U.

Genau richtig! ist eigentlich ganz einfach man muss nur einmal die Logik raushaben

Nach ein paar gerechneten Aufgaben nochmal die Frage, ist es richtig das es teilweise mehrere Lösugen gibt wie man auf L und U kommen kann? Jenachdem welche Zeile man mit welchem Faktor subtrahiert? Oder darf es nur einen richtigen Weg geben?
Habe gerade bei Aufgabe 7 in Klausur KS09 eine etwas andere Lösung als in der Musterlösung. Hab halt die Zeilen etwas anders subtrahiert.

Eigentlich sollte die LU-Zerlegung eindeutig sein, weil auf der Diagonale von L einsen stehen müssen.
Hast du mal die Probe gemacht ob dann bei deinem Ergebnis bei L*U auch wirklich A rauskommt?

Bei meiner Probe kommt was falsches raus. Muss ich denn im ersten Schritt immer ein vielfaches von Zeile 1 subtrahieren um die beiden Elemente in Spalte 1 zu finden?


A: 1 -2 2
-2 13 -13
2 -13 29

Schritt 1: Da hab ich Zeile 2 - (-2)* Zeile 1. Dadurch wird kreige ich eine -2 bei Elemente E2,1

A: 1 -2 2
-2 9 -9
2 -13 29
Schritt 2: Jetzt Zeile 3 - (-1)* Zeile 2:

A: 1 -2 2
-2 13 -13
-1 -4 20
Schritt 3: Zum Schluss: Zeile 3 - (2)*Zeile 1

A: 1 -2 2
-2 13 -13
-1 2 16

In der Musterlösung wird im ersten Schritt auch direkt Zeile 1 von Zeile 3 subtrahiert. Aber keine Ahnung warum nur das ein richtiges Ergebnis liefert.

Zeile 1 von 3 wird nicht direkt subtrahiert. Es werden nur nicht alle Schritte in der Musterlösung aufgeführt.
Schritte sind:
1 -2 2
-2 13 -13 2 Zeile - (-2) * 1 Zeile
2 -13 29 3 Zeile - (2) * 1 Zeile

1 -2 2
-2 9 -9
2 -9 25 3 Zeile - (-1) * 2 Zeile

1 -2 2
-2 9 -9
2 -1 16

Ja also das ist ja das was ich meinte. So gesehen hast du ja jetzt auch in einem Schritt jeweils Zeile 1 von Zeile 2 und 3 abgezogen.
Aber die Frage ist ja jetzt, muss das so gemacht werden und wenn ja warum?

Also hab mir jetzt nochmal die anderen Klausuren angeschaut. Es wird immer im ersten Schritt versucht, die beiden Elemente in der 1. Spalte, mit Hilfe eines vielfachen der ersten Zeile fertig zu bekommen. Danach wird dann ein vielfaches der zweiten Zeile von der letzten Zeile subtrahiert um das letzte Element zu bekommen. Ich nehm das also mal als Gesetzmäßigkeit.

Danke auf jeden Fall für die schnelle Hilfe.

Ja das wird so gemacht.
Im ersten Schritt wählst du als a11 (erste Element oben Lonks) als Pivoelement. Ziel ist es unterhalb des Pivoelementes Nullen zu erzeugen. Hier subtrahierst du das Vielfache der ersten Zeile von Zeile 2 und 3.
In Schritt 2 ist a22 Pivoelement. Ziel ist wieder unterhalb des Pivoelemenets Nullen zu erzeugen. Da du nur noch eine Zeile übrig ist muss du nur noch von der Dritten Zeile das Vielfache der zweiten Zeile abziehen.

Hättest du eine Matrix mit 4 Zeilen und 4 Spalten müsstest du im ersten Schritt in Spalte 1 an Position a21, a31 und a41 Nullen erzeugen, also Zeile 2 - (x)* Zeile 1; Zeile 3 - (x)* Zeile 1 und Zeile 4 - (x)* Zeile 1 dann wieder in Schritt 2 Spalte 2 anschauen und unterhalb vom Pivotelement Nullen erzeugen usw.

Ah ok, dachte das wäre nur ne normale Umformung, pivotisieren erklärt dann schon einiges. Danke Dir für die Erklärung.