Konvergenzrate

Würde mich dem Hilferuf gerne anschliessen

Ich schließe mich an.

konnte leider nirgends eine brauchbare Erklärung zur Berechnung der Konvergenzrate einer Folge finden. Kann mir von euch jemand weiterhelfen? Das wäre super. Danke und Gruß
Fini

Aufgabe 9 Aus KS11
Sei die Folge definiert durch
[tex]a(n)= \frac{ 1 }{5^{4n}}[/tex]

Zuerst schaut man, was passiert, wenn das n gegen unendlich geht. Hier ist es so, dass der Ausdruck [tex]5^{4n}[/tex] immer groeßer wird. Da aber der Ausdruck im Nenner steht, wird der gesamte Ausdruck immer kleiner, es geht also gegen null.

Die Formel um das ganze auszurechnen lautet [tex]\frac{ |A_{ n+1 }-A| }{ |A_{ n }-A|^{ P }}[/tex] . Das A ist das A, wenn man gegen unendlich geht,also A=0 . Das An+1 ist halt die Gleichung, wobei für das n ähnlich wie bei der vollständigen Induktion durch ein n+1 ersetzt wird. Die Formel lautet also [tex]\frac{\frac{ 1 }{5^{ 4n+1 } }-0}{ (|\frac{ 1 }{5^{ 4n } }-0|)^{ P }}[/tex]. Das P ist ein Exponent, also nicht vergessen mit dem Nenner mal zu nehmen. Die 0 brauchen wir ja nicht mehr berücksichtigen. Man kann den Ausdruck auch umbennen, indem man die Zähler und Nenner vertauscht [tex]\frac{ 5^{ 4^{n}*p }}{ {1} } * \frac{ 1 }{ 5^{ 4^{n+1}} }[/tex].

Jetzt muss man wissen dass man Exponenten noch anders formulieren kann. [tex]5^{4^{n+1 }}= 5^{ 4*4^{n }}[/tex]

und damit [tex]\frac{ 1 }{5^{ 4*4^{n} }} * \frac{ 5^{4^{n} *p} }{1 }= 5^{4^{n}*p - (4*4^{n})}[/tex]
Jetzt kann man 4n ausklammern und man hat [tex] 5^{ 4^{n}*(p-4)}[/tex]

Jetzt gibt man Werte für P ein unter der Bedingung, dass n gegen unendlich geht.
Wenn P 4 ist wird der Exponentenausdruck offensichtlich 0 und es geht gegen 1 weil 5^0 = 1. Wenn p<4 wird der Exponentenausdruck negativ, damit handelt es sich um einen Bruch also geht das gegen 0 . Sollte p>4 sein wird der Exponentenausdruck mit n gegen unendlich immer größer also auch gegen unendlich.

Ich hoffe ich konnte es einigermaßen mit Latex erklären, Ich hoffe es haben sich keine Fehler bei der Exponentenschreibweise eingeschliechen.

Horst,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Jetzt ist es schon deutlich klarer 🙂
Folgender Satz von dir stiftet noch Verwirrung bei mir:
Das verstehe ich nicht - wieso malnehmen mit dem Nenner, wenn es doch ein Exponent ist?
Danke schon mal und Gruß
Fini

Ja, es ist etwas unglücklich ausgedrückt, du musst es mit dem Exponenten mit der Zahl, welche im Nenner ist ( also [tex]5^{4^{n}*p}[/tex]) mal nehmen.

Hier ein einfaches Zahlenbeispiel um das nochmals zu erklären [tex]\frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{4^{1}})^{2}} = \frac{\frac{4^{1*2}}{1}}{\frac{2}{1}}[/tex]. Stell dir vor die zwei ist in diesem Fall das p.