Konvex | Konkav

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Jasmin,

ich habe mir das so gemerkt: konkav = engl. "cave" = Höhle

In eine Höhle kann es wegen des Daches nicht reinregnen.....

Wenn ich also einen Kurvenverlauf habe, bei dem das "Regenwasser" an den Seiten herunterläuft, habe ich einen konkaven Kurvenverlauf......

ist zwar etwas sehr unwissenschaftlich, ist aber klausurerprobt *lol*

Ich hoffe, ich konnte helfen

Sven
 
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tauchersven1 schrieb:
da haben wir zur selben Zeit zwei diametral entgegengestetzte Erklärungen.....😀

Ich fürchte, das hilft jetzt nicht wirklich weiter....
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hihi habe ich auch gerade festgestellt.

ABer ich erinnere mich, daß es sensationellerweise in der Wissenschaft beide Varianten gibt (kaum zu glauben aber wahr 😱 ).

in der Finanzwissenschaft wird wohl eher die "Höhlentheorie" verwendet,
mein Kaffeewissen stammt aus dem allge. Mathe-Unterricht.
 
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tauchersven1 schrieb:
da haben wir zur selben Zeit zwei diametral entgegengestetzte Erklärungen.....😀

Ich fürchte, das hilft jetzt nicht wirklich weiter....
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Danke trotzdem. Mal sehen wofür sich die Mehrheit entscheidet - das nehm ich dann 😀. Eventuell könnte man dem Lehrstuhl ja den Link zu dem Beitrag geben und entsprechend bitten dass Konvex und konkav in der Klausur dementsprechend angepasst werden 😎.
 
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Ich merke mir das immer so:

ich schreibe ein kleines "Schreibschrift a" und der linke Bogen nach oben führend stellt eine konkave Kurve da, für konvex mal ich ein kleines "Schreibschrift e", da stellt der Bogen von links unten nach rechts oben führende Teil eine konvexe Kurve da.

konkavoh6.jpg
 
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Also was mich verwirrt ist, wenn die Funktion konvex ist, dass die zweite Ableitung > 0 ist. Wenn sie Konkav ist, ist die zweite Ableitung < 0. Aber auf den ersten Blick sind das beides Steigungen im Punkt a. Danke für den Schreibschrift-Trick, so kann ich's mir, glaub ich, am besten merken 🙂.

Ich könnte das auch einfach auswendig lernen, aber wenn du's nochmal erklären könntest, yvonne, wäre das super 🙂.
 
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schmetterling schrieb:
Also was mich verwirrt ist, wenn die Funktion konvex ist, dass die zweite Ableitung > 0 ist. Wenn sie Konkav ist, ist die zweite Ableitung < 0.
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Richtig. Und das solltest Du Dir auch merken.

schmetterling schrieb:
Aber auf den ersten Blick sind das beides Steigungen im Punkt a.
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Das liegt daran, dass beides Steigungen im Punkt a sind. Nur ist die Frage: Nimmt sie Steigung weiter zu oder ab?

Beispiel: Bei der Treppe in Deinem Haus hat der Stift leider geschlampt. Eine Stufe ist 10 cm hoch, die nächste 11, und die übernächste 12. Offenbar gehts nach oben (positive Steigung = 1. Abl. >0), aber die Stufe werden steiler – 2. Abl. positiv = konvexe Treppe.

Es könnte aber auch sein, dass die Höhe der Stufen immer weiter abnimmt – 2. Abl. negativ = konkave Treppe.

Und noch eine Möglichkeit, sich das Ganze zu merken: Verbinde zwei Punkte auf der Kurve miteinander. Wenn die Kurve oberhalb der Verbindungslinie liegt, ist die Kurve konvex. Liegt die Kurve darunter, ist sie konkav.
 
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schmetterling schrieb:
Also was mich verwirrt ist, wenn die Funktion konvex ist, dass die zweite Ableitung > 0 ist. Wenn sie Konkav ist, ist die zweite Ableitung < 0. Aber auf den ersten Blick sind das beides Steigungen im Punkt a. Danke für den Schreibschrift-Trick, so kann ich's mir, glaub ich, am besten merken 🙂.

.
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erste Ableitung = 0 ist ja die Bedingung für ein Maximum oder Minimum, da bei einer Tangente an diesem Punkt die Steigung 0 ist.
Ist diese Voraussetzung erfüllt, dann:

zweite Ableitung > 0 ist die Bedingung für ein Minimum - und wenn es ein Minimum ist, dann ist die Funktion eine "Schüssel" oder eben ein "V" für konvex

oder
die zweite Ableitung ist <0, dies ist die Bedingung füt ein Maximum, die Funktion ist also oben gewölbt eben ein "A" für konkav
 
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kridbonn schrieb:
Beispiel: Bei der Treppe in Deinem Haus hat der Stift leider geschlampt. Eine Stufe ist 10 cm hoch, die nächste 11, und die übernächste 12. Offenbar gehts nach oben (positive Steigung = 1. Abl. >0), aber die Stufe werden steiler – 2. Abl. positiv = konvexe Treppe.

Es könnte aber auch sein, dass die Höhe der Stufen immer weiter abnimmt – 2. Abl. negativ = konkave Treppe.

Und noch eine Möglichkeit, sich das Ganze zu merken: Verbinde zwei Punkte auf der Kurve miteinander. Wenn die Kurve oberhalb der Verbindungslinie liegt, ist die Kurve konvex. Liegt die Kurve darunter, ist sie konkav.
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:dankescho - und auch dir, Yvonne 🙂!
 
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DerFlieger schrieb:
Ich behaupte mal, daß Wikipedia da schlicht falsch liegt bzw. sich widerspricht.
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So, jetzt mache ich die Verwirrung mal komplett: Ich fürchte nämlich, dass Wikipedia recht hat. 😱

Konkav heißt tatsächlich nach innen gewölbt, konvex nach außen gewölbt (Es lebe der Fremdwörterduden! 🙂 ). Für eine Linse ist das auch leicht nachvollziehbar: eine konkave Linse hat eine Vertiefung. Und die Linsen in meiner Suppe sind konvex. 😀

Aaaber – Diese Übersetzung ist bei unserem Problem wenig hilfreich, denn man muss sich ja die Frage stellen: Wo ist in einem Koordinatensystem außen und wo innen?

Also bleibt es dabei: die oben genannten Hinweise sind – bis auf den mit dem Kaffee – alle richtig. Einen davon solltet Ihr Euch merken und die Übersetzung schnell vergessen... :dafuer
 
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Konkav heißt einfach rechtsgekrümmt. Würde man mit einem Fahrrad an der Kurve langfahren, fährt man bei konkaven Kurven immer "Rechtskurven" (Das gilt natürlich nur, wenn man in Richtung höherer X-Werte (also von links nach rechts entlang der X-Achse) fährt).

Bei konvexen Kurven würde man entsprechend eine "Linkskurve" fahren. Deshalb ist die Normalparabel z. B. eine konvexe Funktion, weil man immer eine "Linkskurve" fährt. Eine Wurzelfunktion (Quadratwurzel) ist hingegen konkav, weil man eine Rechtskurve fährt.

Ich kann mir das am Besten mit konkAv (stilisierte Rechtskurve) und konVex (stilisierte Linkskurve) merken.
 
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Hendrik 123 schrieb:
Ich kann mir das am Besten mit konkAv (stilisierte Rechtskurve) und konVex (stilisierte Linkskurve) merken.
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Es gibt da auch noch eine andere Möglichkeit, sich das zu merken, allerdings ist die politisch evtl. nicht ganz korrekt:

Auf dem Dorf (Kaff) wohnen eher konservativere Menschen (Rechts). Also die konkaven Kurvenabschnitte (nicht daß einer konkaff schreibt 🙄) sind rechtsgekrümmt. für die Konvexen bleibt dann nur die Linkskrümmung.

Aber um das nochmal klarzustellen: Das ist natürlich keine politische Bewertung, sondern nur eine Eselsbrücke!
 
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Sepp schrieb:
Konvex = ) ( sind X-Beine
Konkav = ( ) sind O-Beine
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Bei Linsen stimmt das. Aber Du hast bei beiden Beispielen jeweils einmal eine Rechte und eine linke Klammer genommen - nur in umgekehrter Reihenfolge.

Aber bei Kurven ist das etwas problematischer, da jeweils nur eine Kurve vorhanden ist (sozusagen eine auf den Bauch gelegte rechte bzw. linke Klammer). Wo sind z. B. bei der Kurve des Tildezeichens ~ X bzw. O-Beine (da fehlt jeweils das Gegenstück)? Der erste Teil ist hier rechtsgekrümmt (konkav), der zweite Teil ist linksgekrümmt (konvex).

Hauptsache, ich bin jetzt nicht selber durcheinandergekommen 😀.
 
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Ich habe auch dazu eine Erklärung, hoffe dass die verständlich rüberkommt:
z.B. Normalparabel x²:
Die Normalparabel ist im Koordinatensystem nach oben hin offen.
Und sie ist konvex.
KONVEX bedeutet aber nach außen gewölbt.
Beides ist richtig, denn es kommt auf die Sichtweise an.
Im Koordinatensystem ist die X-Achse (Abzisse) die Bezugslinie, von der aus die Funktion richtigerweise betrachtet wird.
Schaut man sich die Parabel also "von unten" an, ist sie gewölbt. Und somit Konvex.
Hat das jemand verstanden?
 
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Sepp schrieb:
Hallo Hendrik,
"von der Mitte aus betrachtet"
sind beide Klammer zu mir her gewölbt )( = konvex, und zwar beide für mich aus meinem Betrachtungsstandpunkt.
bzw. vertieft () = konkav
Es kommt, und deshalb die allgemeine Verwirrung hier, natürlich immer drauf an von wo aus man die Kurve betrachtet, denn jede konvexe Kurve ist von der anderen Seite her gesehen konkav. Und durch das Beispiel mit den X-Beinen und der Betrachtung von der Mitte her ist dieses Problem gelöst.
MfG
Sepp
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Hallo Sepp,

vielleicht ist mein Problem dabei, dass ich nicht bei jeder Funktion sofort "eine Mitte" sehe. Bei der Normalparabel ist das einleuchtend, "in" der Parabel zu stehen. Aber was ist z. B. mit einer Sinus/Kosinusfunktion (Z. B. f(x)=sin(x)+10. Verlauf ungefähr so: ~~~~~~, natürlich zusammenhängend). Wo liegt da die "Mitte" um zu entscheiden, welcher Funktionsabschnitt konvex und welcher konkav ist?

Vielleicht verstehe ich dass ja auch nur nicht, weil ich immer nur die Fahrradfahrregel anwende 😀. Da kann ich mir sofort klarmachen, bis zu welchem Wendepunkt die Funktion konkav (rechtsgekrümmt) bzw. konvex (linksgekrümmt)ist.

Gruß Hendrik 123
 
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Guntram.W schrieb:
Ich habe auch dazu eine Erklärung, hoffe dass die verständlich rüberkommt:
z.B. Normalparabel x²:
Die Normalparabel ist im Koordinatensystem nach oben hin offen.
Und sie ist konvex.
KONVEX bedeutet aber nach außen gewölbt.
Beides ist richtig, denn es kommt auf die Sichtweise an.
Im Koordinatensystem ist die X-Achse (Abzisse) die Bezugslinie, von der aus die Funktion richtigerweise betrachtet wird.
Schaut man sich die Parabel also "von unten" an, ist sie gewölbt. Und somit Konvex.
Hat das jemand verstanden?
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Ja, nur so kann man sich vorstellen, dass die Parabel konvex (nach außen gewölbt) ist.

Heißt das jetzt, die Funktionen muss man immer von oberhalb der x-Achse betrachten, um erkennen zu können, ob sie nach innen gewölbt (konkav) oder nach außen gewölbt (konvex) ist?
 
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Mac-Bine schrieb:
Ja, nur so kann man sich vorstellen, dass die Parabel konvex (nach außen gewölbt) ist.

Heißt das jetzt, die Funktionen muss man immer von oberhalb der x-Achse betrachten, um erkennen zu können, ob sie nach innen gewölbt (konkav) oder nach außen gewölbt (konvex) ist?
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Konvex bedeutet linksgekrümmt und das ein Tiefpunkt vorliegt f'' > 0
Konkav bedeutet rechtsgekrümmt und das ein Hochpunkt vorliegt f'' < 0
 
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ohne, dass ich alle Beiträge gelesen hätte - zu dem Thema fällt mir ein schöner Merksatz ein:

Ist die Katze konkav, so war die Katze brav. Ist die Katze konvex, so hatte die Katze Sex.

Zwar nicht ganz jugendfei, doch sehr einprägend.

Man kann es sich auch mathematisch merken, denn in konvexen Mengen M sind alle Verbindungslinien zweier beliebiger Punkte a, b aus dieser Menge ganz in M enthalten.
 
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mathematik-netz.de schrieb:
Hallo zusammen,

ohne, dass ich alle Beiträge gelesen hätte - zu dem Thema fällt mir ein schöner Merksatz ein:

Ist die Katze konkav, so war die Katze brav. Ist die Katze konvex, so hatte die Katze Sex.

Zwar nicht ganz jugendfei, doch sehr einprägend.

Man kann es sich auch mathematisch merken, denn in konvexen Mengen M sind alle Verbindungslinien zweier beliebiger Punkte a, b aus dieser Menge ganz in M enthalten.
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Hallo,
leider ist in manchen Fällen dieser Satz nicht anwendbar, denn da ist es genau umgekehrt! Genau darum geht es hier...
Liebe Grüße Sabrina
 
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Sabrina,

zunächst einmal ist wohl offensichtlich, dass dies kein mathematischer Satz sein soll sondern eine Heuristik. Natürlich kann die von mir erwähnte Heuristik nicht die Definition ersetzen, soll sie ja auch nicht. Mit diesem Merksatz wollte ich konvexe Funktionen f:R->R charakterisieren. Will man den Begriff konvex im höherdim. definieren benötigt man etwas Topologie, diese Fall grenzen wir also lieber aus.

Und auf welche Funktion lässt sich dieser "Satz" dann bspw. nicht anwenden? Vielleicht hast Du ja ein konkretes Bsp?
 
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