Kurseinheit 1 Übungsaufgabe 22c

Ja, Du hast recht.
W_M=1/16
W**=1/8

Gruß
Denis

bei a) muss man die Bedingung erster Ordnung erstellen. Soweit so gut, aber wie berechne ich hieraus die Lösungen des Gleichungssystems? Das gleiche Problem habe ich bei b) auch 🙁

Und dann stelle ich mir noch die Frage, wie ich bei b) auf die Wohlfahrsfunktion komme.

Kann mir das bitte einer erklären?

Viele Grüße
Silvia

Für den Monopolisten leitest Du die Gewinnfunktion einmal nach X und einmal nach q ab. Damit hast Du ein Gleichungssystem und 2 Unbekannte.
Der Sozialplaner maximiert die Wohlfahrt, die ist auf S.35 in Gleichung 1.2.3-6 definiert. Hier selbes Spiel: Wohlfahrt nach q und x ableiten, umstellen. Hoffe ich habe Deine Frage richtig verstanden, Gruß
Denis.

Silvia77 schrieb:

Hi ihr,

Und dann stelle ich mir noch die Frage, wie ich bei b) auf die Wohlfahrsfunktion komme.

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Na wenn Du P mal ausklammerst, steht doch da [tex]P=a*q - X*q[/tex]
Die Wohlfahrt ist das Integral unterhalb der Nachfragefunktion = MZB und oberhalb der GK.
Also musst du die Stammfunktion von [tex]a*q-X*q[/tex] bilden.

Kleiner Tipp hierbei, den ich immer nutze:
Ich Frage mich dann immer, was muss vorher dort gestanden haben, dass nach dem Ableiten hier z. B. [tex]a*q-X*q[/tex] rauskommt.😉

Die Kostenfunktion ist die Stammfunktion der GK-Funktion, hier brauchst Du also nichts zu tun.

Somit ergibt sich als Wohlfahrtsfunktion:

[tex]W = a * q * X - \frac{1}{2} * X^2 * q - \frac{1}{2} * b * q^2[/tex]

Jetzt musst Du nur noch nach q bzw. x ableiten und erhälst die Bedingungen 1. Ordnung für das sozial-optimale Niveau der Qualität:

[tex]\frac{\delta W}{\delta q} = a * x - \frac{1}{2} x ^2 - b * q = 0[/tex]

[tex]\frac{\delta W}{\delta x} = a * q - X * q = 0[/tex]

Aus der letzten Gleichung erhält man: [tex] a = X [/tex]

Das setzt Du in die erste Gleichung ein und erhältst nach Umstellen:

[tex]\frac{a^2}{2*b} = q[/tex]

OK ????😕🙂🙄

Grüße
Alex

Alex,

dankeschön! Ich habe mir das Ganze nun mal angeschaut. Heißt dass, das die Wohlfahrtsfunktion nichts anderes ist als die Subtraktion der Kostenfunktion von der Nachfragefunktion? Und die Nachfragefunktion ist die Stammfunktion der Preisfunktion? Mit welchem Buchstaben wird die Nachfragefunktion denn sonst dargestellt? Ist das dann P^N?

Kannst du mir vielleicht auch noch aufschreiben, wie ich den Wohlfahrtsverlust ermittle? Ich habe verstanden, dass ich die zwei Integrale/Wohlfahrtfunktionen voneinander abziehen muss. Die Integrale sind von 0 bis x und für x muss ich beim ersten Integral a und beim zweiten a/2 einsetzen. Aber wie komme ich dann zu der Lösung 1/16 a^4/b?

Schöne Grüße
Silvia

Silvia77 schrieb:

Hallo Alex,

dankeschön! Ich habe mir das Ganze nun mal angeschaut. Heißt dass, das die Wohlfahrtsfunktion nichts anderes ist als die Subtraktion der Kostenfunktion von der Nachfragefunktion? Und die Nachfragefunktion ist die Stammfunktion der Preisfunktion? Mit welchem Buchstaben wird die Nachfragefunktion denn sonst dargestellt? Ist das dann P^N?

Kannst du mir vielleicht auch noch aufschreiben, wie ich den Wohlfahrtsverlust ermittle? Ich habe verstanden, dass ich die zwei Integrale/Wohlfahrtfunktionen voneinander abziehen muss. Die Integrale sind von 0 bis x und für x muss ich beim ersten Integral a und beim zweiten a/2 einsetzen. Aber wie komme ich dann zu der Lösung 1/16 a^4/b?

Schöne Grüße
Silvia

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Die Wohlfahrtsfunktion ist die Fläche unterhalb der Nachfragefunktion und oberhalb der Grenzkostenfunktion, da sie ja die Summe aus Produzenten- und Konsumentenrente ist!
Also: Das Integral der Nachfragefunktion (=die Fläche unterhalb der Nachfragefunktion) minus dem Integral der Grenzkostenfunktion (=die Fläche unterhalb der Grenzkostenfunktion).
Das Integral berechnest du ja auf die oben dargestellte weise. Hier ist halt nur zu beachten, dass Du das Integral der Grenzkostenfunktion nicht zu berechnen brauchst, denn die Stammfunktion der Grenzkostenfunktion ist ja nun mal die Kostenfunktion!
Somit ergibt sich also als Wohlfahrt:
Integral der Nachfragefunktion minus Kostenfunktion!

Übrigens der Begriff Preisfunktion ist praktisch ein Synonym für die Nachfragefunktion, halt nur umgestellt. Eine Nachfragefunktion lautet x= ....; stellst Du diese Funktion nach P um, so hasst Du die Preisfunktion. Der Aussagegehalt ist aber identisch, das Kind heisst jetzt nur anders😉.

OK?

ulli30 schrieb:

Hallo,

ich habe gerade die Aufgabe durchgerechnet.
a und b sind mir klar doch bei c komme ich nur auf das Ergebnis wenn ich die angegebene Bedingung umdrehe:

Ist es möglich dass die Bedingung lauten soll:

W= W** - WM und nicht wie im Skript W = WM - W**

Ich bin etwas verwirrt

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Seid Ihr da sicher?
Im Monopol ist die Wohlfahrt doch geringer als im sozialen Optimum, also müsste [tex] \Delta W = W_M - W^{**} [/tex] doch eigentlich stimmen????

Das mal zum Grundprinzip, aber wie habt Ihr denn die Werte errechnet. Ich dachte mir, ich setze einfach in die Wohlfahrtsfunktion den Wert für die monopolgleichgew. Quali ein und subtrahiere dann die Wohlfahrtsfunktion für das sozial optimale q.
Mit der Lösung in der KE kann ich gar nichts anfangen, ich weiss gar nicht, wie der/die/das auf diese Werte dort kommt! :confused

Alex,

ich glaube, ich hatte die Berechnung des Wohlfahrtsverlustes völlig falsch verstanden. Ich hatte gedacht, dass ich noch mal das Integral berechnen muss. Wie dem auch sei, interpretiere ich es nun richtig, dass du den Verlust folgendermaßen ermittelt hast?

(aqx-1/2qx²-1/2bq²) - (aqx[/COLOR]-1/2qx[/COLOR]²-1/2bq²)
(aqa-1/2qa²-1/2bq²) - (aq(a/2)[/COLOR]-1/2q(a/2)[/COLOR]²-1/2bq²)

Und wie hast du dann die Umstellungen vorgenommen, so dass du auf 1/16 a^4/b gekommen bist? Mathe ist nicht so meine Stärke… 😱

Schöne Grüße
Silvia

Alex,

meine Frage hat sich erledigt. Ich hab´s verstanden. Man hatte ich ein Brett vorm Kopf...:auweia:

Danke nochmal für deine vielen Erklärungen!!

Schöne Grüße
Silvia

Silvia77 schrieb:

Hi Alex,

meine Frage hat sich erledigt. Ich hab´s verstanden. Man hatte ich ein Brett vorm Kopf...:auweia:

Danke nochmal für deine vielen Erklärungen!!

Schöne Grüße
Silvia

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Ich habe es leider noch nicht verstanden...
Wie gelangt man bei KE 1 Aufgabe 22 c) zu der Lösung:
W=Wm - W**= a^4/2b -a^4/4b - ..... ???
Woraus ergeben sie die Brüche?

Silvia77 hast doch eh schön aufgeschrieben. Du setzt einfach in die Wohlfahrtsfunktion die Werte vom Monopol (a/2, a^2/4b) für X und q ein und detto die errechneten Werte des Sozialplaners (a, a^2/2b), bildest die Differenz und hast dann den Wohlfahrtsverlust.

ulli30 schrieb:

Hallo,

ich habe gerade die Aufgabe durchgerechnet.
a und b sind mir klar doch bei c komme ich nur auf das Ergebnis wenn ich die angegebene Bedingung umdrehe:

Ist es möglich dass die Bedingung lauten soll:

W= W** - WM und nicht wie im Skript W = WM - W**

Ich bin etwas verwirrt

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Der Fehler ist im Skript. Es muss lauten W = W** - WM. Wurde in der Fehlerliste korrigiert. Der hintere Teil der Gleichung wurde aber richtig berechnet.