Thorsten,
die gegebene Produktionsfunktion sieht anders aus (genau lesen!), nämlich so:
Q = y * L^a * C^(1-a)
1. Möglichkeit: "Totales Differential = 0"
GRS(L, C)
= -dL/dC
= (dQ/dC) / (dQ/dL)
= y * L^a * (1-a) * C^(1-a-1) / (y * a * L^(a-1) * C^(1-a))
= ((1-a)/a) * L^(a-a+1) * C^(1-a-1-1+a)
= ((1-a)/a) * L/C
2. Möglichkeit: Ableitung der Isoquante
L^a = Q * y^-1 * C^(a-1)
Isoquante: L = Q^(1/a) * y^(-1/a) * C^((a-1)/a)
GRS(L, C)
= -dL/dC
= -Q^(1/a) * y^(-1/a) * ((a-1)/a) * C^(((a-1)/a)-1) .............................// Ableitung von L nach C
= -(y * L^a * C^(1-a))^(1/a) * y^(-1/a) * ((a-1)/a) * C^(((a-1)/a)-1) ...// Q = y * L^a * C^(1-a) einsetzen
= -y^((1/a)-(1/a)) * L^(a/a) * ((a-1)/a) * C^(((1-a)/a) - ((1-a)/a) - 1)
= -y^0 * ((a-1)/a) * L^1 * C^-1
= -((a-1)/a) * L/C
= ((1-a)/a) * L/C
Liebe Grüße