Noch ein Mathe-Fehler?

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Michael79

Dr Franke Ghostwriter
Noch ein Mathe-Fehler?

Hallo nochmal,
ja - vertreibe mir diesen grauen Sonntag immer noch mit der Wachstumstheorie. Immerhin bin ich aber schon fünf Seiten weiter.
Da steht jetzt auf Seite 41 Gleichung (1.2-29):
de/dt = [f'(k)-%delta%] * dk/dt
Die Argumentation dazu ist:
Wenn KEIN Wachstumsgleichgewicht existiert, weil s*f(k) IMMER über der Geraden (s*%delta% + n) * k liegt und damit dk/dt > 0 immer gilt, heißt das noch lange nicht, dass auch das Pro-Kopf-Volkseinkommen - e - immer weiter steigt, weil ja bei %delta% > f' (k) de/dt negativ ist.
Das ist zwar richtig, aber kann %delta% größer werden als die Grenzproduktivität des Kapitals?
Immerhin ist dann doch auch s * %delta% > s * f' (k)
Und erst recht s * %delta% + n > s * f' (k).
Das heißt die Steigung der Geraden ist größer als die der s*f(k)-Kurve.
Und dann muss man doch nur warten, bis sich irgendwann ein Schnittpunkt ergibt und man hätte das Gleichgewicht, das es gar nicht gibt, oder?!
Nebenbei bemerkt: Wenn das Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag gilt, dann muss es zwangsläufig irgendwann (zugegegben: vielleicht bei einem sehr großen k) ein Gleichgewicht geben. Schließlich wird f' immer kleiner, während die Steigung der Geraden konstant ist...

Zugegeben: Das ist ein bißchen komplizierter als die Ableitung, ' hoffe aber trotzdem auf Eure Hilfe.
Michael
 
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Ich glaube, diesmal liegt der Denkfehler eher bei Dir... 😛 😀 😀

Im besagten Abschnitt geht es daraum, dass die Produktionsfunktion die Inada-Bedingungen nicht erfüllt, und dann wäre die Grenzproduktivität des Kapitals nicht zwangsläufig fallend.

Es ist also z.B. nicht lim(k gegen Unendlich) f'(k) = 0. D.h. dass k ohne Grenze anwächst. Man könnte sich etwa vorstellen, dass s*f(k) auch eine Gerade wäre oder eine konvexe Kurve.

Aber selbst das heißt dann nicht, dass Pro-Kopf-Einkommen oder Pro-Kopf-Konsum ständig anwachsen – mit der Argumentation auf Seite 41. Die Ableitung nach der Zeit ist in diesem Falle sogar richtig... :rolleyes
 
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kridbonn schrieb:
Ich glaube, diesmal liegt der Denkfehler eher bei Dir... 😛 😀 😀
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Ach... Mist! ;o) Aber so leicht gebe ich mich nicht geschlagen...
kridbonn schrieb:
Im besagten Abschnitt geht es daraum, dass die Produktionsfunktion die Inada-Bedingungen nicht erfüllt, und dann wäre die Grenzproduktivität des Kapitals nicht zwangsläufig fallend.

Es ist also z.B. nicht lim(k gegen Unendlich) f'(k) = 0. D.h. dass k ohne Grenze anwächst. Man könnte sich etwa vorstellen, dass s*f(k) auch eine Gerade wäre oder eine konvexe Kurve.

Aber selbst das heißt dann nicht, dass Pro-Kopf-Einkommen oder Pro-Kopf-Konsum ständig anwachsen – mit der Argumentation auf Seite 41. Die Ableitung nach der Zeit ist in diesem Falle sogar richtig... 🙄
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Ja... Die Ableitung ist OK. Mein Argument ist nur:
Wenn s*f(k) z.B. eine Gerade ist, dann ist f'(k) konstant und dann eben immer größer oder kleiner als %delta%.
Bei f(0) > 0 gibt es dann entweder (für f' < %delta% s*f' < s * %delta% + n) ein Gleichgewicht oder k und c und e wachsen ins Unendliche.
Bei f(0) = 0 gibt es dagegen für f' < %delta% s*f' < s * %delta% + n kein Gleichgewicht bzw. nur das Gleichgewicht k=0. Für f' > %delta% s*f' > s * %delta% + n gibt's dagegen ein "ganz normales" Gleichgewicht.
Ist s*f(k) konvex, gibt es bei f(k) = 0 ein Gleichgewicht.
Bei f(k) > 0 dagegen nicht unbedingt. Aber trotzdem gilt: Entweder es gibt ein Gleichgewicht (wenn s*%delta% + n hinreichend groß ist) oder es gibt keins. Dann wachsen aber auch Pro-Kopf-Einkommen und -Konsum ohne Grenzen, da ja mit steigendem k auch f'(k) immer größer wird.
Höchstens am Anfang, wenn k noch niedrig ist, könnte de/dt < 0 sein. Aber das ist ein temporärtes Problem. Langfristig wird ja f' > %delta% gelten.
Aber, zugegeben: Der hier propagierte Pro-Kopf-Einkommensrückgang bei ohne Grenzen wachsendem k ist möglich, wenn f' nicht monoton ist... Dann ging's - denke ich - oder?! *grübel* Vielleicht auch dann nur über bestimmten Intervallen von k - also temporär... Gruß Michael
 
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Ich weiß nicht, ob ich Deine Argumentation ganz verstehe. Es könnte natürlich im Ursprung ein GG geben, weil sich die beiden Kurven dort schneiden. Aber das wäre ökonomisch nicht sehr sinnvoll – denn dann wird ja nix produziert. Es wird nichts hergestellt, also auch nichts gespart (weil es ja kein Einkommen gibt) also wird auch nichts hergestellt. Das wäre dann Null-Wachstums-Theorie... 😀 😀
 
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Ja, zugegeben: Das Gleichgewicht ist (hoffentlich) mehr ein mathematisches Phänomen denn eine realistische Möglichkeit. Aber wenn f(0) = 0 ist, ist das immer ein Gleichgewicht. Da könnte man sich also die Frage stellen, wie unsere Ur-Väter und -Mütter es wohl geschafft haben Kapital anzuhäufen ;o) Jaja... Ich weiß: Den Weltfrieden werden solche Überlegungen wohl kaum sichern... Ich hör' ja auch schon auf damit...
 
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Nee, für den Weltfrieden sind andere zuständig. 😀

Prinzipiell hast Du ja recht: Es gibt in 0 immer ein Gleichgewicht dabei. Nur mit Wachstum ist da eben nichts.

Aber eben mit Wachstum der Produktion ist nichts, weil nichts produziert wird. Das schließt aber andere Formen von Wachstum nicht aus. Zugegebenermaßen fällt es mir jetzt schwer ein Beispiel zu finden, in dem Geld sich ganz unproduktiv vermehrt.😱 Wobei es doch schon Produktion gab, bevor Geld vermehrt wurde. Kapital ist doch aber gerade nicht (nur) Geld. Vor allem gehört dazu z.B. Boden. Und davon hatten unsere Urväter und -mütter ja reichlich frei zur Verfügung. Daher vielleicht Wohlstandswachstum?
Außerdem ist glaube ich die Frage, in dem Punkt, was unter Produktion zu verstehen ist. Gehört jagen und sammeln auch schon dazu? Dann produzieren die Menschen schon seit Ewigkeiten - und nicht nur diese.

Ergo ist f(0)=0 wahrscheinlich tatsächlich nur eine rein mathematische Lösung bzw. realiter produziert man eben. Es gibt keine Produktion von 0... Oder?
 
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