Mal ein konkretes Beispiel, bei dem ich Faktormengenverhältnisse und Grenzrate der Substitution und deren relative Änderungen zu Fuß ausrechne:
Cobb-Douglas-Produktionsfunktion x = r1^1/2 * r2^1/3
Wir betrachten den Produktionspunkt (r1 = 4, r2 = 27).
Die Produktionsmenge ist dort x = 4^1/2 * 27^1/3 = 2 * 3 = 6
Das Faktormengenverhältnis ist r1/r2 = 4/27
Berechnen wir die Grenzrate der Substitution S12 = -dr1/dr2:
x = r1^1/2 * r2^1/3
r^1/2 = x * r2^-1/3
r1 = x^2 * r2^-2/3
dr1/dr2 = -2/3 * x^2 * r2^-5/3 = - 2/3 * (r1^1/2 * r2^1/3)^2 * r2^-5/3 = -2/3 * r1/r2
Also: S12 = -dr1/dr2 = 2/3 * r1/r2
Im Produktionspunkt (r1 = 4, r2 = 27) ist also S12 = 2/3 * 4/27 = 8/81
Jetzt erhöhen wir S12 marginal um das 1,00003 fache, also auf 8/81 * 1,00003
Im dazugehörigen Produktionspunkt gilt dann:
S12 = 8/81 * 1,00003 = 2/3 * r1/r2
r1 = r2 * 8/81 * 3/2 * 1,00003 = r2 * 4/27 * 1,00003
x
= 6
= r1^1/2 * r2^1/3
= (r2 * 4/27 * 1,00003)^1/2 * r2^1/3
= r2^5/6 * (4/27 * 1,00003)^1/2
r2
= (6 / (4/27 * 1,00003)^1/2)^6/5
= (6 / (4/27 * 1,00003)^6/10
r1
= r2 * 4/27 * 1,00003
= (6 / (4/27 * 1,00003)^6/10) * 8/81 * 3/2 * 1,00003
= 6 * (4/27 * 1,00003)^4/10
Der Produktionspunkt, der zur um das 1,0003 fache erhöhten Grenzrate der Substitution gehört, lautet also
r1 = 6 * (4/27 * 1,00003)^4/10
r2 = 6 / (4/27 * 1,00003)^6/10
Das veränderte Faktoreinsatzmengenverhältnis ist :
r1/r2
= 6 * (4/27 * 1,00003)^4/10 / [6 / (4/27 * 1,00003)^6/10]
= 4/27 * 1,00003
Man erkennt: Das Faktormengenverhältnis r1/r2 (alt: 4/27; neu: 4/27 * 1,00003) hat sich ebenfalls um das 1,00003 fache erhöht.
Die Änderung der Grenzrate der Substitution und des Faktormengenverhältnis sind also gleichstark (Ver-1,00003-fachung)
Das erkennt man auch schon früher. Ich zitiere mich mal:
Jetzt erhöhen wir S12 marginal auf das 1,00003 fache, also auf 8/81 * 1,00003
Im dazugehörigen Produktionspunkt gilt dann:
S12 = 8/81 * 1,00003 = 2/3 * r1/r2
r1 = r2 * 8/81 * 3/2 * 1,00003 = r2 * 4/27 * 1,00003
Jetzt kann man bereits r1/r2 berechnen und erhält:
r1/r2 = r2 * 4/27 * 1,00003 / r2 = 4/27 * 1,00003
D.h. das neue Faktormengenverhältnis ist das 1,00003-fache des alten (= 4/27).
So habe ich es im letzten Beitrag ja auch allgemein für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion hergeleitet:
Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist die Substitutionalitätselastizität also stets 1, d.h. das Faktormengenverhältnis in einem Produktionspunkt (r1, r2) ändert sich genauso stark (relativ) wie die Grenzrate der Substitution in diesem Produktionspunkt.
Obacht: Im diesem Beispiel sieht man der Rechnung an, dass es egal ist, welchen Faktor man einsetzt (wir haben es mit 1,00003 gemacht), es kommt immer das gleiche Verhältnis heraus. Das liegt daran, dass bei Cobb-Douglas die Substitutionselastizität immer 1 ist. Wenn das nicht der Fall ist und die Substitutionselastizität sich von Produktionspunkt zu Produktionspunkt ändert, dann kommt man dem korrekten Ergebnis nur nahe. Und zwar umso näher, je kleiner die Änderung ist. Es handelt sich eben um eine Punktelastizität und das ist eine Grenzwertbetrachtung mit einer marginalen Änderung (also unendlich kleinen Änderung gegen 0).
Liebe Grüße