Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Der Betrag des Vektors

[tex]
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
[/tex]

ist

[tex]
\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
[/tex]

Du mußt nun jede Komponente des Vektors durch diesen Wert dividieren, um den Vektor zu normieren. Die einzelnen Elemente des normierte Vektors lauten also:

[tex]
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt 3}{\sqrt 3} = \frac 1 3 \sqrt 3
[/tex]

und damit der Vektor ... oder ... oder am einfachsten...
[tex]
\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} \frac 1 3 \sqrt{3} \\ \frac 1 3 \sqrt{3} \\ \frac 1 3 \sqrt{3} \end{array} \right) =
\frac 1 3 \sqrt 3 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
[/tex]

Dieser normierte Vektor hat nun die Länge
[tex]
\sqrt{ \left( \frac 1 3 \sqrt 3 \right)^2 + \left( \frac 1 3 \sqrt 3 \right)^2 + \left( \frac 1 3 \sqrt 3 \right)^2 } = \sqrt{ 3 \cdot \left( \frac 1 3 \sqrt 3 \right)^2 }
= \sqrt{ 3 } \cdot \left( \frac 1 3 \sqrt 3 \right) = \frac 1 3 \cdot 3 = 1
[/tex]
- wie gefordert

Noch eine Frage zum Schmidt

Hallo NBI,

ich habe zwar verstanden, wie ich die Wurzel drei berechne, aber wo kommt die 1 über dem Bruchstrich her ... (ich sitze gerade richtig auf der Leitung). Teile ich hier 1 (was die Seitenlänge für einen normierten Vektor ist) durch die HNF?????? Oder ist das nur eine ungewohnte Schreibweise, weil er nicht dreimal hintereinander 1/wurzel drei + ... geschriebn hat (und wäre es der Vektor (2,2,2), dann würde eine 2 über dem Bruchstrich stehen?).

Danach kann ich wieder folgen... bis zur Berechnung von u².... wie kommt er zu 1/Wurzel 6? Könntest du das bitte auch noch kurz erklären? Ich hab gerade einen Konten im Hirn. Mathe schafft mich echt

Californiagirl schrieb:

wäre es der Vektor (2,2,2), dann würde eine 2 über dem Bruchstrich stehen?

Zum Vergrößern anklicken....

Bingo! 🙂

Und hättest Du einen Vektor (1,2,3), so lieferte die Normierung:
[tex]
\vec a_n = \frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{19}} \\ \frac{2}{\sqrt{19}} \\ \frac{3}{\sqrt{19}} \end{array} \right)
[/tex]

Californiagirl schrieb:

Danach kann ich wieder folgen... bis zur Berechnung von u².... wie kommt er zu 1/Wurzel 6?

Zum Vergrößern anklicken....

Wo steht das denn?

Danke NBI,
danke Angeldust,

irgendwie hab ich gestern vor lauter Wurzeln den Wald nicht mehr gesehen

OK, nach der ganzen Hin- und Herrechnerei steh ich wohl auch nun ein wenig daneben.

Ich habe nun das ganze Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren durch.

Dabei kommt raus

[tex]u^3 = sqrt{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]

das erhalte ich auch, aber im Videostreaming von der Uni Hagen kommt raus:

[tex]u^3 = \begin{pmatrix} \frac{1}sqrt{2} \\ \frac{-1}sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]


Ist das wirklich dasselbe?
Irgendwie kann ich heut nimmer rechnen, denn das müsste ja bedeuten, dass [tex]sqrt{2} * \frac{1}{2} [/tex] = [tex]\frac{1}sqrt{2} [/tex]

Und da komm ich irgendwie nicht mehr hin ...
ist das wirklich dasselbe, ergeben die beiden Lösungen das Gleiche?

tinigridi schrieb:

Irgendwie kann ich heut nimmer rechnen, denn das müsste ja bedeuten, dass [tex]sqrt{2} * \frac{1}{2} [/tex] = [tex]\frac{1}sqrt{2} [/tex]

Zum Vergrößern anklicken....

Das ist auch so.
[tex]\frac{1}sqrt{2} = \frac{sqrt2}{sqrt2*sqrt2}
= \frac{sqrt2}{2}
[/tex]

Der Mathematiker an sich und speziell der Numeriker mit dem Rechenschieber hat ungern eine lange Kommazahl im Nenner stehen.

Gruß
Jürgen

Danke, ich glaub nach dem 11. Mal hinschauen hats auch bei mir *klick* gemacht, puuhh

ich habe mal so eine Frage ist dieses thema von WirtschaftsmathematikI und welche Kurseinheit waere es?

Weil irgendwie bin ich auf dieses Thema noch nicht gestossen....aber es ist ja sehr aehnlich mit der hesschesche normalform.

Ja, das Thema kommt in Mathe in Wiwi vor.

Erste Kurseinheit, Kurs 00053, Seite 53.

Kam jedoch nie zur Prüfung dran, bzw. hat mal ein Mentor gesagt, das so eine Berechnung eine halbe Stunde dauern könnte ...

Hab auch so einige fragen zu diesem thema...

...nur vorne weg eine viel wichtigere:
wie bekommt ihr die formeln hier in eure texte???
bei mir funktioniert das nicht!!!

#?t=23540

Achja, ich hätte da noch einen genaueren Lösungsweg zur Orthonormalisierung. (Bsp. von KE 1, Seite 53)

Ist immer noch nicht DER genaueste, aber vielleicht kommt der eine oder andere weiter als bisher ..

tini

Danke tini, werd mir das dann mal fix durchlesen und mich dann wieder meinen fragen widmen :eek

noch fix eine kurze frage...ich finde aber keinen befehl, wie man den vektor darstellen kann.
das wäre super, wenn mir das noch jemand verraten könnte.

danach kann ich (denke ich) mitdiskutieren!!!

grüße, nadine

Okay, da mir leider niemand die Frage beantworten kann, wie ich vektoren hier als formel darstellen kann (hab es bei den bsp. nicht gefunden), werd ich mein problem als word-datei anhängen.

ich bin mit diesem problem echt ein wenig überfordert 🙁
brauch kleine denkanstöße.
das wäre echt suuuuuuuuuper.
vielen dank schon mal im voraus.

liebe grüße
nadine

Ok, dann warten wir mal, bis unsere Anhänge freigeschaltet wurden 🙄


Aber ich schätze, hier musst du es finden können:
https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

Bei den Matrizen, in der Mitte der Homepage, bzw. eher darunter:
{n \choose k} [tex] {n \choose k}[/tex]

oder auch

\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix} [tex] \begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix}[/tex]

Vor dem Befehl kommt noch [ tex]
und zum Schluss [ /tex]
(ohne meinem Lehrzeichen dazwischen)

Vielen dank tini...hätte da aber noch fix ne winzige Frage zu 🙄
wie heißt der befehl, wenn ich einen vektor des [tex]R^3[/tex] oder mehr haben will???
hatte das nämlich mit dem befehl ausprobiert und versucht einen befehl für 3 zahlen zu machen - hat leider nicht funktioniert

TEST: [tex]\begin{pmatrix} x & y & v \end{pmatrix}[/tex]

Hmm, momentan will es bei mir auch noch nicht so, muss ich erst mal rumprobieren ...

[tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/tex]

Ich glaub, das ist besser, gell?

[ tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[ /tex]

tinigridi schrieb:

ok, dann warten wir mal, bis unsere Anhänge freigeschaltet wurden 🙄

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Ist gerade passiert. Sorry, das hat wohl was gedauert. 😉 Wenn mal wieder länger dauert, haut ruhig einen der Tutoren an, die zuständig für den Bereich sind.

Aja, das war mir noch nicht klar wie das alles funktioniert

{n \choose k} ist nicht für Vektoren gedacht, sondern für Binomialkoeffizienten (n über k). Deshalb gibts das nur für 2.

bunnny85 schrieb:

okay, da mir leider niemand die Frage beantworten kann, wie ich vektoren hier als formel darstellen kann (hab es bei den bsp. nicht gefunden), werd ich mein problem als word-datei anhängen.

ich bin mit diesem problem echt ein wenig überfordert 🙁
brauch kleine denkanstöße.
das wäre echt suuuuuuuuuper.
vielen dank schon mal im voraus.

liebe grüße
nadine

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Hi, ich bin gerade bei deinem Anhang, vielleicht magst du mir deine E-Mail Adresse mitteilen, damit ich dir die Datei mit meinen Kommentaren zurückschicken kann?

Du bist meine rettung @ tini :freu:
werd dir meine mailadresse gleich mal per pn schicken.

vielen dank schon mal!!! :dankescho

Bist du nun klar gekommen mit der Berechnung, bunnny85?

tini,

erstmal sorry für die späte antwort.
hab es bis jetzt schon mal zur hälfte verstanden 😀 der rest kommt später 🙄
bin nur momentan viel beschäftigt, da ich auf dem weihnachtsmarkt arbeite...komm nicht so viel zum studieren.
ich bedanke mich erstmal recht herzlichst für deine super erklärung!!! 🙂

liebe grüße
nadine

Viiiiiiiiiiiielen vielen dank @ tini :applaus:
hab es verstanden :freu:
jetzt bin ich erstmal total happy etwas mathematisches verstanden zu haben, auch wenn das nicht klausurrelevant sein sollte. 🙄


liebe grüße
nadine

Eine winzige Frage hab ich noch...

weiter unten wurde gefragt:

Californiagirl

ich habe zwar verstanden, wie ich die Wurzel drei berechne, aber wo kommt die 1 über dem Bruchstrich her ... (ich sitze gerade richtig auf der Leitung). Teile ich hier 1 (was die Seitenlänge für einen normierten Vektor ist) durch die HNF?????? Oder ist das nur eine ungewohnte Schreibweise, weil er nicht dreimal hintereinander 1/wurzel drei + ... geschriebn hat (und wäre es der Vektor (2,2,2), dann würde eine 2 über dem Bruchstrich stehen?)

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wenn ich zum bsp. den vektor [tex]\begin{pmatrix}7\\3\\5\end{pmatrix}[/tex] habe, wie ist dann die normierung?!:

7/Wurzel 83???

gruß, nadine

bunnny85 schrieb:

eine winzige Frage hab ich noch...

weiter unten wurde gefragt:
wenn ich zum bsp. den vektor [tex]\begin{pmatrix}7\\3\\5\end{pmatrix}[/tex] habe, wie ist dann die normierung?!:

7/Wurzel 83???

gruß, nadine

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Ein normierter Vektor hat die Länge 1.
Zuerst errechnest du die Länge des Vektors aus: [tex]\sqrt{7^2+3^2+5^2}[/tex]=[tex]\sqrt{83}[/tex]

Also ist dein normierter Vektor: [tex]\frac{7}{\sqrt{83}}[/tex], [tex]\frac{3}{\sqrt{83}}[/tex], [tex]\frac{5}{\sqrt{83}}[/tex])

verstehe und ich dachte, es wäre weit aus komplizierter 🙄

danke schön!!!