Kyrene,
hier ein Versuch...
ein ^ soll symbolisieren, dass die Ziffer oder der Buchstabe danach hochgestellt ist!
Gegeben sei eine beliebige Basis a^1, a², a^n des R^n
Den ersten Vektor der orthonormalisierten Basis (u^1) erhälst du, indem du a^1 normalisierst:
u^1 = a^1 / IIaII
Den zweiten Vektor u^2 erhälst du wie folgt:
Zunächst mit
v² = a² - alpha1 * u^1
einen zu u^1 orthogonalen Vektor berechnen.
a² ist gegeben, u^1 hast du eben berechnet, fehlt der Wert für alpha1
alpha1 muss so gewählt werden, dass u^1T*v^2 gleich Null ist.
(Skalarprodukt zweier Vektoren = Null --> Vektoren stehen orthogonal zueinander)
alpha1 = u^1T * a² das setzt du oben in die Formel ein und erhälst
die Formel, die du zukünftig benutzt um v² zu berechnen, denn alles, was hier farbig ist, soll nur dem Verständnis dienen.
v²= a² - (u^1T * a²) * u^1
v² ist schon orthogonal zu u^1, aber nicht normiert, also noch durch seine Länge teilen und du erhälst u²
u² = v² / IIv²II
Den dritten Vektor erhälst du, in dem du an die Formel oben noch etwas anhängst:
v³ = a³ - (u^1T * a³) * u^1 - (u²T * a³) * u²
wieder hast du damit einen orthogonalen Vektor erhalten aber noch keinen normierten, somit muss v³ auch durch seine Länge geteilt werden:
u³ = v³ / IIv³II
Für eine Basis des R³ wärst du hier fertig!
Für eine Basis des R^n musst du für jeden weiteren Vektor ein Glied an die Formel oben anhängen, ausrechnen, Vektor normieren,.....
Allgemein ausgedrückt heißt das dann so:
v^r = a^r - Summe (für i=1 bis r-1): (u^iT * a^r)* u^i
... ich weiß nicht, ob dir das wirklich hilft, weil schon die Formeln so komisch aussehen ohne Formelgenerator...
Viele Grüße, Tanja