Vollständige Induktion - wo ist der Beweis?
Hallo Leute, wer eifrig hier im Forum aktiv ist hat sicherlich schon mitbekommen, dass mir das Prinzip der vollständigen Induktion irgendwie noch unklar ist. Ich will hier auch niemandem auf den Senkel gehen, trotzdem habe ich beim weiteren Durchgehen der vom Lehrstuhl zur Verfügung gestellten Aufgaben bei der nächsten Aufgabe zum diesem Thema wieder das gleiche Problem. Ich kann inzwischen die Umformungsschritte der Musterlösungen nachvollziehen und es ist mir auch inzwischen egal, ob der Beweis nun über n+1 oder n-1 gesucht wird. Was mir aber immer noch unklar ist, ist, warum das Ganze eigentlich ein Beweis sein soll.
Also das nächste Beispiel: Aufgabe zu den Studientagen aus dem Infoheft zur KE 3 Aufgabe 2a) - die gleiche Aufgabe ist aber auch das erste Beispiel im Teschl zum Thema:
Beweisen Sie: [tex] \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}2[/tex]
Als Induktionsanfang wird dann n = 0 präsentiert, was ja auch nachvollziebar 0 = 0 ergibt (Wobei sich mir hier schon die Frage stellt: Wieso n=0 ? Denn der kleinste Wert für n soll ja eigentlich 1 sein, aber das ist ja vermutlich das kleinste Problem).
Konkret bewiesen ist damit:
[tex] \sum_{i=0}^{n=0} i = \frac{0(0+1)}2[/tex]
Der Induktionsanfang ist das Einzige, was meiner Meinung nach bewiesen ist, im Verlauf der weiteren Umformungen wird darauf nie wieder Bezug genommen, so dass ich mir auch die Frage stelle, warum man sich diesen Induktionsanfang dann nicht gleich schenkt.
Weiter geht es: Die Induktionsvoraussetzung wird aufgestellt, für beide Seiten des Gleichheitszeichens geht man auf n-1:
[tex]\sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{(n-1)n} 2 [/tex]
Das dies so sei, ist aber ja nicht bewiesen, wird nicht bewiesen und steht für mich auch in keinem erkennbaren Zusammenhang zu dem bewiesenen Induktionsanfang. Entwickelt wird es ja aus der zu beweisenden Ausgangsaussage, nicht aus dem bewiesenen Induktionsanfang.
So, dann stellen sie fest:
[tex] \sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^{n-1} i + n[/tex]
Für mich ok, ändert aber nichts und beweist auch nichts.
Weiter stellen sie fest:
[tex]\sum_{i=1}^{n-1} i + n = \frac{(n-1)n} 2 + \frac{2n} 2[/tex]
Was ist da also passiert? Man hat zur unbewiesenen Induktionsvoraussetzung auf beiden Seiten n addiert. Jetzt stellen sie dann noch fest, dass die rechte Seite ungeformt nichts anderes ist als
[tex] \frac{n(n+1)}2[/tex] was insgesamt eigentlich bewiesen werden sollte.
Wo ist da jetzt eigentlich der Beweis? Man hat doch nichts weiter getan, als Folgendes: Zum aufstellen der Induktionsvoraussetzung hatte man die zu beweisende Ausgangsaussage von n auf n-1 gesetzt. Damit ist sie aber ja keineswegs bewiesen. Dann hat man wieder n addiert. Nun stellt man fest: Donnerwetter, wir sind wieder bei n. So stelle ich mir keine Beweisführung vor.
Die Induktionsvoraussetzung ist für mich nicht bewiesen. Wenn man da auf beiden Seiten n addiert und sich daraus dann die zu beweisende Ausgangsaussage ergibt, ist das für mich kein Beweis dafür, dass die Ausgangsaussage richtig war.
Für mich wäre es plausibel, dass es bewiesen wäre, wenn an irgendeiner Stelle in die Induktionsvoraussetzung der bewiesene Induktionsanfang eingesetzt würde. Irgendwofür muss der ja auch gut sein. Das ist aber ja nicht der Fall. Zumindest kann ich das nicht erkennen.
Für sachdienliche Hinweise wäre ich dankbar.
Gruß, Nils
Hallo Leute, wer eifrig hier im Forum aktiv ist hat sicherlich schon mitbekommen, dass mir das Prinzip der vollständigen Induktion irgendwie noch unklar ist. Ich will hier auch niemandem auf den Senkel gehen, trotzdem habe ich beim weiteren Durchgehen der vom Lehrstuhl zur Verfügung gestellten Aufgaben bei der nächsten Aufgabe zum diesem Thema wieder das gleiche Problem. Ich kann inzwischen die Umformungsschritte der Musterlösungen nachvollziehen und es ist mir auch inzwischen egal, ob der Beweis nun über n+1 oder n-1 gesucht wird. Was mir aber immer noch unklar ist, ist, warum das Ganze eigentlich ein Beweis sein soll.
Also das nächste Beispiel: Aufgabe zu den Studientagen aus dem Infoheft zur KE 3 Aufgabe 2a) - die gleiche Aufgabe ist aber auch das erste Beispiel im Teschl zum Thema:
Beweisen Sie: [tex] \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}2[/tex]
Als Induktionsanfang wird dann n = 0 präsentiert, was ja auch nachvollziebar 0 = 0 ergibt (Wobei sich mir hier schon die Frage stellt: Wieso n=0 ? Denn der kleinste Wert für n soll ja eigentlich 1 sein, aber das ist ja vermutlich das kleinste Problem).
Konkret bewiesen ist damit:
[tex] \sum_{i=0}^{n=0} i = \frac{0(0+1)}2[/tex]
Der Induktionsanfang ist das Einzige, was meiner Meinung nach bewiesen ist, im Verlauf der weiteren Umformungen wird darauf nie wieder Bezug genommen, so dass ich mir auch die Frage stelle, warum man sich diesen Induktionsanfang dann nicht gleich schenkt.
Weiter geht es: Die Induktionsvoraussetzung wird aufgestellt, für beide Seiten des Gleichheitszeichens geht man auf n-1:
[tex]\sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{(n-1)n} 2 [/tex]
Das dies so sei, ist aber ja nicht bewiesen, wird nicht bewiesen und steht für mich auch in keinem erkennbaren Zusammenhang zu dem bewiesenen Induktionsanfang. Entwickelt wird es ja aus der zu beweisenden Ausgangsaussage, nicht aus dem bewiesenen Induktionsanfang.
So, dann stellen sie fest:
[tex] \sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^{n-1} i + n[/tex]
Für mich ok, ändert aber nichts und beweist auch nichts.
Weiter stellen sie fest:
[tex]\sum_{i=1}^{n-1} i + n = \frac{(n-1)n} 2 + \frac{2n} 2[/tex]
Was ist da also passiert? Man hat zur unbewiesenen Induktionsvoraussetzung auf beiden Seiten n addiert. Jetzt stellen sie dann noch fest, dass die rechte Seite ungeformt nichts anderes ist als
[tex] \frac{n(n+1)}2[/tex] was insgesamt eigentlich bewiesen werden sollte.
Wo ist da jetzt eigentlich der Beweis? Man hat doch nichts weiter getan, als Folgendes: Zum aufstellen der Induktionsvoraussetzung hatte man die zu beweisende Ausgangsaussage von n auf n-1 gesetzt. Damit ist sie aber ja keineswegs bewiesen. Dann hat man wieder n addiert. Nun stellt man fest: Donnerwetter, wir sind wieder bei n. So stelle ich mir keine Beweisführung vor.
Die Induktionsvoraussetzung ist für mich nicht bewiesen. Wenn man da auf beiden Seiten n addiert und sich daraus dann die zu beweisende Ausgangsaussage ergibt, ist das für mich kein Beweis dafür, dass die Ausgangsaussage richtig war.
Für mich wäre es plausibel, dass es bewiesen wäre, wenn an irgendeiner Stelle in die Induktionsvoraussetzung der bewiesene Induktionsanfang eingesetzt würde. Irgendwofür muss der ja auch gut sein. Das ist aber ja nicht der Fall. Zumindest kann ich das nicht erkennen.
Für sachdienliche Hinweise wäre ich dankbar.
Gruß, Nils
