Bei Grenzwerten schaust du dir das Verhalten einer Funktion an einer bestimmten Stelle an (z.B. wie verhält sich die Funktion an einer Polstelle) oder im Unendlichen.
Die Ableitung ist quasi der Grenzwert des Differenzenquotienten, Δy/Δx = (f(x) - f(x[SUB]0[/SUB])) / (x-x[SUB]0[/SUB]) (quasi das "Steigungsdreieck") an einer bestimmte Stelle x[SUB]0[/SUB], also: lim x-->x[SUB]0 [/SUB][(f(x) - f(x[SUB]0[/SUB])) / (x-x[SUB]0[/SUB])]. Durch die Anwendung des Grenzwertes wird das Δx sehr klein, sodass du schließlich kein "Steigungsdreieck" mehr hast, sondern die Steigung in einem Punkt.
Hier mal ein Beispiel:
f(x) = x² - 6x + 11
f '(x) = 2x - 6
für x[SUB]0[/SUB] = 1: f '(1) = -4
Das gleiche kommt heraus, wenn du den Grenzwert des Differentialquotienten berechnest: lim x-->1 (f(x) - f(1)) / (x-1) = -4
Das Beispiel ist auf S. 5 im Script, schau es dir mal an.
Die Regel von L'Hospital sagt einfach nur aus, dass unter bestimmten Bedingungen der Grenzwert einer Funktion f(x) / g(x) gleich dem Grenzwert von f '(x) / g '(x), also du leitest die Nennerfunktion und die Zählerfunktion "separat" ab - das hat nichts mit der Quotientenregel [f(x) / g(x)]' zu tun.