Aufleitung spezieller Funktion

Ich würde hier die partielle Integration wählen
Integral (f(x)*g'(x)) dx = f(x)*g(x)-Integral(f'(x)*g(x)) dx
mit f(x)= x und g'(x)= 1/Wurzel(x+1)
Da f'(x)=1 kommt hinten was relativ einfaches raus, was sich dann wieder integrieren lässt.

Die zuerst dargestellte Weise der Substitution funktioniert nicht und bei der partiellen Integration ist es nicht so sehr einfach, wie es scheint.

Ich hab grad mal zum Spaß an der Freud gelöst.
Das Ergebnis kann gerne hier nochmal nachgeprüft werden:
https://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x%2F%28x%2B1%29^0.5&random=false

Mario Horstmann schrieb:

Die zuerst gena

Zum Vergrößern anklicken....

Ich verstehe nichts

Ich habe grade eine Lösung gezaubert.... die muss jetzt noch freigeschaltet werden. Ansonsten E-Mail her!

Ansatz: [tex]\frac{x}{\sqrt{x+1}} = \frac{x+1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x+1}}[/tex], der Rest ergibt sich dann von selbst.

Mach doch auch mal eine Komplettlösung, so wie ich. Würd mich interessieren

OK.

[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{x+1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx[/tex]
[tex] = \int \sqrt{x+1} dx - \int \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx [/tex]
Das sind jetzt im Grunde nur noch Potenzfunktionen, also nur noch Fleißarbeit: (Substitution von x+1 durch z und Rücksubstitution bitte bei Bedarf selbst dazudenken)
[tex] = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - 2(x+1)^{\frac{1}{2}} + C[/tex]
[tex] = \sqrt{x+1}\left (\frac{2}{3}(x+1) - 2\right ) + C[/tex]
[tex] = \sqrt{x+1}\left (\frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \right ) + C[/tex]
[tex] = \frac{2}{3}\sqrt{x+1}(x-2) + C[/tex]

Auch ein eleganter Lösungsweg. Gefällt mir gut!!!

ich weiß, die Diskussion ist etwas her, aber ich habe mich aktuell noch mal dieser Aufgabe gewidmet. Die gibts nämlich bei diesen Billiardkugel-Aufgaben. Aufgabe C1212. Und zwar als bestimmtes Integral. Integrationsgrenzen -1 bis 2. Dem Lösungsweg in dieser Aufgabenstellung hatte ich nach dem Substituieren nicht mehr folgen können. Als Ergebnis kommt jedenfalls 0 raus.

Dem hier vorgestellten Lösungsweg mit Substitution konnte ich zwar folgen, aber wenn ich die Integrationsgrenzen eingebe, kommt bei mir nicht 0 raus. Die Integrationsgrenzen verschieben sich natürlich. Wenn man x + 1 substituiert, müsste das dann ja 0 und 3 geben oder? Na jedenfalls, egal, was ich probiere, ich komme als Ergebnis nicht auf 0.

Da mir das keine Ruhe lässt, hoffe ich, dass sich dazu noch mal jemand äußert. 🙂

Viele Grüße

Du schreibst nicht, was du gerechnet hast, aber wenn du mal bei der Stammfunktion (s.o.) die Grenzen -1 und 2 einsetzt, siehst du sofort, dass beides mal 0 rauskommt.

Wenn du dagegen von Anfang an als bestimmtes Integral rechnest, dann musst du bei der Substitution die Grenzen jeweils mit anpassen. Dafür entfällt dann die Rücksubstitution.

Asooo! Logisch. Jetzt klappts auch. Hab wahrscheinlich zu lange darüber gebrütet, dass ich so ein Brett vor dem Kopf habe... Danke, für die Antwort und viele Grüße!