Brauche Licht im Dunkeln bei Matritzengleichung Kurseinheit 3

Inversion kehr die Reihenfolge der Matrizen um.
Nehm wir zwei 2x2 Matrix und berechnen:
A=[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}[/tex]
B=[tex]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}[/tex]
AB=[tex]\begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}[/tex]
(AB)^-1=[tex]\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 1 & -2/3 \end{pmatrix}[/tex]

Rechnest du das jetzt andersrum
B^-1=[tex]\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
A^-1=[tex]\begin{pmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}[/tex]
B^-1A^-1=[tex]\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 1 & -2/3 \end{pmatrix}[/tex]

Du siehst es kommt das Gleiche bei raus, das war aber erstmal nur ein Beispiel, wir wollen aber wissen das es für jede Matrix gilt. Dafür benötigen wir eine wichtige Regel Rechsinverse=Linksinverse Also inv(A)*A=A*inv(A)=I
Erinnere dich aber dran das bei Matrix keine Kommutatvität herrscht also das A*B ungleich B*A ist.

Bei Aufgabe 7.7.3
Nehmen wir das letzte Teil der Gleichung und rechnen mit dem Teil solange rum bis wir auf der linken Seite wieder rauskommen.
Als erstes Multiplizieren wir das Ganze mit AB
Also (AB)(B^-1A^-1)
umklammern dürfen wir, wir dürfen nur die Reihenfolge nicht vertauschen
Also A(BB-1)A-1
Wir wissen schon das B*B-1 wieder die Einheitsmatrix ist, ansonsten kannst du es dir mit einem Beispiel nachrechnen
oder ein wenig allgmeiner mit B=[tex]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/tex], das ist KEIN Beiweis sondern hilft einen nur sich daran zu erinnern.
Also haben wir jetzt AIA-1
nun musst du dir überlegen was macht die Einheitsmatrix mit meinen anderen Matrixen?