Grenzindex von Nullfolgen
Den Grenzindex [tex]n(\epsilon)[/tex] der Nullfolge [tex]\{{a_n}\}_{n_\in_N}=\{{\frac 1n\}_{n_\in_N}[/tex] mit einem vorgegebenen [tex]\epsilon[/tex] mit [tex]0{,}22 > 0[/tex] habe ich wie folgt bewiesen:
Bedingung: [tex]\|\frac 1n -0\|<\epsilon\; \forall \;n>n(\epsilon)[/tex]
Grenzwert (0) und [tex]\epsilon[/tex] (0,22) einsetzen und Betragsstriche auflösen:
[tex]\|\frac 1n -0\|=\|\frac 1n\|=\frac 1n<0{,}22[/tex]
Ungleichung nach n auflösen:
[tex]\frac 1n<0{,}22 \qquad\mid \cdot n[/tex]
[tex]1 <0{,}22 n\qquad\mid :0{,}22[/tex]
[tex]\frac 1{0{,}22} <n[/tex]
[tex]4{,}\overline{54}<n[/tex]
Die nächste größte ganze Zahl kleiner gleich:
[tex][4{,}\overline{54}]=4[/tex]
Daraus folgt, dass der Grenzindex 5 ist:
[tex]n(\epsilon)=5[/tex]
Setze ich nun Zahlen in die Folge [tex]\{\frac 1n\}[/tex] ein, bekomme ich folgende Werte:
[tex]a_1 = \|1-0\| = \|1\|=1; \qquad\qquad\qquad 1\;>\;0{,}22[/tex]
[tex]a_2 = \|0{,}5-0\| = \|0{,}5\|=0{,}5; \qquad\qquad\qquad 0{,}5\;>\;0{,}22[/tex]
[tex]a_3 = \|0{,}33-0\| = \|0{,}33\|=0{,}33; \qquad\qquad\qquad 0{,}33\;>\;0{,}22[/tex]
[tex]a_4 = \|0{,}25-0\| = \|0{,}25\|=0{,}25; \qquad\qquad\qquad 0{,}25\;>\;0{,}22[/tex]
[tex]a_5 = \|0{,}16-0\| = \|0{,}16\|=0{,}16; \qquad\qquad\qquad 0{,}16\;<\;0{,}22[/tex]
Das Folgeglied mit dem Index 5 liegt also schon innerhalb der [tex]\epsilon[/tex]-Umgebung, da 0,16 < 0,22 ist. Gesucht wird aber lt. Definition [tex]n>n(\epsilon)[/tex]. Das heißt doch, dass alle Folgenglieder die größer als [tex]n(\epsilon)[/tex] sind, in der [tex]\epsilon[/tex]-Umgebung liegen. Somit wäre doch der Grenzindex 4 !!!??? Oder ist mein obiger Beweis falsch?
