Dichte- und Verteilungsfunktion ; unterschiede?

Glossar Seite 64f:

Da steht eigentlich alles, was du wissen musst.

Würfelspiel (diskreter Fall, weil man keine 3,25 oder so Würfeln kann!)
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die Dichtefunktion: fx(X) = 1/6 für alle 1<=X<=6.

Wir kommen also von der Wahrscheinlichkeitsverteilung direkt zur Dichtefunktion!

Die Verteilunsgsfunktion ist einfach die aufsummierte Dichtefunktion für alle zulässigen X.
Das ist einfach die Definiton: Fx(X) = P(X<=x) und siehe Summe auf Seite 65 oben im Glossar.
Wir erhalten folgende Verteilungsfunktion:
x<=1 | x<=2 | x<=3 | x<=4 | x<=5 | x<=6 |
1/6 | 2/6 | 3/6 | 4/6 | 5/6 | 1

Anhand dieser Funktion ist es sofort möglich (z.B. in einem Diagramm) die Wahrscheinlichkeit für alle Zahlen zwischen 2 und 6 auszurechnen: Fx(6) - Fx(2).
Natürlich: wenn ich im Mafia-Casino bin, dann ist nicht mehr alles gleichwahrscheinlich. Beispielsweise wäre käme dann die 1 dreimal so häufig wie alle anderen Zahlen und der Mafiaboss gewinnt natürlich bei 1 😉

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
3x | x | x | x | x | x

3x+5x = 8x --> x = 1/8 -->

Weil wir oben gesehen haben, dass Fx(X) = 1 sein muss, wenn wir den größten wert einsetzen, dann steigt unsere Verteilungsfunktion recht steil bei 1 und hat ansonsten einen konstanten Anstieg mit 1/8

Das gleiche gilt im stetigen Fall, außer mit Integralen. Warum das?
Betrachte nicht 6 Würfelergebnisse, sondern sagen wir Längen von Schrauben in einer Produktion. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schraube aus vielen genau die Länge 15,11mm aufweist?
Ja, natürlich 0.
Hier kann man nur Intervallwahrscheinlichkeiten angeben!

Am besten du liest nochmal die Kurseinheiten. Muss grad los, habe Hunger!

Ich habe auch so meine Probleme mit Dichte- und Verteilungsfunktionen. Kann mir bitte jemand Aufgabe 8 von der Klausur 03/2007 erklären?

Gegeben sei folgende Dichtefunktion einer Zufallsvariable X. Weiter sei die Zufallsvariable Y mit Y = 3X − 6 gegeben.
fX(x) =1/8 x für 0 <=x<4
0 sonst

Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5)
A E(X) = 8/3
B E(Y ) = 3E(X) − 6
C Var(X) = 16/9
D Var(Y ) = 9Var(X) − 6

Ich kann eure Verwirrung gut verstehen, denn dummerweise wird auch bei diskreten Zahlen von der Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen.

Daher kleiner Tipp: Im Glossar mal die Erklärung der Verteilungsfunktion anschauen, da steht monoton steigend. das erinnert mich dann immer an die Summenhäufigkeitsverteilung und schon ist der Unterschied klarer und es gibt keine Verwechslung mehr.

Die Dichtefunktion ( typisch ist hier die Normalverteilung, unsere "Glocke", die eindeutig nicht monoton steigend ist ). Die Verteilungsfunktion ist die Ableitung der Dichtefunktion, die Dichtefunktion muss aufgeleitet=integriert werden, um die Verteilungsfunktion zu erhalten, also die Fläche unterhalb der Dichtefunktion.

Zu der Aufgabe:
Glossar Seite 18 Erwartungswert:

In der Formel steht fx(x), also ist die Dichtefunktion gemeint, denn Fx(x) (wie Summenhäufigkeit) ist die Verteilungsfunktion.

Wir sollen lt. Formel x in die Dichtefunktion hineinmultiplizieren und dann integrieren:

Integral von 0 bis 4 x*fx(x) = Integral von 0 bis 4 1/8*x² = [1/24 x³]mit den Grenzen 4 + 0 = 8/3

daher a richtig

Einfach nicht soviel von den Ausdrücken durcheinanderbringen lassen. Der Rest der Aufgabe ist analog, die Formel für die Varianz steht auf Seite 60.

Jetzt eindeutiger oder doch noch vorrechnen?

super, vielen Dank. Die Erklärung hat mir sehr geholfen.