15 -8 2
12 -6 2
-48 27 -5
Als Ergebnis kommt laut
Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren (PEVERS OBER GENIAL FETTE SEITE!!!) raus:
charakteristisches Polynom:
-x^3 + 4x^2 - 3x
reelle Eigenwerte: { 0 ; 1 ; 3 }
Eigenvektoren:
zum Eigenwert 0:
[ -2 ; -3 ; 3 ]
zum Eigenwert 1:
[ 1 ; 2 ; 1 ]
zum Eigenwert 3:
[ -1 ; 0 ; 6 ]
Es gibt nur ein Problem:
Ich komme nicht drauf!!!!!!!!!!!
Bisher könnte man da aber drauf kommen. Ich hab das jetzt nicht nachgerechnet, die Matrix sieht auch ziemlich kompliziert aus, aber wenn [tex]\det(x I_3 - A)[/tex] tatsächlich das obige Polynom ergibt, ist der Rest doch leicht. Das Absolutglied fehlt, also ist ein Eigenwert 0, dann teilt man durch x und kann die quadratische Gleichung mit der Lösungsformel lösen. Die Eigenvektoren dann mit Gauss.
Die Eigenwerte und Eigenvektoren wären damit abgehakt, bleibt die Definitheit. Problem: Definitheit ist eigentlich nur für symmetrische (bzw. Hermitesche bei komplexe Zahlen) Matrizen definiert. Die gegebene Matrix ist aber nicht symmetrisch.
(Damit bin ich theoretisch mit meinem Latein am Ende, aber Wikipedia gibts ja auch noch.)
Man kann nun einfach die Definition auf nicht-symmetrische Matrizen erweitern: Die nxn-Matrix A heißt positiv definit, wenn für alle n-elementigen Vektoren v, die nicht gleich dem Nullvektor sind, gilt: [tex]v^T A v > 0[/tex].
Die ganze Kriterien, also Hauptminoren- und Eigenwerte usw. gelten dann natürlich erstmal nicht!
Es gilt aber der Satz, dass A genau dann positiv definit ist, wenn der symmetrische Anteil von A positiv definit ist. Du hast nun versucht, diesen zu bestimmen und dort eines der für den symmetrischen Fall gültigen Definitheitskriterien anzuwenden:
Zunächst ist zu bemerken, dass das Determinantenkriterium, mit dem ich, um die Definitheit zu bestimmen, angefangen habe, erst angewendet werden kann, wenn die Matrix symmetrisch gemacht wurde, also
B = 1/2 * (A + AT)
Dann haben wir (das kann man ja leicht ausrechnen):
15 2 -23
2 -6 14,5
-23 14,5 -5
Ich hangel mich mal durch die Hauptunterdeterminanten:
det(B_1) = |15| = 15 > 0.
Eine ungrade (1) Hauptunterdeterminante ist also schonmal > 0. Das heißt, es müssen jetzt auch alle anderen > 0 sein, damit man das Determinantenkriterium anwenden und sagen kann: "Die Matrix B (bzw. A) ist positiv definit."
|15 2|
|2 -6|
= -90-4 = -94 < 0
AHA!!!! Das Determinantenkriterium versagt!
Es versagt? Es besagt doch eher, dass die Matrix nicht positiv definit ist, was ja auch ein Ergebnis ist, oder?
Aber wir haben ja noch das Eigenwertkriterium und wenn ich
|B-k*I| = 0 setze bekomme ich ein charakteristisches Polynom, welches sich auf jeden Fall von dem da oben unterscheidet.
Meines lautet:
-k³ + 4k² + 698,25k - 843,75 = 0
Arndt Brünner (
Nullstellen (Lösungen) von Polynomen 2., 3. und 4. Grades) sagt mir, dass die Nullstellen sind:
k1 = -25,126195669423396
k2 = 1,2025841077796406
k3 = 27,923611561643757
Da kann doch was nicht stimmen, zumal die Nullstellen einer kubischen Gleichung hier mit Newton bestimmt wurden und die allgemeine Lösungsformel einer kubischen Gleichung nicht in unserem Skript steht!
Das ist auch besser so, dass die da nicht steht
🙂 Da ist man nämlich ziemlich lange gut beschäftigt, wenn man die anwenden will.
Naja, aber die Eigenwerte zeigen doch (so man sie irgendwie schafft zu berechnen), dass die Matrix B nicht positiv definit ist, und damit A auch nicht positiv definit sein kann.
Die quadratische Form q(x) = x*B*xT bringt mich auch nicht weiter.
Aber vielleicht die quadratische Form zu A? Verdächtig ist doch schonmal, dass die Diagonalelemente mal positiv und mal negativ sind. Nehm ich für x den ersten Einheitsvektor, x = (1 0 0)^T, so ist x^T A x = A_11 = 15 > 0, nehm ich dagegen den zweiten Einheitsvektor, x = (0 1 0)^T, so ist x^T A x = A_22 = -6 < 0. Damit ist die Indefinitheit schon gezeigt. (Guter Trick: Nur wenn alle Diagonalelemente positiv sind, kann die Matrix überhaupt positiv definit sein. Betonung auf "kann", die Umkehrung gilt nicht.)
