Frage zu einer Übungsaufgabe

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Mit Determinanten kann man bestimmen ob die Matrix positiv, negativ oder indefinit ist.
Die Semidefinitheit lässt sich nur mit der quadratischen Form bestimmen. Wenn du für x1 und x2 beliebige Werte einsetzen kannst und das Ergebnis ist immer größer /= Null, dann ist die Matrix positiv semidefinit, bekommt man immer etwas raus, das kleiner/= Null ist, dann ist sie negativ semidefinit.
 
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Lila schrieb:
Mit Determinanten kann man bestimmen ob die Matrix positiv, negativ oder indefinit ist.
Die Semidefinitheit lässt sich nur mit der quadratischen Form bestimmen. Wenn du für x1 und x2 beliebige Werte einsetzen kannst und das Ergebnis ist immer größer /= Null, dann ist die Matrix positiv semidefinit, bekommt man immer etwas raus, das kleiner/= Null ist, dann ist sie negativ semidefinit.
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Hallo,

bist du dir da sicher ?
Also ich hab gedacht, daß bei Eigenwerten gilt:

positiv semidefinit : ein Eigenwert größer null und einer gleich null
negativ semidefinit: ein Eigenwert kleiner null und einer gleich null

Und daß man es auch mit den Determinanten bestimmen kann, wobei das dann nicht zu der Aufgabe paßt, bzw. die Lösung dann falsch wäre.

LG Susanne
 
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Mit Eigenwerten geht es auch, dann gilt:

alle Eigenwerte größer Null - positiv definit (alle kleiner Null - negativ definit)
alle Eigenwerte größer oder gleich Null - positiv semidefinit (alle kleiner oder gleich Null - negativ semidefinit),
positive und negative Eigenwerte - indefinit.

Allerdings lassen sich die Eigenwerte auch nicht so einfach aus der Determinante ablesen, so dass die von Hagen vorgeschlagene Lösung mit der quadratischen Form wahrscheinlich leichter nachvollziehbar ist.
 
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Lila schrieb:
Mit Eigenwerten geht es auch, dann gilt:

alle Eigenwerte größer Null - positiv definit (alle kleiner Null - negativ definit)
alle Eigenwerte größer oder gleich Null - positiv semidefinit (alle kleiner oder gleich Null - negativ semidefinit),
positive und negative Eigenwerte - indefinit.

Allerdings lassen sich die Eigenwerte auch nicht so einfach aus der Determinante ablesen, so dass die von Hagen vorgeschlagene Lösung mit der quadratischen Form wahrscheinlich leichter nachvollziehbar ist.
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Sind dann alle die positiv definit sind, automatisch auch immer positiv semidefinit?
 
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Vielen Dank schon mal für Eure Antworten.

Weil ihr mir so gut weiterhelft, möchte ich direkt eine 2. Frage stellen.

Eine Funktion lautet (x-2)^2 - 3.

Somit ist die untere Schranke s= -3.

Nun steht im Klausurenknacker, dass die Antwort: "Die untere Schranke ist s=-4." neben "Die untere Schranke ist s=-3." auch richtig ist.

Stimmt das, dass alle Werte unter einer Schranke, dann auch als "untere Schranken" definiert werden???
 
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Lila schrieb:
Mit Determinanten kann man bestimmen ob die Matrix positiv, negativ oder indefinit ist.
Die Semidefinitheit lässt sich nur mit der quadratischen Form bestimmen. Wenn du für x1 und x2 beliebige Werte einsetzen kannst und das Ergebnis ist immer größer /= Null, dann ist die Matrix positiv semidefinit, bekommt man immer etwas raus, das kleiner/= Null ist, dann ist sie negativ semidefinit.
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Quadratische Form gibt auf jeden Fall Sicherheit. Je nach dem, welche Matrix vorliegt, kann es aber sein, dass man sehr geschickt ausklammern muss.
Man kann dies auch mit dem Hauptunterdeterminantenkriterium lösen.
Die erste Hauptunterdeterminante ist das Element oben links in der Matrix (die Determinante einer Zahl ist die Zahl selbst) und die letzte Hauptunterdeterminante ist det (A) selbst!
Jede "kleinere" Hauptunterdeterminate erhält man durch wegstreichen der jeweils letzten Zeile und letzten Spalte der Matrix.

Ich habe eine beliebige nxn-Matrix A, dann gilt:

Positiv definit

...wenn alle Hauptunterdeterminanten > 0 sind.


Negativ definit:

...wenn alle ungraden Hauptunterdeterminaten < 0 sind (1, 3, 5, 7...)
UND
...wenn alle graden Hauptunterdeterminaten > 0 sind (2, 4, 6, 8...)


----------------------------------------------------------------------
Wichtige Frage:
Und was ist, wenn eine Hauptunterdeterminante = 0 wird ??

Dann kann ich oberes Schema auf keinen Fall anwenden, sondern man geht den Wert über Eigenwerte oder die quadratische Form.
Es sei denn ich habe eine 2x2-Matrix!
----------------------------------------------------------------------


Ist die zweite Hauptunterdeterminante der 2x2-Matrix = 0, dann ist diese

positiv semidefinit,

...wenn erste Hauptunterdeterminante > 0

negativ semidefinit,

...wenn erste Hauptunterdeterminante < 0


In allen anderen Fällen kann also über das det-Kriterium nicht auf die Semidefinitheit geschlossen werden.


//edit//
ACHTUNG:
Die Matrizen müssen ggf. noch symmetrisch gemacht werden.
Grundsätzlich müssen sie auch quadratisch sein!
 
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Matrizen können definit UND semidefinit zugleich sein??
Hä?

Wenn ich die quadratische Form q(x) = xAxT ausrechne, bekomme ich nen Polynom.

Beispiele:
q(x) = x²
Ist positiv semidefinit, weil q(0) = 0 und q(x ungleich 0) > 0.

q(x) = -x²
Ist negativ semidefinit, weil q(0) = 0 und q(x ungleich 0) < 0.

q(x) = x³
Ist indefinit, weil q(0) = 0 und q(x>0) > 0 und q(x<0) < 0


?!??
 
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Es scheint beides zugleich zu gehen, wenn man sich nach der Definition im Script richtet: Falls xTAx > (>=) 0 für alle x ungleich 0 (für alle x) gilt, heißt die quadratische Form positiv (semi-) definit. (KE2, S.67).

Auf das erste Beispiel bezogen:

q(x) = x² ist positiv definit, weil für alle x ungleich 0 q(x) > 0
q(x) = x² ist positiv semi-definit weil für alle x gilt, q(x) > oder = 0.
 
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ÜBEN! ÜBEN! ÜBEN!

Hatte auch Probleme am Anfang, aber wenn Du alle Aufgaben rechnest etc. brennen sich die Formeln / Prinzipien ins Gehirn. Funzt bei mir jedenfalls so.
Beim Üben kann man auch, bevor man die Lösung hinschreibt, sich immer wieder vorher aufschreiben, was man beachten muss. Irgendwann klappt's. Zur Not ne schöne Übersicht zaubern, ausdrucken und dann inne Klarsichtfolie aufn Schreibtisch so platzieren, dass Du jeden Tag draufguckst.
Wirkt!
Ich hatte als Kind 'ne politische Karte von Europa als Schreibtischunterlage. Wer konnte wohl in Klasse 6 die Städte Eruopas ganz schnell finden? 😉
Und das auch nur ohne 1 Sekunde auswendiglernen.
 
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Wenn es einen konkreten Schnittpunkt S gibt, wo sich die drei Gleichungen, wovon jede jeweils eine Grade im R3 darstellt, schneiden, dann haben wir einen Unterraum. Der Schnittpunkt S ist also ein Raum im Raum mit der Dimension 0, weil ein Punkt definitionsgemäß eine unendlich kleine Längen- , Breiten- und Höhenausdehnung hat.

Nun kann es aber sein, dass es auch einen Hyperraum (Unterraum) der Dimension 1 gibt.

Was ist nun darunter zu verstehen.
Offensichtlich scheinen sich hier die Gleichungen so zu treffen, dass ein geometrisches Gebilde entsteht, was eben kein Punkt ist, sondern auch eine tatsächliche Längenausdehnung hat.

Klingt komisch, is' aber so, wie der Klaus von der Sendung mit der Maus sagen würde 😀😀

Denn:
Betrachtet man beispielsweise die beiden Gleichungen (hab ich mir grad mal ausgedacht)
(I.) x + y + z = 2
(II.) 2x + 2y + 2z = 4
so sind sie linear abhängig (II = 2 * I). Sie liegen im R3 exakt aufeinander! Der Mengentheoretische Durchschnitt ist eine Grade. In diesem Zusammenhang haben wir ein eindimensionales Gebilde: ein Strich ist per Definiton 1-D.
Folglich wäre eine Schnittebene von mehreren Gleichungen ein 2D-Gebilde und der Dimension des Lösungsraumes 2.

Wenn man sich die Aufgabe nochmal anschaut und für x1 = x schreibt, für x2 = y und für x3 = z (find ich schöner!), dann stellt man i.d.R. die z-Achse in einem 3D-Koordinantensystem als Höhenachse dar oder als jene Achse, wo ein Funktionswert z = f(x,y) abgetragen wird.

Daher kann man nun mal alle Gleichungen nach z (bzw. x3) umformen. Das hat einen bestimmten Grund:

z1 = -0,5x -0,5y + 0,5 := f1(x,y)
z2 = -0,5x -0,625y + 0,625 := f2(x,y)
z3 = 0,5x -0,5y + 0,5 :=f3(x,y)

Jetzt kannst du mal hier drauf gehen: FooPlot: Online graphing calculator and function plotter
Lass dir alle Achsen von -10 bis 10 anzeigen!

1. jede Funktion mal einzelnt beäugen (mach dir 3 Browserfenster auf)
2. alle Funktionen einzeichnen lassen geht leider nicht (habe keinen guten Plotter gefunden auf die Stelle)

Wenn sich bei 2. herausstellt, dass die Funktionen alle irgendwie parallel zueinander liegen, haben sie weder einen gemeinsamen Schnittpunkt S, noch eine gemeinsame Schnittgrade. Der Lösungsraum ist leer, das Gleichungsystem ist nicht lösbar!

Das ist das ganze Geheimnis!
 
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es wurde zwar hier so schon erwähnt, aber mir ist noch nicht ganz klar:
1.) ist eine Matrix positiv definit, ist sie dann auch positiv semi definit? Aus der Definition würde ich eigentlich JA schließen, in unserer Vorlesung wurde aber gesagt NEIN. Eine Matrix die positiv definit ist ist damit nicht mehr positv semidifinit. Hierfür müsste einmal die Bedingung =0 beansprucht werden

2.) Darf ich um die Definitheit der Matritzen zu überprüfen die Determinante nur bei symmetrischen Matritzen verwenden? Wie mache ich eine Matrix symmetrisch (hab 1/2* (A + A(t)) im Kopf).

Danke und Gruß
 
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